Сапунов Прогнозирование ползучести и длителноы прочности 2015

вующее значение ln aT . Новое трансформированное время для этих кривых будет составлять

ln (t aT ) = ln t + ln aT .

Все кривые при этом совмещаются в одну обобщенную кривую, совпадающую в интервале базисного периода с экспериментальной кривой, полученной при базовой температуре приведенияT0 . Со-

ответственно обобщенная кривая может служить для прогноза -де формируемости за пределами экспериментального базиса, причем временной интервал может быть расширен на несколько порядков.

Один из вариантов построения обобщенных кривых температур- но-временной зависимости прочности основан на допущении, что температура и время до разрушения связаны одной универсальной функцией. Принимается, что согласно принципу температурновременной аналогии должна существовать безразмерная функция температуры aT = aT (T / T0 ), такая, чтобы абсолютное время t

могло присутствовать в физических соотношениях только в виде комбинаций:

обобщенных кривых длительной прочности в координатахs / T - ln t

61

или s - ln t . Формула (2.18) определяет наличие вертикального сдвигового фактора, а формула (2.19) - его отсутствие.

Существуют и другие варианты построения обобщенных кривых температурно-временной зависимости прочности. В частности, показано, что формула (2.4) соответствует наличию обобщенной кривой длительной прочности в координатах s / T - ln t . Подобное соответствие может быть установлено и для других параметрических зависимостей.

3.Методы размерностей, подобия

имоделирования в инженерных задачах

3.1.Элементы теории размерностей и подобия

Уравнения, описывающие физические законы, содержат, как правило, размерные физические величины, и, соответственно, обширная научно-техническая литература использует язык размерных величин. Однако существует и другая, достаточно специфическая форма записи физических законов –безразмерная. Представление физических уравнений в безразмерном виде позволяет более глубоко вникнуть в суть явления, разобраться в характере обусловливающих его связей и зачастую значительно сократить объем работ, связанных с изучением рассматриваемого явления.

Теоретические основы анализа размерностей. P -теорема.

Любая физическая величина(сила, напряжение, скорость и т.д.) может быть охарактеризована(представлена) с помощью числа, выражающего ее отношение к некоторой одноименной величине, принимаемой за единицу измерения.

Единицы измерения могут быть основными и вспомогательными. Определенная совокупность единиц измерения образует систему единиц. В частности, на основе международных соглашений законодательством многих стран установлено предпочтительное применение Международной системы единиц СИ(SI). В систему единиц СИ входят семь основных единиц:

длины – метр (м, m) ,

массы – килограмм (кг, kg) ,

62

времени – секунда (с, s) ,

температуры – кельвин (К, K) , силы тока – ампер (А, A) , силы света – кандела (кд, cd),

количества вещества – моль (моль, mol),

и две вспомогательных (дополнительных):

плоский угол – радиан (рад, rad) , телесный угол – стерадиан (ср, sr) .

Опуская доказательства, можно утверждать, что применительно к любой системе единиц производная единица(рассматриваемая физическая величина) [a] является функцией вида

где A1 , A2 , A3 - основные единицы измерения; a, b, g, . . . - лю-

бые действительные числа. В системе СИ соотношение(3.1) может быть представлено степенным одночленом

где символы L, M , t, T - единицы измерения длины, массы, вре-

мени, температуры и т.д. Соотношение типа (3.1) носит название формулы размерности. В частности, размерность силы F представляется соотношением

[F ]= LM t -2 ,

удельной теплоемкости c -

[с]= L2t -2T -1 .

63

Особый интерес представляет случай, когда обращаются в нуль все показатели в формуле размерности и производная единица является безразмерной величиной. Безразмерным является, например, отношение одноименных величин

[a / A]=1 .

Численные значения размерных величин изменяются при переходе от одной системы единиц к другой, при так называемых метрических преобразованиях. Действительно, если формулу размерности (3.1) записать для системы единиц B1 , B2 , B3 , . . . , причем

B1 = l1 × A1, B2 = l2 × A2 и т.д., будем иметь

l1al2bl3g . . . раз. Во столько же раз изменится и численное значение размерной величины:

b = l1al2bl3g . . . a .

Безразмерные величины, в отличие от размерных, при переходе к другим единицам измерений своего численного значения не меняют, и это свойство называется инвариантностью по отношению к метрическим преобразованиям.

Любой физический закон может быть представлен соотношением типа

64

Соотношение (3.3) можно трактовать как связь между (s + 1) величинами.

Среди величин a1, a2 , . . . , as могут быть как размерные, так и безразмерные величины. Пусть из имеющихся s величин размер-

( k £ n ) с независимыми размерностями. Последнее означает, что формула размерности любой из них не может быть представлена комбинацией, составленной из формул размерности для других ве-

личин. Например, размерности длины L , скорости L t -1 и энергии

ML 2t -2 независимы; размерности длины L , скорости L t -1 и ускорения L t -2 зависимы, поскольку L t -2 = (L t -1 )2 L -1 .

