35. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

-1ый базис (1), 2 базис вV (2). Переход от (1) к (2): , где. Пустьматрица А в (1).,матрица А в (2).

теор. При указанных обозначениях , гдеu^(-1) – обратная матрица u.

Док-во: (3)(4);; (3) => => базис => => => => , ч.т.д.

Следствие: , т.е. определители матрицы линейного оператора не

базиса, явл-ся инвариантным. наз-ся следом оператора А (trA = );

det(A- λI)=0 наз-ся характеристическим уравнением А. - уравнение относительно λ.

опр. Число λ наз-ся собственным значением А, если существует ненулевой вектор оператора А (К не = 0), что Ах= λх (). х – собств вектор.

теор. Чтобы λ было собствен значением А необход и дост, чтобы это число было корнем характеристического уравнения оператора А.

Док-во: (необход). Пусть λ – собсвт значение А, х – собств вектор (ненулевой). Ax= λx => Ax= λIx => (A- λI)x=0 => ядро оператора (A- λI) не пусто (ker (A- λI) не =0) => dim ker(A- λI)1:dim (im (A- λI)) + dim (ker (A- λI)) = n => dim (im (A- λI))n-1 (1)

Согласно определению dim (im (A- λI)) = rang (A- λI); (1) => rang (A- λI)≤n-1 => det [A-λI)]=0 => λ корень характерист уравнения.

Док-во: (достаточность) пусть λ корень характ уравнения => rang(A- λI)≤n-1; det [A-λI] = 0 => (1) => dim ker (A-λI) ≥1 => (A-λI)x=0 => Ax = λx => λ собств щначение оператора А

Пр.

1 шаг: det (A-λI)=0 I – матрица тождественного оператора

[A]: , ,- коэффициенты разложенияпо базису

т.к. по (1) => матрица диагональна.

Док-во: (достаточность) пусть [A] диагон матрица вида (2) => (A-λI)x=0 при , т.е. - собств вектора А, ч.т.д.

38. О линейной независимости собственных векторов лин оператора, отвечающих различн собств значениям.

теор. А – лин оператор, ,- собсвт значения А; λ1, λ2,….- различны. => отвечающие им собственные векторы х1, х2,… - линейно независимые.

Док-во: докажем по индукции. Пусть х1 – собств вектор А, х1 не =0. Пусть справедливо для.если все коэффициенты = 0. Пусть. По условию х – собств вектор А=>(1);. По условиюлин независимо

(1): , т.к.если=> линейно независимы.

Следствие. Если det (A-λI)=0; λ1, λ2,…, λn=0 – есть n различных корней.

Док-во: Пусть х1, х2, хn – соотвест собств вектора.Эти вектора линейно независимы => можно брать как базисные вектора пространства V. => [A] в базисе имеет диагональный вид, ч.т.д.

39. Билинейные формы в Евкл пространстве. Теорема о представлении билинейной формы.

, где С – комплексная плоскость. А наз-ся билинейной формой или функционалом. Если L(R,R) – А наз-ся функцией.

опр. Числовая функция В(х,у), где х,у – элементы некоторого линейного пространства, наз-ся билинейной формой. Если 1)B(x+y,z) = B (x,z) + B (y,z) 2) B(x,y+z) = B (x,y) + B (x,z) 3) B (λx,y) = λB(x,y) 4) B(x, λy) = λB(x,y)

<x, A’y1> + λ’2* <x,A’ y2> = <x,A’(λ1*y1 + λ2*y2)> => доказана линейность A’

теор. Любой А имеет единств сопряж оператор.

<Ax,y> - билин форма =>; длясопряж оператор.

Свойства сопряж оператора: 1) I’ = I 2) (A+B)’ = A’ + B’ 3) (λA)’ = λ*A’ 4) (A’)’ = A 5) (AB)’ = B’A’

Док-во1: <Ix, y> = <x, I’y> => <x,y> = <x, I’y> => y=I’y => I=I’

Док-во 5: <(AB)x,y> = <A(Bx),y> = <Bx,A’y> = <x,B’(A’y)> = <x,(B’A’)y> => <(AB)x,y> = <x,(B’A’)y> ; <(AB)x,y> = <x,(BA)’y => (AB)’ = B’A’

опр. наз-ся самосопряж, еслиA’=A

опр. А и В коммутируют, если АВ=ВА

теор. А и В – самосопряж операторы. Чтобы АВ было самосопр необх и дост, чтобы А и В крммутировали.

Док-во: (AB)’ = B’A’=BA (A’=A, B’=B) => если AB = BA, то (AB)’=AB => АВ самосопр.

Докажем др способом. пусть А и В самосопр => (AB)=(AB)’=BA => AB=BA ч.т.д.

Св-ва: 1) Собств значения - вещественное число (действительное). 2) Собств значения самосопр оператора вещественны, т.е. действительные числа. 3) если А – самосопр оператор, то собств вектора, отвечающие различным собств значениям этого оператора, ортогональны между собой.

Док-во 1: по свойству - компл сопряженность. <Ax,x>=<x,Ax>, <Ax,x>=<x,A’x>=<x,Ax> => только для действ чисел => <x,Ax> - действ, ч.т.д.

Док-во 2:λ – собств значение самосопр оператора, т.е. => <Ax,x> = < λx,x> = λ <x,x> = λ ||x||^2 => λ действ число

Док-во: из утв3