Основы теории цепей. Часть 2
.pdfВыразим U&1 и I&1 Т-образной схемы через U&2 , I&2 , используя уравнения, составленные по законам Кирхгофа:
|
|
U&1 = Z1I&1 + Z 2 I&2 +U& |
2 ; I&1 = I&2 +(Z 2 I&2 +U& |
2 )Y 0 . |
|
(2.18) |
|||||||
|
Подставляя I&1 |
в выражение для определения U&1 |
и группируя |
||||||||||
однородные члены, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
& |
& |
& |
& |
|
& |
|
|
|
|
& |
+ Z 2 + Z1 Z |
& |
|
U1 |
= Z1 I2 |
+(Z 2 I2 +U2 )Y |
0 +U2 |
=(1+ Z1Y 0 )U2 +(Z1 |
2 Y 0 ) I2 , |
||||||||
|
|
|
I& |
=Y U& |
+(1 + Z |
2 |
Y |
0 |
) I& . |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
Однако для данной схемы справедлива и общая запись уравнений четырехполюсника в А-параметрах:
U&1 = (1 + Z1Y 0 )U&2 +(Z1 + Z 2 + Z1 Z 2 Y 0 ) I&2 = A11U&2 + A12 I&2 ,
I&1 =Y 0U&2 +(1 + Z 2 Y 0 ) I&2 = A21U&2 + A22 I&2 .
Приравняв коэффициенты при U&2 и I&2 , получим А-параметры как функции параметров Т-образной схемы замещения:
A11 =1 + Z1Y 0 ; A12 = Z1 + Z 2 |
+ Z1 Z 2 Y 0 |
; |
A21 =Y 0 ; A22 =1 + Z 2 Y 0 . |
|
(2.19) |
|
|
Проведя аналогичные действия, можно получить подобные соотношения для П-образной схемы четырехполюсника:
A11 =1 +Y 2 Z 0 ; A12 = Z 0 ; (2.20)
A21 =Y 1 +Y 2 +Y 1Y 2 Z 0 ; A22 =1 +Y 1 Z 0 .
Два четырехполюсника эквивалентны, если у них равны А-пара- метры. Это следует из уравнений (2.9). Следовательно, если известны А-параметры какого-то четырехполюсника, то его можно заменить эквивалентной ему Т- или П-образной схемой замещения, определив параметры этих схем замещения по выражениям (2.19) и (2.20). При этом для Т-образной схемы замещения
61
Y |
0 |
= A ; Z |
1 |
= |
A11 −1 |
|
; Z |
2 |
= |
A22 −1 |
. |
(2.21) |
|
|
|||||||||||
|
21 |
|
A21 |
|
|
A21 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Параметры элементов П-образной схемы замещения:
Z |
0 |
= A ; Y |
1 |
= |
A22 −1 |
|
; Y |
2 |
= |
A11 −1 |
. |
(2.22) |
|
|
|||||||||||
|
12 |
|
A12 |
|
|
A12 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.7. СИММЕТРИЧНЫЙ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИК
Встречаются такие электрические схемы, у которых наблюдается симметрия параметров относительно входных и выходных выводов. В эквивалентных схемах замещения это приводит к следующему: для Т-схемы Z1 = Z 2 = Z ; для П-схемы Y 1 =Y 2 =Y . Тогда для Т-схемы
A11 =1 + ZY 0 ; A22 =1 + ZY 0 ,
для П-схемы
A11 =1 +Y Z 0 ; A22 =1 +Y Z 0 .
Следовательно, для симметричного четырехполюсника A11 = A22 .
Таким образом, симметричный четырехполюсник характеризуется двумя независимыми параметрами.
2.8. РОДСТВЕННЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ
Расчет А-параметров с помощью формул (2.16), (2.17) дает два решения, так как при извлечении квадратного корня А11 может принять как положительное, так и отрицательное значение. В результате, помимо матрицы [А], получаемой также с помощью решения по (2.19), появляется дополнительное решение в виде новой матрицы, каждый элемент которой имеет противоположный знак.
Наличие двух решений традиционно объясняют тем, что коэффициенты Aij зависят не только от структуры и состава четырехпо-
62
люсника, но и от положительных направлений напряжений и токов на входе и выходе. Последнее обстоятельство не может быть учтено ни расчетом, ни экспериментальным определением сопротивлений в режимах холостого хода и короткого замыкания. Представляется, что возникновение двух решений может также иметь иное объяснение. Изменение полярности выходного тока и напряжения, схемно реализуемое в виде перекрещивания выходных зажимов, образует новый четырехполюсник, характеризующийся своей схемой замещения и матрицей [А]. Таким образом, возникает понятие родственных четырехполюсников, одновременно удовлетворяющих одним и тем же значениям входных сопротивлений Z1х, Z2х, Z1k, Z2k. И в этом отношении такие четырехполюсники равноправны. У всех коэффициентов матрицы [А](2) родственного четырехполюсника знаки меняются на противоположные по отношению к коэффициентам матрицы [А](1).