Очевидно, что в выбранной системе единиц должно быть, по

65

Перейдем к новой системе основных единиц b1, b2 , . . . , bk , принимая, что

[b1] = l1 ×[a1] , [b2 ] = l2 ×[a2 ] , … , [bk ] = lk ×[ak ] .

Согласно формуле (3.2) при таком переходе численные значения размерных величин (3.5) изменятся и будут определяться следующими соотношениями:

Функциональный идентификатор f , с помощью которого оп-

ределен физический закон, не может изменяться с переходом от одной системы единиц измерения к другой. Соответственно соотношение (3.3) можем переписать в форме

Поскольку выбор коэффициентов l1, l2 , . . . , lk может быть про-

извольным, определим их следующими соотношениями:

66

l1 =1 / a1, l2 =1 / a2 , . . . , lk =1 / ak .

В этом случае первые k аргументов в соотношении (3.7) в ходе метрического преобразования будут принимать значения, равные единице:

[P]=1 и т.д.

Сучетом полученных соотношений(3.8) и (3.9) уравнение физического закона (3.7) принимает вид

P = f (1, 1, . . . , 1, P1, . . . , P n -k , an +1, . . . , as ) ,

или

67

где введены обозначения

Как видно из сопоставления соотношений (3.3) и (3.11), физический закон в форме связи между (s + 1) величинами (размерными и безразмерными) с помощью метрического преобразования приведен к форме связи между (s + 1)- k безразмерными комбинациями. Этот вывод известен под названиемP -теоремы (теоремы Букингемма - Федермана):

всякое полное уравнение физического процесса, записанное в определенной системе единиц, может быть представлено в виде зависимости между некоторыми безразмерными величинами.

Безразмерные комбинации P1 , . . . , Pn -k , P n +1-k , . . . , P s -k , входящие в уравнение (3.11), определяют условия подобия (соответствия) законов в форме уравнений(3.3) и (3.11) и носят название критериев. Согласно P -теореме число этих критериев равно (s + 1)- k .

Техника приведения физических уравнений к безразмерному виду. В соответствии с изложенными выше анализом размерностей и P -теоремой можно рекомендовать следующий порядок операций по приведению физических уравнений, связывающих размерные величины, к безразмерному виду.

1. Пусть известно, что размерная физическая величина y является функцией f аргументов ai ( i =1, 2, . . . , s ), причем пусть из имеющихся s аргументов размерными будутn , а остальные s - n - безразмерными.

2.Выписываем размерности всех величин.

3.Выделяем среди n размерных величин совокупность k основных величин с независимыми размерностями.

68

4. Образуем безразмерные параметры P , P1 , . . . , Pn -k по формулам (3.9), так чтобы размерности степенных многочленов, образующих знаменатели, были те же, что и у числителей.

P n +1-k , . . . , P s -k , входящие в уравнение (3.11), подразделяют на комплекс- и симплекс-критерии. Число комплекс-критериев равно разности между числом параметров с неодинаковыми -раз мерностями и числом физических величин, обладающих независимыми размерностями. Остальные критерии являются симплекскритериями.

В результате приведения физического уравнения к безразмерному виду первоначальное количество аргументов существенно сокращается. Отмеченное обстоятельство имеет важное практическое значение, поскольку работать с меньшим числом переменных удобнее.

Физический закон в безразмерном виде связывает безразмерные параметры, каждый из которых можно рассматривать как некую исходную обобщенную переменную, что придает обобщенный характер и рассматриваемому физическому закону.

Отметим, что, будучи чисто формальным аппаратом, анализ размерностей и приведение физических уравнений к безразмерному виду является не более как средством упорядочения наших представлений о характере действующих в природе закономерностей.

Понятия теории подобия и моделирования. Анализ физиче-

ских законов (уравнений), представленных в безразмерном виде, показывает, что если все определяющие безразмерные параметры (критерии) Pi ( i =1, 2, . . . , m ) одинаковы (равны), то описываемые

69

физические системы (процессы) подобны друг другу. Два процесса (явления) считаются подобными, если по характеристикам одного явления можно получить характеристики другого простым умножением на коэффициенты, зависящие только от размерности (простым пересчетом, который аналогичен переходу от одной системы единиц измерений к другой). В механике деформируемого твердого тела можно говорить о геометрическом, механическом, температурном (тепловом) и кинетическом подобии, не забывая и другие виды подобия: структурное, физико-химическое и т.д. Подобие физических процессов и систем широко используется в технике для исследований методом моделирования.

Наиболее простыми являются условия механического ,ив особенности, геометрического подобия. Нередко эти условия считают достаточными для определения полного физического подобия, что, конечно, неверно, если имеют место существенные отступления от структурного, кинетического, теплового и других видов подобия.

Два геометрических объекта (линия, плоская фигура, пространственное тело) геометрически подобны, если один из них может быть размещен внутри другого таким образом, чтобы в результате равномерного деформирования (преобразования), когда все размеры деформируемого объекта изменяются в одинаковое число раз, оба рассматриваемых геометрических объекта полностью совпали (рис. 3.1). Говорят, что объекты, отвечающие данному определению, не только геометрически подобны, но и сходственно расположены.

y2 y1

b2

x1 x2

Рис. 3.1

70