42. Теорема о матрице билинейной формы.
Пусть
L
– вещественное пространство, числовая
функция А(х,у) зависит от
наз-ся билин формой, если явл-ся линейной
по каждом из этих аргуметов.
1.A(x+z, y) = A(x,y) + A(z,y) 2.A(x;z+y) = A(x,z) + A(x,y) 3. A(λx, y) = λA(x,y); λ€R 3. A(x, λy) = λA(x,y); λ€R
f(x) – линейн форма, g(y) – линейн форма => A(x,y) = f(x) g(x) – билинейн форма.
опр. билин форма А(х,у) наз-ся симметричной, если для любых х,у: A(x,у) = А(у,х), наз-ся кососимметричной, если А(х,у) = - А(у,х)
теор
(о представлении билин формы в конечномерном
пространстве):
L
– n-мерное
пространство.,
базис
=>A(x,y)
=
(1),где
–
билин форма
(2),
,
,
т.е.
Док-во:
из (1) и (2) следует, что В(х,у) =
,
ч.т. д.
43. Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Ранг билин формы.
L
– n-мерное
пространство,
- 2 базиса. В(е) – матрица в базисе е,B(f)
– матрица билинейной формы в базисе f.
теор.
Пусть
матрица перехода от базиса е к базисуf.
c’
– транспонированная
матрица
Док-во:
элементы
выражаются
через
;
-элементы
матрицы квадратичн формы В(х,у) в е.
;
;
-элементы
В(f).
B(f)=c’B(e)c
, ч.т.д.
следствие. В(f) – матрица билинейной формы в линейном базисе е.
Док-во: B(f)=c’B(e)c => с – невырожденная матрица (|c| не = 0)=> c’ – невырожд. Ранг матр при умножении на невырожд матрицу не меняется. B(e)c = rang B(f), ч.т.д.
опр. Ранг билинейной формы В(х,у) в пространство L наз-ся билинейной формы относительно любого базиса
опр. Билинейная форма В(х,у) в L наз-ся невырожденной, если rang [B] = dimL. Если rang [B] < dim L => вырожденная.
44. Приведение квадратичной формы к канонич виду методом Лагранжа.
опр. Пусть А(х,у) – билинейная форма, симметричная в L. Квадратичной формой наз-ся функция А(х,х) (то есть х=у), и исходная билинейная форма А(х,у) назся
Лемма
о представлении билин формы в Евкл
прост-ве: V
– Евкл пр-во,
Док-во:
-
ОНБV.;
h:
,k=1,…,n
=>
.
ч.т.д.
Докажем
единственность:
F(x)=<x,h1>,
f(x)
= (x,h2>
=> <x,
h1
– h2>
= 0 => x=h1
–h2
=> <h1-h2,h1-h2>
= 0 => (h1-h2)
=0 = h1=h2
ч..т.д.
теор.
В(х,у) - билинейн форма в Евкл прост-ве
=>
B(x,y)=
<x,Ay>
док-во:
,
В(х,у) – билин форма относительно х=>
по лемме
B(x,y)
= <x,h>.
B(x,y)
= <x,Ay>.
Линейность оператора вытекает из B(x,
y1+y2)
= <x,
A(y1+y2)>
= <x,Ay1>
+ <x,Ay2>.
Докажем единственность:
.B(x,y)=<x,y,>=<x,A1*y>,
B(x,y)=<x,A2*y>
=> <x1,
(A1-A2)y>=0.
Пусть
x=(A1
– A2)y => <(A1-A2)y, (A1-A2)y>=0 => (A1-A2)y = 0,
=> A1=A2, ч.т.д.
следствие:
В(х,у) – билин форма V
=>
В(х,у)
= <Ax,y>
40. Сопряж операторы в Евклид пространстве. Самосопряж операторы и их свойства.
опр.
V
– конечномерное Евкл прост-во.
наз-ся
сопряженным к линейному оператору А,
если для
утв. А* - линейный оператор.
Док-во: <Ax, λ1*y1 + λ2*y2> = <Ax, λ1*y1> + <Ax, λ2*y2> = λ1* <Ax,y1> + λ2* <Ax,y2> = λ’1*
Док-во 3: А – самосопр оператор, т.е. A=A’ и λ1, λ2, …- различн собств значения. λ1 не = λ2, х1 и х2 – соответ собств векторы => Ax1 = λ1*x1; Ax2 = λ2*x2 => <Ax1,x2> = λ1<x1,x2>; <x1, Ax2> = λ2<x1,x2>. <Ax1,x2> = <x1,Ax2> => λ1<x1,x2> = λ2 <x1,x2>; (λ1- λ2)<x1,x2>=0
по условию λ1 не = λ2 => <x1,x2?=0 => x1 ортогонально х2. ч.т.д.