Основы теории цепей. Часть 2
.pdfТогда номинальное характеристическое сопротивление
k = Z1 Z 2 = ωL |
1 |
= |
L |
= ρ , |
|
|
|||
|
ωC C |
нормированная переменная
ν2 = Z1 = ωLωC = ω2 LC ,
4Z 2 4 4
ν = ω LC . 2
Найдем частоту среза (граничную частоту), которой соответствует ν =1 :
ω = ω = |
2 |
, |
|
||
c 0 |
LC |
|
|
|
откуда
ν = ω . ω0
Условие пропускания
Α = 0 ,
Β = 2 arcsin ν = 2 arcsin ω ,
ω0
характеристические сопротивления в полосе пропускания:
Z C = ρ 1 −ν2 = ρ |
1 − |
|
ω |
|
2 |
|||||||||
|
, |
|||||||||||||
ω0 |
||||||||||||||
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Z C |
|
= |
|
ρ |
= |
|
ρ |
|
|
|
|
. |
||
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
−ν2 |
|
ω |
2 |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ω0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
121
Условие затухания
Β = π ,
характеристические сопротивления в полосе затухания:
|
|
|
ω |
2 |
||
Z C |
= jρ ν2 −1 = jρ |
|
|
−1 , |
||
ω0 |
||||||
|
Т |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Z C |
|
= |
− jρ |
= |
|
− jρ |
|
. |
||
П |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ν2 |
−1 |
|
ω |
2 |
|
|
||
|
|
|
−1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ω0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Характеристические сопротивления Z CТ и Z CП |
в зоне пропус- |
кания активные, а в зоне затухания Z CП − индуктивное, |
Z CТ − емкост- |
ное (рис. 3.7). |
|
|
|
|
Z CT |
|
|
Z C |
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
A |
ρ |
|
|
Β |
|
|
Z CT |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
область |
|
|
область |
ω0 |
затухания |
ω |
|
Z CП |
|||
|
пропускания |
Рис. 3.7
122
Покажем, что граничная частота полосы пропускания (частота среза) соответствует резонансной частоте при резонансе напряжений для Т-схемы (см. рис. 3.6, а) в режиме короткого замыкания:
|
|
= j ωL + |
−j |
1 |
|
j |
ωL |
= j ωL + |
|
|
L |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Z |
|
ωC |
2 |
|
|
C2 |
|
= |
|||||||
вхкз |
|
|
|
|
ωL |
|
−2 +ω2 LC |
||||||||
|
2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
−j |
|
|
+ j |
|
j |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ωC |
|
2ωC |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Условие резонанса напряжений
ωL − |
ωL |
= 0 , |
|||
ω2 LC − 2 |
|||||
2 |
|
|
|||
откуда |
|
|
|
|
|
ω = ω = |
|
2 |
. |
||
|
|
||||
c |
0 |
|
LC |
||
|
|
|
j ωL − j |
ωL |
. |
|
||
2 |
ω2 LC −2 |
Также граничная частота соответствует резонансной частоте для П-схемы (см. рис. 3.6, б) при резонансе токов в режиме холосто-
го хода, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
= |
1 |
|
|
+ |
|
1 |
|
= j ωC − j |
ωC |
, |
||
1 |
|
|
|
1 |
|
||||||||
|
вххх |
|
|
|
|
2 |
ω2 LC − 2 |
||||||
|
|
− j |
|
|
|
|
jωL |
− j |
|
|
|
|
|
|
|
ωC |
ωC |
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
условие резонанса токов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
ωC − |
ωC |
|
= 0 , |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
ω2 LC − 2 |
|
|
из которого может быть определена резонансная частота, совпадающая с частотой среза:
ω = ω = |
2 |
. |
|
|
|||
0 |
с |
LC |
|
|
|
123
3.5.2. Фильтры высоких частот
Схемы простейшего высокочастотного фильтра представлены на рис. 3.8. Установим соответствия между обозначениями на рис. 3.1 и рис. 3.8.