Схемы замещения родственных четырехполюсников различны, а их соответствие друг другу с точки зрения передающих свойств можно проиллюстрировать с помощью рис. 2.6.
Следует отметить, что схемная реализация родственных четырехполюсников в ряде случаев невозможна, так как в результате расчета параметров схем замещения могут быть получены отрицательные значения активных сопротивлений.
63
2.9. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
Для несимметричных четырехполюсников можно подобрать такую пару сопротивлений Z1C и Z 2C , для которых соблюдаются следующие условия:
1. Входное сопротивление со стороны выводов 1–1′ Z1вх = Z1C , если к выводам 2–2′подключено сопротивление Z 2 = Z 2C (рис. 2.7, а).
2. Входное сопротивление со стороны выводов 2–2′ Z 2вх = Z 2C , если к выводам 1–1′подключено сопротивление Z1 = Z1C (рис. 2.7, б).
Z1C и Z 2C называют характеристическими сопротивлениями
(характеристическими параметрами) четырехполюсника. Выразим
Z1C и Z 2C через А-параметры. |
Для этого воспользуемся уравне- |
||||||||||
ниями (2.9) и (2.11): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U& |
|
|
= |
A U& |
+ A I& |
= |
A Z |
|
+ |
A |
|
Z1вх = Z1C = |
1 |
|
11 2 |
12 2 |
11 |
2C |
|
12 . (2.23) |
|||
I&1 Z 2 =Z 2 C |
A21U&2 + A22 I&2 |
|
A21 Z 2C + A22 |
||||||||
При выводе этого соотношения числитель и знаменатель дроби |
|||||||||||
разделили на I&2 и учли, что при Z 2 = Z 2C |
Z 2C = U&2 |
I&2 . |
|
||||||||
|
1 |
I&1 |
|
|
I&2 |
2 |
|
|
|
|
|
Z 1вх = Z 1C |
U&1 |
|
|
U&2 |
|
Z 2 = Z 2C |
|||||
|
1′ |
|
|
а |
|
2′ |
|
|
|
|
|
|
|
I&1 |
|
I&2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
Z 2 = Z 2C |
U&1 |
|
|
|
U&2 |
Z 1вх = Z 1C |
|
||||
|
1′ |
|
|
|
|
2′ |
|
|
|
|
|
б
Рис. 2.7
64
Из уравнений (2.11) следует, что
|
U& |
|
|
A U& |
+ A I& |
|
A Z |
1C |
+ A |
|
|
||
Z 2вх = Z 2C |
= |
2 |
|
= |
22 |
1 |
12 1 |
= |
22 |
12 |
. |
(2.24) |
|
& |
|
& |
& |
A21 Z1C + A11 |
|||||||||
|
|
I2 |
Z1 =Z1C |
|
A21U1 |
+ A11I1 |
|
|
|
||||
При выводе соотношения (2.24) числитель и знаменатель дро- |
|||||||||||||
би разделили на I&1 |
и учли, что при принятых условиях Z1C =U&1 |
I&1 . |
Решая совместно уравнения (2.23) и (2.24) относительно Z1C и Z 2C (два уравнения с двумя неизвестными), получаем:
Z1C = |
|
A11 A12 |
; |
(2.25) |
|
|
|
||||
|
A21 A22 |
|
|||
Z 2C = |
|
A22 A12 |
. |
(2.26) |
|
|
|
||||
|
|
A21 A11 |
|
||
С учетом (2.12) – (2.15) получим |
|
||||
Z1C = Z1х Z1к ; |
Z 2C = Z 2 х Z 2к . |
(2.27) |
Третьим характеристическим параметром четырехполюсника является постоянная передачи (или мера передачи), которая характе-
ризует четырехполюсник как элемент, через который передается мощность, и в общем случае представляет собой комплексное число
Γ = Α + jΒ , |
(2.28) |
|
где Α – постоянная ослабления; |
Β – постоянная фазы. |
|
Постоянная передачи должна удовлетворять условиям |
|
|
chΓ = |
A11 A22 , |
(2.29) |
shΓ = |
A12 A21 . |
(2.30) |
Эти выражения не противоречат соотношению (2.10), так как
ch2Γ − sh2Γ =1 .
65
Z1C , Z 2C , Γ называют вторичными параметрами четырехпо-
люсника. Эти величины независимы друг от друга и являются функциями параметров четырехполюсника.
