- •Введение
- •Глава 1. Неопределенный интеграл
- •§1. Первообразная, неопределенный интеграл и его свойства
- •§2. Табличные интегралы
- •§3. Почленное интегрирование. Метод внесения под знак дифференциала
- •§4. Интегралы, содержащие в знаменателе квадратный трехчлен или квадратный корень из него
- •§5. Интегрирование рациональных дробей
- •§6. Замена переменной
- •§7. Метод интегрирования по частям
- •§8. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций
- •§9. Тригонометрические и универсальная тригонометрическая подстановки
- •§10. Применение различных методов интегрирования
- •§4. Метод интегрирования по частям и замена переменной в определенном интеграле
- •§9. Физические приложения определенного интеграла: вычисление длины пути, работы переменной силы
- •и многие другие
- •Заключение
- •Библиографический список
Пример 12 |
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y = arcsinx при |
|||
Найти объем |
тела, полученного вращением |
кривой |
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||||||||||
x [0,1] вокруг оси Oy . |
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Найдем обратную функцию |
x =sin y при |
y [0, |
π |
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]. Тогда по формуле |
|||||||||
(2.18) получим |
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2 |
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π /2 |
π /2 |
1 |
− |
cos2ydy = |
π |
1 |
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π /2 |
π2 |
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||||||||||
VOy =π ∫ |
sin2 ydy = π ∫ |
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y − |
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sin2y |
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= |
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. |
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|||
0 |
0 |
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2 |
2 |
2 |
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0 |
4 |
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Пример 13 |
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x = a(t −sint), |
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|||||
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при |
||||||
Найти объем тела, полученного вращением циклоиды |
= a(1−cost) |
|||||||||||||
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y |
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0≤t ≤ 2π вокруг оси Ox . Циклоида – это кривая, которая описывает движение точки, зафиксированной надвижущейся по горизонтальной прямойокружности.
По формуле (2.19)
2π |
2 |
(1−cost) |
2 |
|
′ |
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dt = πa |
3 |
2π |
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3 |
dt = |
|||||||
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|||||||||||||||
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||||||||||||||||
V =π ∫a |
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a(t −sint) |
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∫(1−cost) |
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|||||||||||
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|||||
0 |
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0 |
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=πa3 |
2∫π (1−3cost + 3cos2 t − cos3 t)dt , |
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||||||||||||||
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0 |
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так как интегралы по длине периода от cost |
и cos3 t |
обращаются в ноль, то |
|||||||||||||||||||
V =πa |
32π |
|
3 |
(1 |
|
|
32π 5 |
dt = 5π |
2 |
a |
3 |
. |
|||||||||
|
1+ |
2 |
+ cos2t) dt =πa |
∫0 |
2 |
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|||||||||||||
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|
∫0 |
|
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§9. Физические приложения определенного интеграла: вычисление длины пути, работы переменной силы
и многие другие
І. Из физического смысла производной s′(t) = v(t) следует, что если известна скорость v(t) за время от t1 до t2 , то пройденный путь за это время
t2 |
|
s = ∫v(t)dt . |
(2.21) |
t1 |
|
52
Пример 14
Найти путь тела, падающего под действием силы тяжести (сопротивлением воздуха пренебречь, например, в первые минуты при затяжном парашютном прыжке с большой высоты, пока парашют не раскрыт).
В нашем случае будет равноускоренное движение с ускорением g |
м/с2, |
|
поэтому v = gτ , время τ меняется от 0 до t . По формуле (2.21) s = ∫t |
gτdτ |
= gt2 |
0 |
|
2 |
. Так легко выводится с помощью интегрирования хорошо известная из школьного курса физики формула равноускоренного движения.
ІІ. Пусть тело движется по прямой под действием непрерывной переменной силы F(x)
при x1 ≤ x ≤ x2 (рис. 19). Воспользуемся диффе-
ренциальным методом: возьмем произвольный x , дадим приращение ∆x и найдем элементарную работу ∆A на этом отрезке. Так как при постоянной силе F работа A = Fl равна произведению силы на путь, а длина пути равна как раз ∆x , поэтому можно считать на этом отрезке, что сила не меняется и равна F(x):dA = F(x)∆x = F(x)dx . Следовательно, сум-
марная работа на всем отрезке [x1,x2] будет равна
x2 |
|
|
A = ∫F(x)dx. |
(2.22) |
|
x1 |
|
|
В примере 18 на странице 52 формула (2.22) |
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|
используется для нахождения потенциальной энер- |
|
|
гии, накопленной телом при его удалении с по- |
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верхности Земли в бесконечность. |
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ІІІ. Дифференциальный метод позволяет ре- |
|
|
шить большое количество всевозможных задач. |
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Пример 15 |
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|
Найти работу, потраченную на подъем всех |
Рис. 20 |
|
блоков, из которых сложена пирамида |
Хеопса. |
|
В основании четырехугольной правильной пирамиды лежит квадрат со стороной a = 200 м, высота h =140м, удельный вес камня, из которого вырезались
блоки d = 2,5 мт3 .
Для решения воспользуемся дифференциальным методом. Введем ось Ox, направленную по вертикали, для произвольного x [0;140), дадим приращение ∆x и найдем элементарную работу по подъему на высоту x усеченной пира-
53
миды ( ∆P − её вес, а ∆V −объем):∆A = x ∆P = x d ∆V. Так как высота пирамиды равна ∆x , которая будет в качестве множителя, то заменим усеченную
пирамиду на |
параллелепипед |
со стороной |
|
основания |
|
a(x), |
|
тогда |
dA = |
|||||||||||||||||
= 2,5 x a2(x)∆x. Чтобы найти |
a(x), которая с высотой убывает от 200 до 0, |
|||||||||||||||||||||||||
возьмем вертикальное сечение PAB (рис. 20).Изподобия ∆PMN ∆PAB (рис.21) |
||||||||||||||||||||||||||
MN = |
PK , |
a(x) |
= h − x |
, a(x) = a (h − x) = |
200 |
(140− x) =10 |
(140− x). |
|||||||||||||||||||
AB |
PO |
a |
h |
h |
|
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140 |
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7 |
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||||
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Подставив в формулу для дифферен- |
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циала работы, получим |
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||||||||||
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dA = 2,5 x 100 |
(140− x)2 |
∆x . Переходя к |
||||||||||||||||||||
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49 |
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интегралу, получим |
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|||||||||
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A = |
140∫ 2,5x100 |
(140− x)2dx ≈ |
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|||||||||||||||||||
|
|
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|
|
0 |
|
|
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49 |
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||
|
|
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|
|
140 |
(1402 x − 2 140x2 + x3)dx = |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
≈ 5 |
∫ |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
0 |
|
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|
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2 x2 |
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|
x3 |
|
|
x4 |
|
|
140 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||
|
|
|
|
=5 |
140 |
|
|
|
|
|
− 2 140 |
|
|
+ |
|
|
|
|
= |
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
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|||||
Рис. 21 |
|
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=5 140 |
4 |
|
− |
+ |
|
≈ |
10 |
8 |
(тм). |
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|||||||||||||
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|
3 |
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|||||||||||||||||
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|
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||||||
При вычислениях мы приближенно заменили |
100 ≈ 2, |
|
142 |
=196≈ 2 102 . |
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|||||||||||||||||||||
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|
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|
49 |
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|
Ответ: A ≈1,67 1011кгм.
Отметим, что вычисленная работа в килограммометрах, а не в джоулях, очень наглядна: если разделить 167 миллиардов кгм на 7 миллиардов человек, то каждый житель Земли должен поднять приближенно пудовую гирю (16 кг) до плеча (1,5 м)!
54
§10. Несобственные интегралы первого и второго рода
Рассмотрим задачу о вычислении площади S под кривой y = f (x) ( f (x)> 0) на
бесконечном промежутке (рис. 22). Для её вычисления найдем площадь S(N) на конеч-
ном отрезке x [a,N], а затем в пределе получим площадь S
Рис. 22
S = +∞∫ |
f (x)dx = Nlim→∞ N∫ f (x)dx . |
(2.23) |
a |
a |
|
Интеграл (2.23) называется несобственным интегралом первого рода и
позволяет вычислять для положительных функций площадь S под кривой y = f (x), если она конечна. По определению в этом случае несобственный ин-
теграл называется сходящимся, если же он равен ∞ или не существует (напри-
мер, +∞∫sinxdx ), то говорят, что интеграл (2.23) расходится.
0
Пример 16
Найти площадь под кривой y = x21+1. Отметим, что данная функция четная, поэтому
S = +∞ |
dx |
= 2+∞ |
dx |
|
= = 2lim N |
dx |
= 2limarctgx |
|
N = |
|||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
−∞∫ |
x2 +1 |
∫0 x2 +1 |
N →∞ ∫0 x2 +1 |
π |
N →∞ |
|
0 |
|||||
|
||||||||||||
|
= 2lim(arctgN −arctg0)= 2 |
=π . |
|
|
||||||||
|
|
|
N →∞ |
|
|
|
2 |
|
|
|
Приведем еще один пример из табличных расходящихся интегралов.
Пример 17
Найти площадь под гиперболой y = 1x
при x [1,+∞).