2С |
2С |
C |
Z1 |
2 |
Z1 |
2 |
2Z 2 |
2L 2Z 2 |
2L |
|
L |
|
|
а |
Рис. 3.8 |
б |
Для Т-схемы (см. рис. 3.1, а и рис. 3.8, а)
Z1 |
= − j |
1 |
; Z |
|
= − j |
1 |
; Z |
|
= jωL ; |
2 |
ω2С |
1 |
|
2 |
|||||
|
|
|
ωC |
|
для П-схемы (см. рис. 3.1, б и рис. 3.8, б)
|
|
|
|
Z1 |
= − |
1 |
; 2Z |
2 = j2ωL; Z 2 = jωL . |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
jωC |
|
|
|
|
Нетрудно убедиться в том, что k = Z1 Z 2 = ρ, а частота среза |
||||||||
ω = ω = |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
с |
2 |
LC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Условие пропускания |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Α = 0 , |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
2 |
|
|
|
|
|
Β = 2arcsin |
= 2arcsin ν2 , |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ω0 |
характеристические сопротивления в полосе пропускания:
Z CТ = ρ 1 −ν2 = ρ |
|
ω |
2 |
|
1 − |
0 |
|
, |
|
|
|
ω |
|
|
124
Z C |
|
= |
|
|
ρ |
|
= |
|
|
ρ |
|
|
|
. |
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 −ν2 |
ω |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
Условие затухания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
ω 2 |
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
Α = arcch |
2ν |
−1 |
= arcch |
|
2 |
|
|
−1 |
|
, |
|||||||
|
|
|
ω |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Β = −π,
характеристические сопротивления в полосе затухания:
Z CТ = − jρ ν2 −1 = − jρ |
|
ω |
2 |
|
|
0 |
|
−1 , |
|
|
|
ω |
|
|
Z C |
|
= |
jρ |
= |
|
jρ |
|
. |
||
П |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ν2 |
−1 |
|
|
ω |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
Зависимость характеристических сопротивлений Z CТ и Z CП от частоты представлена на рис. 3.9.
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z C |
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
ρ |
|
|
|
Z CT |
||
|
|
|
|
|
||
|
Z C |
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
область |
ωс |
область |
ω |
||
|
пропускания |
|||||
|
затухания |
|||||
|
|
|
|
|
Β |
|
|
|
|
|
|
|
|
− π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
125
Физическое действие фильтров низких и высоких частот легко объяснить тем, что на низких частотах индуктивные сопротивления малы, а емкостные велики. На высоких частотах имеет место обратное явление – индуктивные сопротивления велики, а емкостные малы. Поэтому, например, в фильтрах низких частот (см. рис. 3.6) токи проходят через индуктивность в нагрузку, лишь в малой степени ответвляясь в емкость.
Рассуждения, приведенные выше, применимы и к фильтрам верхних частот (см. рис. 3.7), которые благодаря емкостному характеру сопротивления продольной ветви и индуктивному характеру сопротивления поперечной ветви обусловливают большое затухание на низких частотах и малое затухание на высоких.
3.5.3.Полосовые и заграждающие фильтры
Вполосовых (рис. 3.10) и режекторных фильтрах (рис. 3.11) используются частотные свойства сопротивлений двухполюсников, состоящих из последовательно и параллельно соединенных индуктивностей и емкостей.
L1/2 2C1 |
L1/2 2C1 2C1 L1/2 |
C2/2 |
2L2 |
C2 |
L2 |
а |
Рис. 3.10 |
б |
L1/2 |
L1/2 |
L1/2 |
2C1 |
2L2 |
2C1 2L2 |
2C1 |
|
C2/2 |
|
C2/2 |
|
а |
б |
|
|
|
Рис. 3.11 |
|
126
В пределах полосы пропускания напряжение на входе симметричного фильтра, нагружено согласованно, опережает напряжение на выходе ( Β > 0 – фильтр низких частот) или отстает от него ( Β < 0 – фильтр высоких частот). В случае полосового фильтра знак коэффициента фазы Β изменяется в пределах полосы пропускания с минуса на плюс. В полосе затухания симметричного фильтра коэффициент фазы Β равен π (ФНЧ) или −π (ФВЧ). В случае симметричного полосового фильтра коэффициент фазы ниже полосы пропускания равен −π, а выше полосы пропускания – равен π .
Зависимости коэффициента ослабления и коэффициента фазы, а также характеристических сопротивлений от частоты для полосового и заграждающего фильтров представлены соответственно на рис. 3.12 и 3.13.
Рассмотренные особенности k-фильтров позволяют сделать вывод о том, что преимуществом таких фильтров является их простота, а также то, что в полосе затухания крутизна кривой, отображающей коэффициент затухания, по мере удаления частоты от частоты среза неуклонно растет.