2.10.УРАВНЕНИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
ВГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ
Выразим с помощью характеристических параметров соотношения между выражениями и токами на входе и выходе четырехполюсника. С этой целью разделим и умножим (2.25) на (2.26):
|
Z1C |
= |
A11 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Z 2C |
A22 |
||||
Z1C Z 2C = |
|
A12 |
. |
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
A21 |
Умножим и разделим (2.29) на (2.31):
chΓ |
Z1C |
= A |
; |
|
|
||||
|
|
Z 2C |
11 |
|
|
|
|
|
|
chΓ |
|
Z 2C |
= A . |
|
|
|
|||
|
|
Z1C |
22 |
|
|
|
|
|
Умножим и разделим (2.30) на (2.32):
shΓ Z1C Z 2C = A12 ;
shΓ |
|
= A . |
|
|
|
Z1C Z |
21 |
|
2C |
(2.31)
(2.32)
(2.33)
(2.34)
(2.35)
(2.36)
Таким образом, с помощью уравнений (2.33) – (2.36) можно выразить А-параметры через характеристические параметры четырехполюсника. Для этого (2.33) – (2.36) подставим в (2.9), тогда
66
U&1 = |
|
Z1C |
chΓU& |
|
+ shΓ |
Z1C Z 2C I&2 |
= |
|
Z1C |
(chΓU&2 + shΓZ 2C I&2 ) , (2.37) |
|||||||||
|
|
2 |
|
Z 2C |
|||||||||||||||
|
|
Z 2C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
shΓ |
|
|
Z |
2C |
|
|
Z |
2C |
shΓ |
|
|
||||||
I&1 = |
|
|
|
U& |
|
+ chΓ |
|
I&2 = |
|
|
|
|
|
U& |
2 + chΓI&2 . |
(2.38) |
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Z1C Z 2C |
|
|
Z1C |
|
Z1C Z 2C |
|
|
||||||||||
|
Получили уравнения четырехполюсника, |
в которых U&1 , |
I&1 , U&2 , |
I&2 связаны друг с другом с помощью трех независимых характеристи-
ческих параметров. Поскольку в эти соотношения входят гиперболические функции, то они называются уравнениями четырехполюсника
вгиперболических функциях.
2.11.РЕЖИМ СОГЛАСОВАННОЙ НАГРУЗКИ
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
Подключим к выходным выводам четырехполюсника Z 2 = Z 2C , тогда Z1вх = Z1C . Это соответствует согласованному режиму – режиму передачи максимальной мощности. В этом случае U&2 = I&2 Z 2C . Вынесем в (2.37) U&2 , а в (2.38) I&2 за скобки и получим
U&1 =U& |
|
|
Z1C |
|
|
I&2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
chΓ + |
|
|
|
Z 2C shΓ |
= |
|
||||||||
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Z 2C |
|
U2 |
|
|
|
(2.39) |
||||||||||
|
|
Z1C |
|
(chΓ + shΓ) =U&2 |
|
Z1C |
|
|||||||||||||
=U&2 |
|
|
|
eΓ; |
|
|||||||||||||||
|
|
Z 2C |
|
|||||||||||||||||
|
|
Z 2C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Z 2C |
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
I&1 = I&2 |
|
shΓ |
|
U2 |
|
+ chΓ = |
|
|
||||||||||||
|
|
|
I&2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Z1C Z 2C |
|
|
|
|
|
. |
(2.40) |
||||||||||
|
|
Z 2C |
(shΓ + chΓ) = I&2 |
Z 2C |
|
|||||||||||||||
= I&2 |
eΓ |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Z1C |
|
|
|
|
|
|
Z1C |
|
|
67
Уравнения (2.39), (2.40) называют уравнениями четырехполюсника для согласованного режима. Найдем произведение входного тока и напряжения,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
& |
|
|
|
& |
|
& |
e |
2Γ |
, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
I |
|
=U |
2 |
I |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Γ = |
|
1 |
|
|
|
U& |
1 |
I& |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
1 |
. |
|
|
|
(2.41) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
& |
|
& |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U2 I2 |
|
|
|
|
|||||||
В случае U&1 =U1e jψu1 , |
U&2 |
=U2e jψu2 , |
I&1 = I1e jψi1 , I&2 |
= I2e jψi2 |
|||||||||||||||||||||||
Γ = |
1 |
|
|
|
U e jψu1 I e jψi1 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
U2e jψu 2 I2e jψi 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
1 |
ln |
U1I1 |
+ j |
1 |
ln (ψu |
|
+ ψi |
−ψu |
|
−ψi ) = |
(2.42) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
U2 I2 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
2 |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
1 |
ln |
U1I1 |
+ j |
1 |
ln (∆ψu + ∆ψi ). |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
U I |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
142432 |
|
14424443 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Β |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Приведенные соотношения позволяют пояснить физический |
|||||||||||||||||||||||||||
смысл Α и Β: Α – |