S = |
+∞ dx |
= lim N dx |
= limlnx |
|
N = lim(lnN −ln1)= ∞. |
|
|
||||||
|
∫1 x |
N →∞ ∫1 x |
N →∞ |
|
|
1 N →∞ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
55 |
Пример 18
Вычислить вторую космическую скорость – минимальную скорость, при достижении которой ракета «разорвет» силу притяжения Земли. Предположим, что ракета стартует с Земли (рис. 23) и вычислим по формуле (2.22) работу A, которую нужно затратить при движении от поверхности Земли (R −радиус Земли) до бесконечности, в нашем случае по закону тяготения Ньютона
|
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|
F(r)=γ |
mM |
, |
|
|
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Рис. 23 |
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r2 |
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где m −масса ракеты, а M −масса Земли: |
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||
+∞ |
+∞ |
mM2 dr = γmM |
N |
|
|
|
1 |
|
|
N |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||
A = ∫ F(r)dr = |
∫γ |
Nlim→∞ ∫r−2dr = γmM Nlim→∞ |
− |
r |
|
|
= |
|||
R |
R |
r |
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
mM |
|
=γmM lim |
− |
|
+ |
|
|
= γ |
|
. |
N |
|
R |
||||||
N →∞ |
|
|
R |
|
|
Как известно, при наборе высоты затраченная работа накапливает потенциальную энергию Π , если предположить, что тело падает обратно, то эта по-
тенциальная энергия переходит в кинетическую энергию Τ = mV2 2 . Очевидно,
что ракета преодолевает силу притяжения Земли при A = Π ≤T , а вторая космическая скорость V2 получится в случае равенства этих двух видов энергии:
|
mV 2 |
mM |
(так как на m |
можно сократить, то V |
не зависит от массы раке- |
|||||||||||||||
|
2 |
|
=γ |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|
R |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ты!) |
и V |
= |
2γM |
. Заметим, что на поверхности Земли вес ракеты равен силе |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||
тяжести: |
mg |
=γ mM |
, откуда |
|
γM |
= gR . Поэтому |
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||||||||||||
|
|
|
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|||||||||||||||||
|
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R2 |
|
|
R |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
V = |
|
|
|
= = |
2 9,8 6,4 106 |
м |
м = |
|
103 м ≈11,2 |
км . |
||||||||
|
|
|
2gR |
125,44 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с2 |
с |
с |
Интересно, что она в 2 больше первой космической скорости V1 = gR ≈
56
≈ 7,9 кмс , чтобы выйти на орбиту вокруг Земли. На практике, если расположить космодром на экваторе, можно за счет скорости его вращения Vэ =ωR ≈ 0,5 кмс уменьшить на эту величину V1 и V2 , поэтому все ракеты стартуют на
восток.
Часто важно знать не количественный, а качественный ответ: сходится данный интеграл, или расходится, например, при применении интегрального признака Коши в теории положительных числовых рядов. В этом случае полез-
ны признаки сравнения.
Пусть
0≤ f (x)≤ f2(x) при x [a,+∞) |
(2.24) |
(рис. 22 на с.51). Тогда |
|
І. Если несобственный интеграл +∞∫ f2(x)dx от большей функции сходится,
a
то и несобственный интеграл +∞∫ f (x)dx от меньшей функции тоже сходится;
a
ІІ. Если вышеприведенный интеграл от меньшей функции f (x) расходится
(а для неотрицательной функции это значит, что он равен ∞), то и от большей функции соответствующий интеграл тоже расходится.
Для доказательства достаточно отметить, что площадь S под кривой y = f (x) меньше площади S2 под кривой y = f2(x).
Для того, чтобы сравнивать исследуемый интеграл со степенными функциями, рассмотрим табличные несобственные интегралы первого рода:
+∞ dx |
|
сходится при p >1, |
|
∫1 x p |
− |
расходится при p ≤1. |
(2.25) |
Доказательство. При p =1 в примере 17 мы доказали расходимость соответствующего интеграла. Так как при x ≥1 и p <1, xp ≤ x, то x1p ≥ 1x и по вто-
рому признаку сравнения интегралы тоже расходятся и вторая часть (2.25) доказана.
Пусть теперь p >1, тогда
+∞ |
dxp |
N |
x− pdx = lim |
x |
− p+1 |
|
N |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||
= lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
−1 |
= |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
N |
p−1 |
p −1 |
|||||||||
x |
N →∞ ∫ |
N →∞ −p +1 |
|
|
1− p N →∞ |
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
57 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как при p >1 N |
в положительной степени попало в знаменатель и |
1 |
|
= 0, |
|
||||
|
|
∞ |
|
то интегралы при таких p сходятся.
Приведем пару примеров на применение признаков сравнения.
Пример 19
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
||
Исследовать на сходимость ∫1 |
xdx |
. |
|
|
|
||||||||
x3 +1 |
|
|
|
||||||||||
Так как при больших значениях |
x единица пренебрежимо мала, есте- |
||||||||||||
ственно, сравнить подынтегральную функцию f (x) = |
x |
|
с табличной функ- |
||||||||||
x3 +1 |
|||||||||||||
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
цией f |
|
(x)= |
= |
, для которой при |
p = 2>1 (пример 18) интеграл сходится. |
||||||||
2 |
x3 |
|
|||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
Следовательно, надо воспользоваться первым признаком сравнения и проверить выполнение неравенств (2.24) при x ≥1: x3x+1≤ x12 . Умножив на x2
(x3 +1)> 0, получим x3 ≤ x3 +1, 0<1−верно. Так как интеграл от большей таб-
личной функции сходится, то по первому признаку сравнения исследуемый интеграл тоже сходится.
Замечание. Если бы мы не знали признака сравнения, то пришлось брать
достаточно сложный интеграл от рациональной дроби x , а затем
(x +1)(x2 − x +1)
еще и считать непростые пределы. А если бы в знаменателе был бы кубический многочлен ax3 +bx2 + cx + d (a > 0)?
Пример 20
+∞ x2
Исследовать на сходимость ∫1 2x3 + x2 +5x +10dx .
Если оставить в знаменателе только первое слагаемое 2x3, которое при x → ∞ растет в бесконечное число раз быстрее остальных, то, кажется, что
надо сравнивать с функцией f (x)= 2xx3 = 21x , для которой табличный интеграл (2.25) при p =1 расходится, и надо воспользоваться вторым признаком сравне-
ния для f2(x)= |
x2 |
; но, очевидно, что так как к 2x3 добавляются |
|
2x3 + x2 +5x +10 |
|||
|
|
положительные слагаемые, то чем больше знаменатель, тем меньше дробь и наша функция будет, наоборот, меньше табличной (а надо в этом случае подбирать табличную f (x) меньше данной функции). Поэтому уменьшим табличную
функцию, положив в знаменателе вместо коэффициента 2 больший коэффици-
58
ент, |
например, |
|
3. |
Тогда |
потребуется |
доказать |
неравенство |
|||||
|
1 |
< |
x2 |
|
. Опять, так как все функции положительны, приведем к |
|||||||
|
2x3 + x2 +5x +10 |
|||||||||||
|
3x |
|
|
дает 2x3 + x2 +5x +10<3x3 , |
или |
x2 +5x +10< x3 . |
||||||
общему знаменателю, |
что |
|||||||||||
Легко подобрать |
для |
натуральных |
значений x , |
что |
уже |
при |
x = 4 верно |
16+ 20+10< 64, поэтому требуемое неравенство (2.24) будет заведомо выполнено при x ≥ 4 . Так как исследуемая функция при x ≥ 4 больше табличной, от которой несобственный интеграл расходится, то и данный интеграл тоже расходится.
Несобственные интегралы второго рода
Рассмотрим теперь случай, когда график функции y = f (x) уходит в бесконечность при подходе x
к некоторому конечному числу, то есть у функции в этой точке будет бесконечный разрыв второго рода, а у графика– вертикальная асимптота. Нас будет инте-
Рис. 24 |
ресовать ∫b |
f (x)dx , где функция непрерывна в ин- |
|
a |
|
тервале (a,b), а вертикальная асимптота будет на левом или правом конце ин-
тервала. Тогда пользоваться формулой Ньютона-Лейбница нельзя (функция должна быть непрерывна на отрезке [a,b]). Возможно два случая (может быть и
оба сразу), они отражены на рис. 24 и рис. 25.
В каждом из них мы будем сдвигаться на некоторое маленькое ε > 0 внутрь отрезка [a,b]:
|
∫b |
f (x)dx = limε→0 |
∫b |
f (x)dx , |
(2.26) |
|
a |
|
a+ε |
|
|
Рис. 25 |
∫b |
f (x)dx = limε→0 b∫−ε |
f (x)dx . |
(2.27) |
|
|
a |
|
a |
|
|
Формулы (2.26), (2.27) определяют несобственные интегралы второго рода для каждого из случаев. Определение сходимости общее для несобственных интегралов и первого, и второго рода: если соответствующий предел (2.26) или (2.27) равен конечному числу, то интеграл сходится, в противном случае
расходится.