127
К имеющимся недостаткам существующих k-фильтров относят:
♦резкое изменение характеристических сопротивлений в полосе пропускания фильтра в зависимости от частоты, вследствие чего согласовать нагрузку с фильтром удается только на ограниченном диапазоне частоты;
♦недостаточная крутизна кривой затухания вблизи частоты среза, вследствие чего не обеспечивается четкое разделение частот.
Для увеличения крутизны кривой затухания приходится применять многозвенный фильтр.
3.5. ЗАДАЧИ И ВОПРОСЫ |
|
|
||
|
Типовые задачи |
|
|
|
Задача 1. |
|
L |
|
|
Дано: для фильтра низких частот |
|
|
||
(рис. 3.14) частота среза |
fc = 25 кГц, вол- |
C/2 |
C/2 |
|
новое сопротивление ρ =800 Ом. |
||||
|
|
|||
|
|
Рис. 3.14 |
|
|
128 |
|
|
|
Найти: параметры L, C фильтра; величину U1 U2 |
на частоте |
|||||||||||||||||||||||
f = 50 кГц при согласованной нагрузке и Z н =ρ . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Параметры L, C можно определить из соотношений: |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ = |
|
|
=800, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω = 2πf |
|
= |
2 |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
c |
|
LC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решая данную систему уравнений, получим |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L ≈ 0, 01 Гн, C ≈ 16 нФ. |
|
|
|
||||||||||
Отношение U1 U2 |
при согласованной нагрузке можно опреде- |
|||||||||||||||||||||||
лить при помощи коэффициента затухания: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U1 |
= eΑ . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Коэффициент затухания определим двумя способами. |
|
|
||||||||||||||||||||||
Первый способ. |
A11 = −ch Α, |
откуда Α = arcch(−A11 ) , |
при этом |
|||||||||||||||||||||
A11 =1−2ν |
2 |
, где ν= |
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 2 |
|||||||
|
|
|
|
. Произведярасчет, получим A11 =1− |
2 |
|
=−7 . |
|||||||||||||||||
|
ω0 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
||||
Для функции arcch |
известно, что |
|
|
|
||||||||||||||||||||
y = arcch x = |
ln(x − |
(x2 |
|
−1) |
|
y ≤ 0, |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x≥0 |
ln(x + |
(x2 |
|
−1) |
|
y ≥ 0. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В нашем случае |
y > 0 , |
поскольку коэффициент затухания по- |
||||||||||||||||||||||
ложителен. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Α = ln( |
|
A11 |
|
+ |
|
|
A112 −1) = ln(7 + |
|
(−7)2 −1 = ln13,9 = 2,63 Нп, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
и, значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
129
U1 =13,9 .
U2
Второй способ. Вспомним, что коэффициент затухания – это действительная часть меры передачи:
Α = Re(Γ) = Re(ln( A11 A22 + A12 A21 )) .
Определим А-параметры:
A21 |
= |
1 |
(1 −ν2 ) = |
1 |
(1 −ν2 ) = jωC(1 −ν2 ) = − j0, 0151Ом-1, |
|
|
1 |
|||||
|
|
Z 2 |
|
|||
|
|
|
|
− j |
ωC |
|
A12 |
= Z1 = jωL = j3,1415 103 Ом, |
|||||
A11 = −7 . |
|
|
|
|||
Тогда мера передачи |
|
|||||
|
|
Γ = ln(7 + |
j3,1415 103 (− j0,0151)) = ln13,88 , |
|||
|
|
|
|
Re(Γ) = ln13,88 = 2, 63 . |
Определим отношение U1 U2 для режима нагрузки Z н = ρ = =800 Ом при помощи коэффициента передачи по напряжению:
U&1 = 1 .
U&2 kuu
Следует напомнить, что приведенная выше формула справедлива как для согласованного режима, так и для несогласованного.
Откуда
|
U |
1 |
1 |
|
|
A |
|
|
|
j3,1415 |
103 |
|
|
|
|
|
= mod |
|
|
= mod A11 + |
12 |
= mod −7 |
+ |
|
|
|
=8,026 . |
||
U2 |
|
|
800 |
|
|
|||||||||
kuu |
|
|
Z í |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Задача 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дано: для фильтра высоких частот (рис. 3.15) частота среза |
|||||||||||
ω0 = 25 103 с–1 , |
характеристическое |
сопротивление Z C |
= − j600 Ом |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
при ω1 = 20 103 с–1 .
130