постоянная ослабления (коэффициент затуха- |
ния), учитывает изменение полной мощности сигнала при прохожде-
нии через четырехполюсник; Β – постоянная фазы (коэффициент фазы), показывает изменение фазы напряжения и тока при прохождении сигнала от первичных выводов к вторичным. Значения Α и Β можно определить из уравнений
eΓ = chΓ + shΓ = A11 A22 + A12 A21 ; Γ = ln ( A11 A22 + A12 A21 ) . (2.43)
В симметричных четырехполюсниках A11 = A22 , тогда на осно-
вании (2.25)
Z1C = Z 2C |
= |
A12 |
= Z C . |
|
|||
|
|
A21 |
68
Связь между напряжениями и токами на входе и выходе четырехполюсника можно выразить с помощью двух характеристических сопротивлений и меры передачи. На основании (2.37) и (2.38) для симметричных четырехполюсников
U&1 = chΓU&2 + Z C shΓI&2 ; |
||||||
& |
|
shΓ & |
|
& |
(2.44) |
|
I |
= |
|
U |
2 |
+ chΓI |
. |
|
||||||
1 |
|
Z C |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
Если симметричный четырехполюсник нагрузить на |
Z 2 = Z C , |
||||||||||||||||||||||||
то согласно (2.39), (2.40) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
& |
|
e |
Γ |
|
& |
|
& |
e |
Γ |
. |
|
|
|
|
(2.45) |
|
|
|
|
U |
1 |
=U |
2 |
|
, I = I |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для симметричного четырехполюсника характеристическое со- |
|||||||||||||||||||||||||
противление Z C |
называют повторным. Это объясняется тем, что при |
||||||||||||||||||||||||
Z 2 = Z C входное сопротивление со стороны входных выводов тоже |
|||||||||||||||||||||||||
будет равно Z C , следовательно, (2.45) можно представить в виде |
|||||||||||||||||||||||||
|
U e |
jψu |
|
e |
jψu |
2 e |
Α+ jΒ |
; I e |
jψi |
= I |
e |
jψi |
Α+ jΒ |
, |
|
||||||||||
|
1 =U |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 e |
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U1 |
= eΑ; |
I1 |
= eΑ; |
ψu |
|
−ψu |
= ψi |
−ψi |
= Β. |
(2.46) |
||||||||||||||
U2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
I2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этих соотношениях еще более четко просматривается физический смысл постоянной ослабления и фазы.
Постоянная ослабления Α = ln U1 = ln I1 измеряется в неперах.
U2 I2
1 непер соответствует уменьшению модуля напряжения или тока
вe раз при прохождении тока от входных выводов к выходным
всимметричном четырехполюснике, нагруженном на Z C . Постоян-
ная фазы Β измеряется в радианах или градусах. Применяются и другие единицы измерения ослабления – белы и децибелы. Постоянная в белах определяется по формуле
69
Α = lg S1 = lg U1I1 ,
S2 U2 I2
где S1, S2 – полные мощности соответственно на входе и выходе четырехполюсника.
Для симметричного согласованного четырехполюсника
S |
= |
|
U |
U |
1 |
Z |
C |
= |
I Z |
I |
|
= |
U 2 |
= |
I 2 |
|||||
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
C 1 |
|
1 |
1 |
. |
||||||||
S |
|
U |
U |
|
Z |
|
I |
Z |
I |
|
U 2 |
|
||||||||
2 |
|
2 |
C |
|
2 |
|
|
I 2 |
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
C |
|
2 |
|
2 |
|
Вэтом случае постоянная ослабления (в белах)
Α= 2lg U1 = 2lg I1 ,
|
|
U2 |
I2 |
|||
в децибелах |
|
|
|
|
|
|
Α =10lg |
S1 |
=10lg |
U1 |
=10lg |
I1 |
. |
|
|
|
||||
|
S2 |
U2 |
|
I2 |
2.12. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
Токи и напряжения могут быть выражены через токи и напряжения со стороны входа и выхода с помощью передаточных коэффи-
|
& |
|
|
& |
|
|||
циентов kU |
= |
U2 |
и kI |
= |
I2 |
. Передаточная функция – это отношение |
||
|
||||||||
& |
||||||||
& |
||||||||
|
|
U |
1 |
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
комплексных амплитуд или комплексных действующих значений электрической величины на выходе и входе четырехполюсника при заданном режиме нагрузки. Выразив эти коэффициенты через А-па-
раметры, получим коэффициент передачи (или передаточную функцию) по напряжению
k |
= |
U& |
2 |
= |
|
U&2 |
|
|
= |
|
U&2 |
|
|
|
|
= |
|
Z 2 |
|
(2.47) |
|||
|
|
& |
|
|
& |
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
U |
& |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
A Z |
|
+ A |
|||||||||
|
|
U |
|
|
A U |
|
A I |
2 A U& |
+ A |
U |
2 |
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
1 |
|
11 2 |
|
12 |
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 2 |
12 |
|
Z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
70