Пример 21
Вычислить |
2 |
|
dx |
|
или доказать его расходимость. |
|
|
|
|
||||
∫0 |
|
|
||||
4 − x2 |
||||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
59 |
|
Так как |
|
|
|
lim |
|
|
1 |
|
|
|
= +∞, то данный интеграл |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→2−0 |
4 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
– несобственный второго рода (случай б). По формуле |
||||||||||||||||||||||||
(2.27) |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
dx |
|
|
|
= lim |
2−ε |
|
dx |
|
|
= limarcsin |
x |
|
|
2−ε |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
4 − x |
2 |
|
|
ε→0 |
4 |
− x |
2 |
|
ε→0 |
2 |
|
0 |
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Рис. 26 |
|
|
|
|
|
= limarcsin |
2−ε |
|
= arcsin1= |
π . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ε→0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
Признаки сравнения тоже формулируются (и геометрически поясняются) |
||||||||||||||||||||||||
одинаково: пусть 0≤ f (x)≤ f2(x) |
|
при x (a,b](или [a,b), или (a,b) |
|
в зависи- |
||||||||||||||||||||
мости от случая а), б), или обоих вместе). Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
І. Если несобственный интеграл ∫b |
|
f2(x)dx |
от большей функции сходится, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то несобственный интеграл ∫b |
f (x)dx от меньшей функции тоже сходится; |
|||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІІ. Если несобственный ин- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теграл |
|
|
∫b |
f (x)dx от |
|
меньшей |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
функции расходится, то несоб- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ственный |
|
|
интеграл |
|
∫b |
|
f2(x)dx от |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
большей функции и подавно рас- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А вот табличные несоб- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ственные интегралы второго рода |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с точки зрения сходимости по |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сравнению с несобственными ин- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тегралами первого рода формули- |
|||||||||||||||
Рис. 27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
руются наоборот: |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 dx |
сходится при p <1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∫0 |
x p = |
расходится при p ≥1. |
|
|
|
|
|
(2.28) |
60
Для доказательства отметим (рис. 27), что если сделать симметрию относительно биссектрисы первого координатного угла y = x , то несобственный
интеграл второго рода |
1 |
dx |
станет несобственным интегралом первого рода |
|
∫0 |
x1/p |
|||
|
|
(2.25) (так как при переходе к обратной функции при такой симметрии степен-
1
ная функция x p переходит в x p ), и поэтому в правой части (2.25) надо поменять в вопросе о сходимости p >1 и p <1 местами, а при p =1 функция y = 1x
переходит сама в себя и расходимость остается (площадь под гиперболой бесконечна (пример 17 на с. 52)).
Пример 22
|
Вычислить |
4 |
|
dx |
|
|
или доказать его рас- |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∫2 (x −3)2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ходимость. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 3 |
|||
|
Так |
как |
|
в |
точке |
разрыва |
|||||||||
lim |
1 |
|
= +∞, |
то разрежем отрезок интегриро- |
|||||||||||
(x −3)2 |
|||||||||||||||
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
вания пополам при x = 3 (рис. 28) |
|
|
|
||||||||||||
Рис. 28 |
4 |
dx |
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||
|
∫2 |
= ∫2 |
dx |
+ ∫3 |
dx |
. |
|
||||||||
|
(x −3)2 |
(x −3)2 |
(x −3)2 |
|
Из соображений симметрии графика относительно асимптоты x = 3 и симметрии точек a = 2, b = 4 , тогда
|
|
|
|
3 |
dx |
4 |
dx |
|
4 |
dx |
|
|
|
|
|
|
∫2 |
+ ∫3 |
= 2∫3 |
. |
|
||||
|
|
|
|
(x −3)2 |
(x −3)2 |
(x −3)2 |
|
|||||
Заменимx −3= z , |
dx = dz , |
z1 = 3−3= 0, |
|
z2 = 4−3=1, |
получим |
|||||||
4 |
dx |
1 |
dzz2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2∫3 |
= 2∫0 |
= +∞ для табличного интеграла (2.28) при p = 2>1. |
|
|||||||||
(x −3)2 |
|
61
§11. Приближенное вычисление определенных интегралов
Как отмечалось ранее, существуют «неберущиеся» интегралы, кроме того, громадное количество интегралов невозможно практически взять, например, рациональные дроби, степени многочленов которых велики, интегралы с иррациональностями, сложные выражения с тригонометрическими и другими основными элементарными функциями. Поэтому существуют различные методы и формулы для приближенного вычисления определенных интегралов с заданной точностью ε , отметим, что при стремительном увеличении быстродействия ЭВМ можно ограничиться простейшими методами. Итак, мы будем вычислять
∫b f (x)dx c точностью ε .
a
Метод прямоугольников. Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей, то есть выберем шаг
h = b − a |
(2.29) |
n |
|
и заменим каждую криволинейную трапецию на прямоугольники (рис. 29), это можно сделать двумя способами:
а) брать высоты hk прямоугольников равными значению функции на левом конце разбиения: hk = f (xk ) = yk , тогда
∫b |
f (x)dx = S ≈ h y0 + h y1 + + h yk + + h yn−1 ; |
(2.30) |
a |
|
|
б) брать высоты hkп на правом конце разбиения |
|
|
∫b |
f (x)dx = S ≈ h y1 + h y2 + + h ykп + + h yn . |
(2.31) |
a |
|
|
Отметим, что если, например, функция y = f (x) возрастает на [a,b], то
формула (2.30) дает ответ с недостатком, а формула (2.31) – с избытком. Очевидно, чем больше число n и, соответственно, чем меньше шаг h , тем точнее получится ответ, оценки для точности ε мы приведем в конце этого раздела для всех методов, в случае же строго монотонной функции, сделав зазор между
62
ответами S1 по формуле (2.30) и S2 по формуле (2.31) меньше 2ε : S1 − S2 < 2ε , можно взять в качестве ответа с точностью ε их среднее арифметическое
∫b f (x)dx
a
функции
≈ S1 +2S2 . Применив эту формулу для любой непрерывной на [a,b]
f (x), получим
Рис. 30
ниже следующий метод.
ІІ. Метод трапеций. Заменив каждую криволинейную трапецию на обычную трапецию
(см. рис. 30), по формуле Sтрап = yk +2yk+1 h, про-
суммировав по всем k и заметив, что крайние значения y0 и yn встретятся по одному разу, а
все остальные: y1, ,yn−1 дважды (как правая и
левая граница соседних двух трапеций), получим
формулу трапеций
b |
b − a y |
0 |
+ y |
n |
|
|
|
|
||
∫ f (x)dx ≈ |
n |
|
|
|
+ y1 + y2 |
+ + yn−1 |
, |
(2.32) |
||
|
|
2 |
|
|||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
которая точнее формулы прямоугольников. |
ІІІ. Формула Симпсона. Будем |
||||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
заменять |
части кривой |
y = f (x) на |
||||
|
|
|
параболы |
y = Ax2 + Bx +C |
(рис. 31). |
||||
|
|
|
Так как парабола однозначно опреде- |
||||||
|
|
|
ляется тремя точками (у квадратич- |
||||||
|
|
|
ной функции три неизвестных коэф- |
||||||
|
|
|
фициентов A, B, C и для их опреде- |
||||||
|
|
|
ления надо задать три линейных |
||||||
|
|
|
уравнения). Покажем, что площадь |
||||||
Рис. 31 |
|
параболической трапеции S1 |
для первых |
||||||
тами y0, y1, y2 |
|
трех точек разбиения x0, |
x1, |
x2 |
с ордина- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
= h |
(y |
+ 4y + y |
). |
|
|
|
(2.33) |
|
1 |
3 |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
Сдвинем параболическую трапецию так, чтобы точка |
a = x0 |
перешла в |
точку x = −h , тогда точка x1 перейдет в начало координат, а точка x2 в точку
63
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = h . S |
= |
∫ |
Ax2 |
+ Bx +C dx = 2 |
∫ |
Ax2 +C dx , мы воспользовались формулами |
||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
−h |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.5)и(2.6). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
h |
Ax |
2 |
+C dx = 2 |
|
|
x3 |
|
|
h |
h |
|
|
Ah3 |
+3Ch |
|
h |
2Ah |
2 |
+ 6C . |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
+Cx |
|
|
|
= 2 |
|
|
= |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Чтобы выразить полученный ответ через y0, |
y1, y2 |
найдем значения па- |
||||||||||||||||||||||
раболы y = Ax2 + Bx +C при x = −h , x = 0, |
|
x = h : |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 = Ah |
− Bh +C, |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 =C, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ Bh +C, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 = Ah |
|
|
|
|
|
|
откуда легко видеть, что 2Ah2 + 6C = y0 + 4y1 + y2 , и, следовательно формула
(2.33) верна.
Так как ключевые точки на графике, где «склеиваются» параболические кусочки идут через одну (y0,y2,y4, ), то необходимо, чтобы общее число раз-
биений n было четным. Для таких n выпишем все площади параболических трапеций
S = h |
(y + 4y + y |
), S |
|
= h |
(y |
|
+ 4y + y |
), …, S |
= h (y |
|
+ 4y |
|
+ y |
|
), |
|||
1 |
3 |
0 |
1 2 |
|
2 |
3 |
|
2 |
3 4 |
|
n2 |
3 |
n−2 |
|
n−1 |
|
n |
|
так как |
S ≈ S1 + S2 + + Sn , то после приведения подобных членов (сравните |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ситуацию для ключевых точек с методом трапеций), получим |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
S = b − a |
[y0 + yn + 2(y2 + y4 + + yn−2)+ 4(y1 + y3 |
+ + yn−1)], |
|
(2.34) |
|||||||||||||
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мы вывели формулу Симсона. Часто её пишут в другом виде, подставив n = 2m.
64
Пример 23 |
|
|
Вычислить приближенно ∫2 |
dx |
1) по формуле прямоугольников, 2) по |
1 |
x |
|
формуле трапеций, 3) по формуле Симпсона, разбив отрезок интегрирования на десять частей.
Составим таблицу
Таблица
|
x |
1 |
1,1 |
1,2 |
|
1,3 |
|
1,4 |
1,5 |
1,6 |
1,7 |
1,8 |
1,9 |
2 |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yk |
1 |
0,90909 |
0,83333 |
|
0,76923 |
0,71429 |
0,66667 |
0,625 |
0,58824 |
0,55556 |
0,52632 |
0,5 |
||
|
1) по формуле (2.30) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
∫2 dx = |
2−1 |
(y0 + y1 + + y9) = 0,1 7,18773= 0,71877; |
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
x |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по формуле (2.31) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
∫2 dx |
= 0,1 (y1 + y2 + + y10) = 0,1 6,68773= 0,66877. |
|
|
|||||||||
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1 |
x |
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Так как функция y = 1x строго убывает на [1,2], то первый ответ будет с
избытком, а второй – с недостатком. 2) по формуле трапеций (2.32)
2 |
dx |
|
y0 |
+ y10 |
|
|
∫ |
|
= 0,1 ( |
|
|
+ y1 |
+ + y9)=0,69377. |
x |
|
2 |
||||
1 |
|
|
|
|
Проверьте, что этот ответ равен среднеарифметическому двух ответов в п 1). 3) по формуле Симпсона (2.34)
∫2 |
dx |
0,1 (y0 + y10 + 2(y2 + y4 + y6 + y8)+ |
|
1 |
x |
3 |
|
+4(y1 + y3 + y5 + y7 + y9))= 0,69315. |
|||
Для табличного интеграла убедитесь, что ∫2 |
dx = ln2, затем найдите значение |
||
|
|
1 |
x |
ln2 на калькуляторе или по таблице с точностью до седьмого знака. Убедитесь,
65
что по сравнению с истинным ответом в соответствии с правилами округления формула прямоугольников дает только один знак после запятой, формула трапеций даёт ошибку в третьем знаке после запятой, а формула Симпсона гарантирует все пять знаков, с которыми она считалась.
В общем случае, максимальная погрешность формул прямоугольников,
трапеций достигает соответственно |
(b − a)3 |
M |
|
и |
(b − a)3 |
M |
|
, где |
M2 = |
|
f |
′′ |
|
− |
|
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|||||||||||
12n2 |
2 |
24n2 |
2 |
|
(x) |
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||||||||
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наибольшее значение второй производной заданной функции на [a,b], а фор-
мулы Симпсона (b − a)5 M4 , где M 4 =
180n4
той производной заданной функции на ственно выгоднее.
f (IV)(x) ̶наибольшее значение четвер- [a,b], то есть формула Симпсона суще-
Замечание. Это свойство формулы Симпсона сохраняется и в том случае, когда у нас нет аналитического задания функции f (x).
Например, чтобы построить плотину на реке (рис. 32), надо оценить
|
Рис. 32 |
площадь поперечного сечения ре- |
|
|
ки, выбрав шаг |
h , можно замерить |
|
|
|
||
глубину с этим шагом, например, при ширине реки в 1 км и |
n =1000 замерять |
||
глубины по |
всей ширине реки через каждый метр, а |
затем подставить |
|
y0,y1, ,y1000 |
в формулу Симпсона. |
|
|
66
Расчетно-графические задания по теме «Неопределенный и определенный интегралы»
Предлагаемые варианты состоят из 7 заданий: I. Взять неопределенные интегралы.
II.Вычислить определенные интегралы.
III. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость. IV. Найти площадь плоской фигуры. В декартовой системе координатсделать чертеж.
V. Вычислить длину дуги кривой.
VI. Найти объём тела, полученный вращением фигуры (лежащей в плоскости xOy и ограниченной заданными линиями) вокруг данной оси.
VII. Решить физическую задачу.
Перечисленные выше задания предназначены для выработки навыков интегрирования и решению задач на приложения определенных интегралов. Он потребуется студентам первого курса всех специальностей как для самостоятельной работы, так и в качестве контрольных заданий вашего варианта (для тех специальностей, где контрольная работа предусмотрена учебным планом). Перед решением задач рекомендуем посмотреть теорию и приведенные примеры, из соответствующего данному примеру, параграфа первой и второй главы. Как показывает опыт, кроме решения примеров предложенного варианта и систематического выполнения домашних заданий, потребуется еще дополнительно решить n -ое количество задач из [4-7] для полного овладения «техникой» интегрирования и применением дифференциального метода в прикладных задачах. Для его лучшего усвоения решите последнюю задачу из других вариантов.
67
Вариант 1
I. |
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2)3dx |
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2tgx |
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1) ∫sin(1−3x)dx |
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2) |
∫ |
(3 x |
− |
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3) |
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dx |
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x |
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∫ cos2 x |
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4)∫ |
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x |
5 |
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dx |
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5) ∫ |
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dx |
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6) |
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x −8 |
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8− |
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2x − x |
2 |
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dx |
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12 |
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4 − x |
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∫ |
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x2 − 4x +5 |
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x3 |
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8) ∫ |
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2x +1 |
dx |
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9) ∫x2cos2xdx |
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|
7)∫ |
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dx |
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x3 + x2 |
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x2 + x +1 |
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−1 |
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x5 |
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||||||||||
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10)∫arctg2xdx |
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11)∫ |
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x |
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dx |
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12)∫ |
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dx |
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x( |
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x +1) |
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x2 + 2 |
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13)∫sin3xcos4xdx |
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14) ∫cos |
3 |
xsin |
5 |
xdx |
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15)∫ctg |
4 |
xdx |
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dx |
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18) ∫e |
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dx |
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||||||||||||||
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16) ∫ |
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17)∫ |
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x2 −1 |
dx |
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|
x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5−3cosx |
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x4 |
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17)* ∫ |
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x3 |
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dx |
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x2 + 2x + 2 |
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II |
1) |
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3 |
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y(ln y −1)dy |
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7 |
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xdx |
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|
π /2 |
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|
sin2 x −3arctgx +3x2 |
) |
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2) |
∫ |
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3) ∫ |
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dx |
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3 x +1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
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2 |
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0 |
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||||||||||||||||||||||||||
|
−π /2( |
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III |
∞ |
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xdx |
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1 |
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dx |
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1) ∫ |
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2) ∫ |
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3 2− 4x |
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016x4 +1 |
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0 |
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IV |
1) y = x |
2 |
, y = 3− 2x |
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|
|
|
2cos |
3 |
t, |
|
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3)ρ |
2 |
=9cos |
2 |
ϕ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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x = |
|
|
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2) |
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2sin3t. |
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(0≤ϕ ≤ 2π ) |
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y = |
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V |
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2 |
3 |
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x = cost +t sint, |
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3) ρ = cosϕ |
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2) |
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(−π |
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π ) |
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1) y |
= |
x2 ( 3 ≤ x ≤ 8) |
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≤ϕ ≤ |
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3 |
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y = sint −t cost, |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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0≤t ≤π |
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2 |
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2 |
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||||||||||||||||||||||||
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VI |
1) y = 2x − x2, |
y = x (Ox ) |
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2) |
x =3sint , |
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y = 2cost (Oy ) |
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||||||||||||||||||||||||||||||
VII |
1) |
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скорость |
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прямолинейного |
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движения |
материальной |
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|
точки |
v =3t2 − 2t +5 м/с. Найти путь, который прошла материальная точка, за первые три секунды.
2)* вычислить силу давления воды на плотину в виде равнобедренного треугольника (вершина смотрит вниз) с основанием 8 м и глубиной 3 м.
68
Вариант 2
I. |
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dx |
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2) ∫ (2x +5)2dx |
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5 |
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1) ∫ |
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3) ∫arcsin 2x dx |
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4x +1 |
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2x |
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1− x |
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||||||||||||||||
|
4) ∫ |
|
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|
x5 |
|
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dx |
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5)∫ |
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dx |
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|
6) |
∫ |
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2x −1 |
dx |
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|
x |
2 |
|
|
− 4x |
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|||||||||||||||||
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12 |
+ |
4 |
|
|
|
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|
x |
2 |
|
+ 2x −7 |
|
|
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|
|
+3 |
|
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x |
|
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|
7)∫ |
x |
4 |
− 2x |
2 |
|
+ 4 |
dx |
|
|
|
|
|
8)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
4x −7 |
|
dx |
|
9) |
∫x |
2 |
|
sin2xdx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
(x −1) |
2 |
(x − 4) |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
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|
−3 |
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||||||||
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|
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|
3 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
e3x |
|
|
|
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||||||||||||
|
10) ∫arсctg2xdx |
|
|
|
|
|
11)∫ |
|
x |
|
dx |
|
|
|
|
|
12)∫ |
|
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|
|
dx |
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|
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|
x(3 x +1) |
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|
ex −1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
13)∫sin6xsin7xdx |
|
|
|
|
|
14) |
∫ |
|
cos3 x |
|
dx |
|
|
|
|
|
15)∫tg |
4 |
xdx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
17)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
16) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
− x |
2 |
dx |
|
|
|
|
|
18) ∫e |
|
|
x+1dx |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin2 x + 4cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17)* ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 4x +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
II |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
π /2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
2) |
∫ln(x2 +1)dx |
|
|
|
|
|
3) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
cos2 x −5arctg |
|
|
|
−5x4 |
dx |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2+ x +1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−π /2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
III |
1 |
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
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|
4 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
−6x +9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
016x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
IV |
1) y = x2, |
|
y = 4x −3 |
|
|
|
|
|
2) |
x =3sint, |
|
|
|
|
|
3)ρ =3(1+cosϕ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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(0≤ϕ ≤ 2π ) |
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y = 2cost. |
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V |
1) y = lncosx , 0≤ x |
≤ |
π |
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2) |
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3) ρ =sinϕ |
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6 |
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x = 2(cost +t sint), |
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(0≤ϕ ≤π) |
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2(sint −cost) |
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y = |
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(0≤t ≤π) |
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VI |
1) y = 2x − x2, y =0 (Ox ) |
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2)x =3cost , |
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y = 2cost (Oy ) |
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VII |
1) найти работу при движении тела вдоль оси Ox под действием силы |
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|
F(x)=3x2 − 4x +5 |
|
н при x [1,3]. Найти путь, |
|
который прошла матери- |
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|
альная точка, за первые три секунды. |
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2)* вычислить работу, которую нужно затратить на сооружение конического |
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|
кургана, радиус основания которого |
|
R = 2 |
м, а высота |
H =3 |
м, из однород- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ного строительного материала плотностью |
δ = 2,5 |
т/м3. |
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69 |
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Вариант 3
I. |
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dx |
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3)2dx |
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dx |
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1) ∫ |
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2)∫ ( |
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x |
− |
3)∫ |
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xlnx |
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4 −9x2 |
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3 x |
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4) ∫ |
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x |
5 |
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dx |
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5) ∫ |
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dx |
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6) |
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2x −1 |
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4x |
2 |
+ 4x +1 |
∫ |
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dx |
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x12 − 4 |
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x2 −6x +10 |
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x3 − x2 +3x − 2 |
dx |
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8) |
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4x − 21 |
9) ∫x2e2xdx |
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7)∫ |
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x2 |
+ 2 |
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∫ |
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dx |
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(x −1)(x + 2)(x −3) |
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10) ∫arcsin2xdx |
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11)∫ |
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dx |
12)∫ |
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|
23x |
|
dx |
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x +1(3 x +1+1) |
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2x |
+1 |
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13)∫sin10xcos12xdx |
|
|
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|
14) ∫ |
|
sin3 x |
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|
dx |
15)∫(tg4 x −1)dx |
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cosx |
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dx |
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dx |
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18) ∫sin |
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dx |
||||||||||||||||
|
16)∫ |
|
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17)∫ |
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x +1 |
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|
cos2 x + 25sin2 x |
|
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|
x |
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x2 −1 |
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∫ |
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|
x3 |
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|||||||||||||||
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17)* |
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|
dx |
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|||||||||||||||||||||
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x2 + 6x +10 |
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|||||||||||||||||||||||||
II |
|
1 |
( |
|
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|
|
) |
|
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|
e |
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|
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4 |
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||||
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||||||||||
1) |
2arcsin |
3 |
|
x |
−3x |
7 |
+ 2x |
2 |
dx |
|
|
|
|
|
6 |
|
lnxdx |
|
|
4 + |
|
|
x |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
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|
2)∫ x |
|
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|
3)∫ |
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|
x |
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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1 |
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|||||||||||||||
|
−1 |
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1 |
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||||||||||||
III |
∞ |
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3 |
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1/3e3 |
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1 |
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1) ∫ |
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x dx |
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+ |
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x |
dx |
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2) |
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0 |
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16x |
4 |
+1 |
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∫ |
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x |
2 |
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0 |
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IV |
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x |
2 |
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, y = 5 x − 2 |
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x =3cost, |
3)ρ = 4sin2ϕ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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2) |
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|
1) y = |
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π |
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2 |
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|
2 |
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y = 2sint. |
(0≤ϕ ≤ 2 ) |
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V |
1) |
y = lnsinx |
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3 |
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3) ρ =1−cosϕ |
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x = 4cos t, |
(0≤ϕ ≤ 2π ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(π |
|
|
3 |
≤ |
x |
≤ |
|
π |
3 |
) |
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2) |
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y = 4sin3 t |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
2 |
|
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(0≤t ≤ 2π ) |
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||||||||||||||||||||
VI |
1) y = 4x − 2x2, |
y =0 (Ox ) |
|
|
|
2)x = 2cost , |
|
|
|
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y =10sint (Oy ) |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
VII |
1) |
|
|
скорость материальной точки, совершающей прямолинейное движе- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ние, |
v = 6t2 − 2t + 7 |
м/сек. Какой путь точка пройдет с 3 сек по 5 сек? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2)* |
|
|
найти силу давления воды на прямоугольник, вертикально погру- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
женный в воду, если известно, что его основание 8 м, высота 12 м, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
верхнее основание параллельно поверхности воды и находится на глу- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
бине 5 м. Плотность воды δ =1 |
т/м3. |
|
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70 |
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|
Вариант 4
I. |
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|
dx |
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(e |
x |
−1) |
3 |
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2 |
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|
3 |
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|||||||||||||
|
1) |
|
|
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3) ∫x 5− x dx |
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|
∫cos2(2x +1) |
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2)∫ |
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dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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ex |
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|
3 |
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|
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|
dx |
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|
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|
6) |
|
|
|
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|
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|
||||
|
4) ∫ |
|
|
|
x |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
5) ∫ |
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|
|
4x +5 |
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|||||||||||||||||||||||||||
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|
x2 −5x + 6 |
|
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|
dx |
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|
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|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
4 + x8 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
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|
|
|
|
|
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∫ 8− 2x − x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
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|
|
|
||||||||||||||
|
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|
x3 |
+ x2 − 2x + 4 |
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|
|
8)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
5x −8 |
9) ∫ x22x dx |
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
(x − 2)2(x − 4) |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
10) ∫ xln(x +1)dx |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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11)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12)∫ |
|
|
x |
|
dx |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
−1)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
13)∫cosxcos3xdx |
|
|
|
|
|
14) ∫ |
|
sin3 x |
dx |
15)∫tg3 xdx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
16) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18) ∫cos x +4dx |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
4cos |
2 |
x + |
9sin |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
17)* |
|
|
∫ |
|
|
|
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x3 |
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dx |
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x2 +8x +17 |
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II |
1) ∫1 (7x6 −2sin7 x +3arctgx)dx |
2)∫1 arctgxdx |
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3)∫5 |
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xdx |
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2x −1 |
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−1 |
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0 |
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1 |
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III |
1) |
∞∫ |
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xdx |
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2)∫3 |
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dx |
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|||||
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4 |
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5 |
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||||||||
|
|
1 |
|
|
|
16x |
|
−1 |
|
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|
1 3 (3− x) |
|
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|||||||||||||||||||||||||
IV |
1) y = x2, |
|
y = 6−5x |
|
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|
x =3cost, |
|
|
|
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|
|
3)ρ = 2(1−cosϕ) |
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2) |
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y = 4sint. |
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|||||||||||||||||||||
V |
1) y = |
4 |
x3/2, 0≤ x ≤ |
|
|
|
|
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|
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|
|
|
=5cos |
2 |
t, |
3) ρ =1+cosϕ |
|
|
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|
5 |
|
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|
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x |
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3 |
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2) |
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|
y =5sin2 t |
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π |
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||||
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|
(0≤t ≤ |
2 |
) |
|
|
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|
||
VI |
1) y =5x − x2, |
y =0 (Ox ) |
2)x = 6cost , |
|
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|
y = 4sint (Oy ) |
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||
VII |
1)скорость движения |
|
материальной |
|
точки |
|
v = 4t e−t2 |
м/сек. |
|
Какой |
|
путь |
пройдет точка от начала движения до момента остановки?
2)* вычислить работу, которую необходимо затратить на сооружение конического кургана, радиус которого R =1,5 м, а высота H = 2,5 м, из однородно-
го материала плотностью δ = 2т/м3.
71
Вариант 5
I. |
1) |
∫23x−1dx |
|
|
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|
|
2)∫ |
( |
4 |
|
|
x +1)2 |
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|
3)∫x4cosx5dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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dx |
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|
x |
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||||||||||||
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|
3 |
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|
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|
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|
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|
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|
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|
dx |
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|
6) |
|
|
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|
|
|
|
|
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|||||||
|
4) ∫ |
|
|
|
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|
|
x |
|
dx |
|
|
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|
5) ∫ |
|
|
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|
|
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|
4x −1 |
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||||||||||||||||||||||
|
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|
|
9x2 + 6x +1 |
|
|
|
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|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
9 − x8 |
|
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|
∫ |
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x2 +8x +17 |
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|
7)∫ |
|
x3 + 2x2 + x −7 |
dx |
|
|
8) ∫ |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
4x −1 |
|
|
dx |
9) |
|
∫sin(lnx)dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
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|
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|
(x2 +1)(x + 4) |
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
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x −1 |
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
10) ∫xarctgxdx |
|
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|
3 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
32x |
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
11)∫ |
|
|
|
x −1 |
|
|
dx |
|
|
12) ∫ |
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
3x +1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
13)∫cos3xcos4xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
15)∫(ctg |
4 |
x −1)dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14) ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
sinx |
|
|
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|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
17) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
16) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
144− x |
2 |
dx |
|
|
18) ∫3 |
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4sin2 x +9cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17)* ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||
|
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|
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|||||||||
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||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
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|
x2 +10x + 26 |
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
II |
|
4 |
|
|
( |
7tg9 x −8x5 + |
9x8 |
) |
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1 |
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π /8 |
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dx |
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1) |
∫ |
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|
dx |
2) ∫ln(x +1)dx |
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3) |
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∫ |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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−4 |
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0 |
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π /6sin4x |
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||||||||||||||||
III |
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0 |
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|
xdx |
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1 |
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ln(3x −1) |
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|||||||||||||||||||||
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∫ |
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dx |
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1) |
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2) |
∫ |
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3x |
−1 |
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|||||||||||||||||||||||
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(x2 + 4) |
3 |
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||||||||||||||||||||||||||
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−∞ |
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1/3 |
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IV |
1) y = x, y = 4 |
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|
x = 4cost, |
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|
3)ρ = 2(1−cos3ϕ) |
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x |
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2) |
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(0 |
≤ϕ ≤ 2π |
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) |
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y =3sint. |
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3 |
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V |
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1 |
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x =9(t −sint), |
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|
3) ρ = 2sinϕ |
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1) y |
= (x +1)3 , x |
= |
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|
2) |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
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|
(0≤ϕ ≤π 2) |
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y =9(1−cost), |
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|
0≤t ≤ 2π |
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||||||||||||||||||
VI |
1) y =5cost , y = 2sint |
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|
2) |
y = arcsin(x 2) |
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|
(Ox ) |
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(0≤ x ≤π)(Oy ) |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
VII |
1) |
найти работу при движении тела вдоль оси |
Ox под действием силы |
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|
F(x)=9x2 −8x +3при x [4,5]. |
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|
2)* вычислить силу давления воды на пластинку, имеющую форму параллелограмма с основанием a = 2м и высотой h = 3м, опущенную вертикально вниз на глубину 4 м, если основание параллельно поверхности воды. Плотность воды равна 1 т/м3.
72
Вариант 6
I. |
1) ∫ |
|
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|
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|
dx |
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2)∫ |
(4x −1)2 |
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3) ∫ |
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|
x3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
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|
dx |
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|
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|
dx |
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||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
25x2 +9 |
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|
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|
2x |
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1+ x4 |
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|
4) ∫ |
|
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|
x3 |
|
|
dx |
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|
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|
5) ∫ |
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|
dx |
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|
6) |
|
16 |
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x +1 |
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||||||||||||||||||||
|
x8 −1 |
|
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|
|
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|
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|
8− 2x − x2 |
|
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|
∫ |
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|
dx |
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|
|
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|
2 |
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4x + 4x +1 |
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x5 − 4x +12 |
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5x −9 |
9) |
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|
7)∫ |
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|
dx |
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|
8) ∫ |
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|
dx |
∫e2x cos2xdx |
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
(x −1)(x − 2)(x −3) |
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|
|
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|
|
x2 + 2 |
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
12) |
|
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||
|
10) ∫ x3lnxdx |
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|
|
11)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
|
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|
|
|
dx |
|
|
x8 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
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|
∫ |
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|
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|
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|
|
|
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|
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|
|
+ 3 |
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|
|
dx |
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|
x |
x |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
x3 + 4 |
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
13)∫cos7xsin4xdx |
|
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14) ∫cossin8 xx dx |
15) ∫cossin6 xx dx |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
16) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x |
2 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
17) |
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||
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|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
4sinx +cosx +3 |
|
|
∫ |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
∫arctg |
|
x +1dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
17)* |
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|
|
|
|
dx |
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|
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|
|
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||||||||||||||||
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|||||||||
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x2 +12x +37 |
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||||||||||||||||||||
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|
II |
1) |
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|
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|
1 |
|
|
|
|
arctgxdx |
|
|
π /4 |
dx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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1 |
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2) |
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∫ |
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3) |
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∫ |
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||||||||||||||||||||||||
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−1( |
8arctg3 x −3x3 |
+ 7x6 |
) |
dx |
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1 |
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π /6sin2x |
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3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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∫ |
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III |
1) |
∞∫ |
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x2 |
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|
dx |
|
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|
2) |
∫1 |
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dx |
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2 |
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|||||||||||
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3 |
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4 |
|
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|
0 |
|
|
|
3 (x |
|
+8) |
|
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1/4 20x |
|
−9x +1 |
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|
|
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|
|
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IV |
1) y |
= 2x |
2 |
+ |
|
x |
, |
|
y = |
5x |
|
|
|
x =5cost, |
3)ρ = 2ϕ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
2) |
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|
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|
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|
|
(0≤ϕ ≤ 2π ) |
|
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|
|
2 |
|
2 |
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|
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|
|
y = 4sint, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
V |
1) |
y =1−lncosx |
|
|
|
|
|
x = 7(t −sint), |
3) ρ = 2cosϕ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(0≤ x ≤π 6) |
|
|
|
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|
|
(0≤ϕ ≤π 2) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
y = 7(1−cost) |
|
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|
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|
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|
|
(2π ≤t ≤ 4π ) |
|
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|
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|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
VI |
1) y = 3x − x2, |
y = 2 (Ox ) |
|
2)x = 4cost , |
|
|
|
|
|
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|
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y =6sint (Oy ) |
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|||||||||||||||||||||||||
VII |
1) |
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|
материальная |
точка |
M |
|
движется |
|
|
|
прямолинейно |
со |
|
|
скоростью |
v(t)=3t2 + 2t +1 м/с. Найти путь, пройденный точкой за промежуток времени [0;3] сек.
2)* найти силу давления воды на вертикальный параболический сегмент, основание которого равно 4 м и расположено на поверхности воды, а вершина находится на глубине 4 м.
73
Вариант 7
I |
1) ∫cos(1−3x)dx |
|
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3 |
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3 |
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|
|
|
ctgx |
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
( |
x + 2) |
dx |
|
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|
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
2)∫ |
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|
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|
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|
dx |
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|
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|
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|
|
|
3)∫ |
|
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|
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||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
sin2 x |
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|
x |
|
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|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
5 |
|
|
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|
|
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|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
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|
6) |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|||
|
4) ∫ |
|
|
|
|
x |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
5) ∫ |
|
|
|
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x −8 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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3− 2x − x2 |
|
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|
dx |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
9 − x12 |
|
|
|
|
|
|
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|
∫ |
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
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|
x2 − 4x |
+ 6 |
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|
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|
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||||||||||||||||
|
7) ∫ |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
8) ∫ |
|
2x −1 |
dx |
|
|
|
|
|
9) ∫x2cos4xdx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 + x2 |
|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 − x +1 |
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
10) ∫arctg3xdx |
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
− 2 |
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
dx |
12) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
x( |
|
|
|
x |
+1) |
|
|
x2 +3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
13)∫sin3xcos2xdx |
|
|
|
|
|
|
14) ∫cos |
3 |
xsin |
4 |
xdx |
15)∫ctg |
6 |
xdx |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
18) ∫sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
16) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17) ∫ |
|
|
|
|
|
x2 − 4 |
|
|
dx |
|
|
|
xdx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sinx + 2cosx −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
x4 |
x3 |
|
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|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
17)* |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
dx |
|
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|
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|
|
|
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|
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|
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||||||||
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|
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|||||||
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|
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|
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|
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|
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|
x2 + 2x +3 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
II |
π /4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
y |
2 |
(ln y −1)dy |
|
|
6 (x +1)dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1) |
|
|
|
|
sin |
|
x − |
3arcsin |
|
+3x |
|
dx |
2) ∫ |
|
|
|
|
3) |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−π∫/4 |
|
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|
|
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|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
3 x + 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
III |
∞ |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
1 |
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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1)∫ |
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2) |
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∫ |
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(1 |
− x)ln |
2 |
(1− x) |
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(16+ x |
2 |
) |
5 |
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1 4 |
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1/2 |
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IV |
1) y =3x2 + x, |
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y = 4x |
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2) |
x = 4cost, |
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3)ρ = 4sin2ϕ |
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5sint. |
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(0≤ϕ ≤π ) |
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y = |
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V |
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x = 4cost, |
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ϕ |
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1) y = |
(x −1) |
3 |
, |
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2) |
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3) |
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ρ |
= 3cos |
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3 |
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A(1,0) до т. B(6;5 |
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y =5sint |
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от т. |
5) |
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(0 |
≤ϕ ≤π |
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(0≤ t ≤1) |
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2 |
) |
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|||
VI |
1) y = 2−x , x ≥ 0 (Ox ) |
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2) |
x = 6cost, |
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y =6sint |
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(Oy ) |
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||||||||||||||||||||||
VII |
1) найти путь до полной остановки при движении материальной точки |
со скоростью v = 3t2e−t3 м/с.
2)* определить работу A, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из прямого кругового цилиндра. Радиус основания цилиндра r = 2м, высота h = 4 м.
74
Вариант 8
I |
1) ∫ |
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dx |
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2) |
∫ |
(2x −5)2dx |
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3) |
∫ |
arccos5 x dx |
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3x +1 |
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2x |
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1− x2 |
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x5 |
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5) ∫ |
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dx |
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6) |
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2x +1 |
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4) |
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∫ x12 + 25dx |
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x2 + 2x −6 |
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∫ |
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dx |
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x2 − 4x +3 |
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7)∫ |
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x4 |
− 2x2 + 4 |
dx |
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|
8) ∫ |
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4x +7 |
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dx |
9) |
∫x2sin4xdx |
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(x −1)2(x −4) |
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x2 −5 |
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10) ∫arcctg3xdx |
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3 |
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3x |
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11)∫ |
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x − 2 |
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dx |
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e |
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12)∫ |
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dx |
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x(3 x +1) |
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ex |
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− 2 |
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|
13)∫sin6xsin5xdx |
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cos |
3 |
|
x |
|
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|
15)∫tg |
6 |
xdx |
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14) ∫ |
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dx |
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sin3 x |
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dx |
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17) ∫ |
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|||||||
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16) ∫ |
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16 |
− x |
2 |
dx |
|
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|
18) ∫e |
|
|
x+2dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin2 x + 9cos2 x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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17)* ∫ |
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x |
3 |
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dx |
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|||||||||
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x2 + 4x + 6 |
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|||||||||||||||||||||||||||
II |
1) |
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2 |
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8 |
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dx |
||||||||
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||||||||||||
|
π /4 |
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3 |
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|
x |
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4 |
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2) |
∫ln(x2 +1)dx |
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3)∫ |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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∫ |
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tg |
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x +5arctg |
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|
−5x |
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dx |
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1 |
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33+ |
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x +1 |
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2 |
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−π /4 |
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III |
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∞ |
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2/33 |
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xdx |
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ln(2−3x)dx |
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1) ∫ |
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2) |
∫ |
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2−3x |
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2 |
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4 |
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x |
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− 4x +1 |
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1 |
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IV |
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x = 2cost, |
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3)ρ = 2+ cosϕ |
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1) y = |
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x5, x = 4 |
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2) |
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(0≤ϕ ≤ 2π ) |
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y =5sint. |
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V |
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3 |
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|
3)ρ = sinϕ |
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1) y = |
|
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x3 , x = 4 |
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= t |
−t |
, |
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2) |
x |
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(0≤ϕ ≤π ) |
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3 |
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y = |
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3 |
t |
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|||
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(0≤ t ≤1) |
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|||||||||||||||||||
VI |
1) y = |
2x , x ≤ 0(Ox ) |
|
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2) |
x = 2cost, |
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y = 2sint (Oy ) |
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|||||||||||||||||||||||||
VII |
1) |
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скорость |
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|
прямолинейного |
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|
движения |
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|
материальной |
|
точки |
v(t)=12t2 − 4t + 7м/с. Найти путь, который прошла материальная точ-
ка, за первые две секунды.
2)* вычислить работу, необходимую для того, чтобы выкачать воду из
полусферического сосуда, диаметр которого 20 м, если плотность воды δ =1 т/м3.
75
Вариант 9
I |
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dx |
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3)2 |
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3x2 −1 |
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1) ∫ |
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2)∫ |
( |
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x |
+ |
dx |
3)∫ |
dx |
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|
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4 +9x2 |
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3 x |
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x3 − x |
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4) ∫ |
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x |
5 |
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dx |
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5) |
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∫ |
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dx |
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6) |
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2x −1 |
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4x |
2 |
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+ 4x + 5 |
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dx |
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x12 −9 |
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∫ |
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x2 + 6x +10 |
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7) |
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x |
3 |
|
− x |
2 |
+3x + 2 |
|
dx |
|
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|
8) |
|
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4x + 21 |
9) ∫x2e4xdx |
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|
∫ |
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2 |
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∫ |
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x |
|
|
+3 |
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dx |
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(x −1)(x + 2)(x −3) |
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10) ∫arcsin3xdx |
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11) |
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3x |
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∫ |
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|
dx |
12)∫ |
|
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|
2 |
|
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|
|
dx |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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2x |
+ 2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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x + 2(3 x + 2 +1) |
|
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|
13)∫sin10xcos9xdx |
|
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|
|
sin |
5 |
x |
15)∫(tg |
8 |
x −1)dx |
|
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14) ∫ |
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|
dx |
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cosx |
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dx |
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18) ∫sin |
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dx |
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16) ∫ |
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17) ∫ |
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x + 2 |
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cos |
2 |
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x +16sin |
2 |
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x |
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x |
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2 |
− 4 |
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x |
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17)* |
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∫ |
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x3 |
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x |
2 |
+ 6x +11 |
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||||||||||||||||||
II |
1) |
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e2 |
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4 |
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x5lnxdx |
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3+ x dx |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1/2 |
|
|
( |
2arcsin |
3 |
x −3x |
7 |
+ 2x |
2 |
)dx |
2) |
|
∫ |
|
|
|
3) ∫ |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∫ |
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e |
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1 |
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x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−1/2 |
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|||||||||||||||
III |
|
∞ |
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x7dx |
|
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1 |
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xdx |
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1) −∫1 |
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2) ∫0 |
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|
x8 +1 |
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1− x4 |
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IV |
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x |
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x =5cost, |
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6 |
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3)ρ = |
2 |
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cos2 |
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1) y = |
|
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x, |
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y = |
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2) |
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ϕ |
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32 |
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π |
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y = 2sint. |
(0≤ϕ ≤ |
|
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4 ) |
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|||||||||||
V |
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2 |
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x =5cost, |
|
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3ϕ |
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1) y = |
|
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|
(3− x) |
3 |
|
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|
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|
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|
2) |
|
3) ρ =sin |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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y =5sint |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(1≤ x ≤ 2) |
|
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|
|
(0≤t ≤ 2π ) |
(0≤ϕ ≤π / 2) |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
VI |
1) y = |
3x+1 (x ≤ −1) |
|
(Ox ) |
|
|
2) |
|
x =12cost, |
|
|
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|
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y =12sint (Oy ) |
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||||||||||||||||||||||||||||||
VII |
1) вычислить путь, пройденный телом за промежуток |
[0;3] секунды, ес- |
ли тело движется со скоростью v = 2t2 −t +3 м/сек.
2)* найти силу давления на плотину, имеющую форму полукруга радиуса 2 м, диаметр которой находится на поверхности воды.
76
Вариант 10
I |
|
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dx |
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x |
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3 |
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||||
1) ∫ |
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|
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|
2) |
∫ |
|
(e |
|
− 2) |
dx |
3)∫x2 |
|
5+ x3dx |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin2(2x +1) |
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|
ex |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||
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4) ∫ |
|
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x |
3 |
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dx |
|
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5) ∫ |
|
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dx |
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6) |
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4x −5 |
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|||||||||||||||||||
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4x |
2 |
−5x +1 |
∫ |
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|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3+ x8 |
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8− 2x − x2 |
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3 |
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2 |
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5x +8 |
9) ∫x |
2 |
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x |
dx |
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||||||||||||||||||||||||||||
|
7)∫ |
x |
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+ x |
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− 2x − 4 |
dx |
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8) ∫ |
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dx |
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3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
|
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(x − 2)2(x − 4) |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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+ 2 |
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|
x |
|
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10) ∫xln(x + 2)dx |
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11)∫ |
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|
dx |
|
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12)∫ |
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x |
5 |
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dx |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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( |
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− 4)4 |
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x |
x |
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x2 |
−3 |
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|||||||||
|
13)∫cos2xcos3xdx |
|
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14) ∫ sin |
3 |
x dx |
15)∫tg |
5 |
|
xdx |
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cos4 x |
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||||||||||||
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dx |
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|
dx |
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|
18) ∫cos |
|
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|
dx |
|||||||||||||||
|
16) ∫ |
|
|
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|
17)∫ |
|
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|
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|
|
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|
x +3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4cos2 x + 25sin2 x |
|
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||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
x2 |
|
|
4 + x2 |
|
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|
x3 |
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17)* |
|
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|
∫ |
|
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dx |
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x2 +8x +18 |
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||||||||||||||||||||
II |
1) |
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13 |
|
|
|
xdx |
|
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|||||||
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|
|
|
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|
3 |
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||||||||||||||||
|
1/2 |
|
( |
7x6 − 2sin7 x |
|
|
|
) |
|
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|
∫ |
|
|
|
arctgxdx |
3) |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
+3arctgx |
dx |
2) |
|
|
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|
|
5∫ |
|
|
2x −1 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−1/2 |
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1 |
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|||||||||
III |
∞ |
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dx |
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|
|
π |
|
|
sinxdx |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1) ∫ |
|
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2) |
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|
∫ |
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|||||||
|
x(1+ ln2 x) |
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||||||||||||||||||||||
|
1 |
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|
π /2 7 cos2 x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
IV |
1) y =5x − x2, y = 2x |
|
|
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2) |
x = sin3 t, |
y = cos3 t, |
3)ρ = 2cosϕ |
|
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|
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0≤t |
≤π |
|
2 |
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|
(−π ≤ϕ ≤ π ) |
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|
2 |
|
|
|
|
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|
|
|
|
2 |
|
|
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||||||||
|
|
|
|
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||||||||
V |
|
|
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|
2 |
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
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|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
ϕ |
|
|
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|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
3t |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1) y = |
3 (x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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3) ρ = cos |
3 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
2) |
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(4≤ x ≤9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =t −t3 |
(−π |
|
|
≤ϕ |
≤ |
π |
|
|
|
|
) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
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(0≤t ≤ 2) |
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VI |
1)x = sinx |
, 0≤ x ≤ |
π |
(Ox ) |
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2) |
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y = |
x |
, |
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2 |
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2 |
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0≤ x ≤ 2 (Oy )
VII |
1) материальная точка движется со скоростью v =3t2 − 2t + 2 м/сек. Какой |
|
путь она пройдет за первые 3 секунды? |
|
2)* вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду |
|
из корыта длиной 2 м, боковая поверхность которого образована параболиче- |
|
ским цилиндром, при ширине корыта 1 м и глубиной 0,5 м. |
|
77 |
Вариант 11
I |
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∫53x−1dx |
|
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∫x4sinx5dx |
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1) |
2) |
∫ |
(4 x +5)2 |
dx |
3) |
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x |
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||||
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4) ∫ |
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x |
3 |
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dx |
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5) ∫ |
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dx |
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6) |
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4x −1 |
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9x |
2 |
+ |
6x |
+ |
2 |
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dx |
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4 − x8 |
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∫ |
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x |
2 |
− |
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8x +17 |
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|
7)∫ |
x |
3 |
+ |
2x |
2 |
|
+ x + 7 |
dx |
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|
8) ∫ |
|
|
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4x +1 |
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dx |
9) |
∫cos(lnx)dx |
|
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(x |
2 |
+1)(x |
+ 4) |
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x −1 |
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10) ∫xarctg3xdx |
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3 |
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|
2x |
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|||||||||||||||||||
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x −1 |
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11)∫ |
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dx |
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12)∫ |
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|
3 |
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|
dx |
|
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x −1−1 |
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|
3 |
x |
+ |
2 |
|
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|||||||||||||
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||||||
|
13)∫cos3xcosxdx |
|
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|
|
14) ∫ |
|
cos |
5 |
x |
|
dx |
|
|
|
15)∫(ctg |
8 |
x −1)dx |
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|
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|
sin3 x |
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dx |
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16) ∫ |
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|
4 − x2 |
dx |
|
|
|
18) ∫6 |
|
|
x dx |
|
|
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|
4sin |
2 |
x + 25cos |
2 |
x |
17)∫ |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
x2 |
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x3 |
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17)* |
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∫ |
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dx |
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|||||||
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x2 +10x + 27 |
|
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||||||||||||||||||||
II |
|
3 |
(7tg9 x −8x5 +9x8)dx |
|
0 |
|
|
|
ln(x + 2)dx |
|
|
|
|
|
π /6 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1) |
∫ |
2) |
∫ |
|
|
|
|
|
3) |
|
∫ |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
−3 |
|
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|
−1 |
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|
π /12sin4x |
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III |
|
∞ |
xe−3xdx |
|
|
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|
1/3 |
|
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|
|
dx |
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|
1) ∫ |
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|
2) |
∫ |
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9x2 −9x + 2 |
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0 |
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|
0 |
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IV |
1) y = x2, y = 2− x |
|
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|
x =t −sint, |
|
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|
3)ρ = 2(1−cos3ϕ) |
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2) |
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(0≤ϕ ≤ 2π 3 ) |
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y =1−cost. |
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V |
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|
ρ = 2cosϕ |
|
|
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1) |
y = (x +1)3 , x = 1 |
|
x = |
9(t −sint), |
|
|
|
3) |
|
|
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|
3 |
|
2) |
|
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|
9(1−cost) |
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|
(0≤ϕ ≤ |
|
|
π ) |
|
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|
y = |
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|
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|
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|
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|
(0≤t ≤ 2π ) |
|
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|
|
2 |
|
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||||||||||||||||||
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|
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|
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|
|
|
|||||||||||||||||
VI |
1) y = cosx , 0≤ x ≤ |
π |
(Ox ) |
2) |
y = x2, |
0≤ x ≤1 |
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
(Oy ) |
|
|
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|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
VII 1) |
тело |
движется |
прямолинейно |
с |
|
|
постоянным |
ускорением |
|
a = 2 м/с2 с |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
начальной скоростью 1 м/с. Найти путь за первые 3 секунды. |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2)* определить работу, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружину |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
на 0,05 м, если известно, что сила, растягивающая пружину на |
|
х м, равна: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
F(x)= kx, |
|
где k - коэффициент пропорциональности, зависящий от упруго- |
сти пружины, и что для растяжения пружины на 0,01 м необходима сила 1 кг.
78
Вариант 12
I |
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dx |
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2)∫ (4 |
x |
−3) |
2 |
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x |
3 |
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||||||
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1) ∫ |
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dx |
3)∫ |
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dx |
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25x |
2 |
−9 |
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2x |
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1− x4 |
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4) ∫ |
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x3 |
|
dx |
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5) ∫ |
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dx |
6)∫ |
|
16 |
x +1 |
dx |
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2 |
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8+ 2x − x2 |
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x8 − 4 |
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4x − 4x +1 |
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x5 |
+ 4x +12 |
dx |
8) |
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5x +9 |
9) ∫e4x sin2xdx |
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7)∫ |
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dx |
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x2 |
+ 2 |
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∫ |
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(x +1)(x − 2)(x −3) |
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10) ∫x4 lnxdx |
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3 |
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x8 |
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x |
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dx |
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11)∫ |
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12)∫ |
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dx |
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x − 3 x |
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|
x3 +3 |
||||||||||||||
|
13)∫cos7xsin2xdx |
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5 |
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2 |
2xdx |
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14) ∫ cos10x dx |
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15)∫tg |
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sin |
|
x |
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dx |
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|
18) ∫arctg |
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dx |
||||||||
|
16) ∫ |
|
|
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|
|
|
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|
17)∫ |
|
|
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16− x |
2 |
|
|
dx |
|
|
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|
x + 4 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4sinx +3cosx +1 |
|
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|
x2 |
|
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x3 |
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|||||||
|
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17)* ∫ |
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dx |
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x2 +12x + 40 |
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II |
1) |
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π /3 |
|
dx |
||||||||
|
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|
3 |
|
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|
2 |
( |
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|
|
|
|
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|
|
) |
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1 |
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3) |
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||||||
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−2 |
8arctg3 x −3x3 + 7x6 |
dx |
2) |
|
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|
π∫/6sin2x |
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|
∫ |
|
|
∫ arctgxdx |
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III |
∞ |
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1 |
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dx |
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1 |
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dx |
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|||||||||||||
|
1) |
∫ |
|
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|
2) |
∫ |
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|||||||
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|
π(6x2 |
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−5x |
+1) |
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5 3− 4x |
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|
−1 |
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3/4 |
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IV |
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y |
= x |
3 |
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2)x = cos |
3 |
t, |
|
|
y =sin |
3 |
t |
3)ρ = 4sin2ϕ |
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1) y = x, |
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π |
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(0≤t ≤ 2π) |
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|
( 2 ≤ϕ ≤π ) |
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V |
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3) ρ = 3(1−cosϕ) |
||||||||||
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1) |
y = lnx |
( |
|
3 ≤ x ≤ 8) |
|
|
2)x = |
|
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|
2t3, |
|
|
y = 2t−3 |
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|
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(0≤t ≤1) |
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|
(0≤ϕ ≤ 2π ) |
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|
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|
|
|
||||||||||||||
VI |
1) y = x + 2, |
y =1, x = 2 |
|
|
2) |
x = 7cost , |
|
|
y = 2sint |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(Ox ) |
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(Oy ) |
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||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
VII |
1) тело движется прямолинейно со скоростью v(t)=10−4t м/с. Найти путь |
за первые 2 секунды.
2)* определить работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать воду из
котла, имеющего форму полушария радиуса R = 4 м. Плотность воды равна 1 т/м3.
79
Вариант 13
I |
1) ∫sin(2−5x)dx |
|
|
3 |
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3 |
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tg x |
|
|
( |
x + |
1) |
3 |
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|
|
2)∫ |
|
dx |
|
dx |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3)∫ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
4) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
x |
5 |
|
|
dx |
|
|
|
5) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6)∫ |
|
|
|
x −7 |
|
|
dx |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
15− 2x |
|
− x |
|
|
|
x2 − 4x +5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
16 |
|
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|
12 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− x |
|
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|||||||||
|
7)∫ |
|
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|
x3 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
8) ∫ |
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|
2x +1 |
dx |
|
|
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|
|
9) ∫x2cos6xdx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 + 4x +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
10) ∫arctg4xdx |
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|
5 |
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11)∫ |
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x −3 |
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dx |
12)∫ |
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x |
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dx |
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|||||||||||||
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x( |
|
x +1) |
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x2 |
+ 4 |
|
|
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|||||||||||||||||
|
13)∫sin2xcos4xdx |
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14) ∫cos4 xsin5 xdx |
15)∫ctg8 xdx |
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dx |
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18) ∫cos |
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||||||||||
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16) ∫ |
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17)∫ |
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x |
2 |
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− |
9 |
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|
dx |
|
|
xdx |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sinx + 2cosx − 2 |
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x4 |
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17)* |
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∫ |
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x3 |
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dx |
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x2 + 2x + 4 |
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|||||||||||||||||||||
II |
1) |
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3 |
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y3(ln y −1)dy |
5 |
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(x + 2)dx |
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|
π /3 |
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|
|
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x |
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|
2) |
∫ |
|
3) ∫ |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
sin3 x −3arcsin |
|
+3x2 |
dx |
|
2 |
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|
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−2 |
|
3 x +3 |
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||||||||||||||||||||||||||
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|
2 |
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−π /3 |
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||||||
III |
∞ arctg2xdx |
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|
6 |
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|
cos3xdx |
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|
1) ∫ |
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2) ∫ |
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6 (1−sin3x)5 |
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0 π(1+ 4x2) |
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0 |
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IV |
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4 |
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x |
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|
2) x = 2cos3t, |
|
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|
3)ρ = 2(1+sinϕ) |
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1) y = |
|
x, |
y = |
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8 |
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y =3sint |
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(0≤ϕ ≤ 2π ) |
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(0≤t ≤π |
2 |
) |
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||
V |
1) y = lncosx |
|
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|
x =8cost, |
|
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|
3) ρ |
= 2cos |
2ϕ |
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|
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π |
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2) |
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3 |
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(0≤ x |
≤ |
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y =8sint |
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4 ) |
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|
(0≤t ≤ 2π ) |
|
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|
(0≤ϕ ≤π ) |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
VI |
1) y = |
|
x |
|
|
+3, y =1, x = 4 (Ox ) |
|
2) |
x =5cost, |
|
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y = 4sint (Oy ) |
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2 |
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
VII |
1) определить путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения, если |
скорость определяется формулой v = 2− 2t +t2 м/с.
2)* вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать воду из корыта, имеющего форму полуцилиндра с радиусом основания 2 м и длиной
6м.
80
Вариант 14
I |
1) ∫ |
|
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dx |
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(2x +3)2 |
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arcsin6 x |
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dx |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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4x +5 |
|
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|
2)∫ |
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|
|
2x |
|
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dx |
|
3)∫ |
|
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|||||||||||||||||||||||||
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1− x2 |
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|
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|
4) ∫ |
|
|
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|
x5 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
5) ∫ |
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|
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|
|
|
|
dx |
|
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|
|
|
|
|
|
|
6)∫ |
|
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|
2x −1 |
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|
dx |
||||||||||||||||||
|
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|
2 |
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||||||||||||||||||||
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|
|
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|
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x2 + 2x + 6 |
x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x12 +16 |
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|
|
|
|
|
|
+ 4x +3 |
|
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|
7)∫ |
|
x4 + 2x2 + 4 |
dx |
|
|
|
|
|
|
8) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
4x + 7 |
|
|
|
|
dx |
|
9) ∫x2sin6xdx |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −1)2(x |
+ 4) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
x2 −5 |
|
|
|
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|
10) ∫arctg4xdx |
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|
3 |
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|
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|
3x |
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||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11)∫ |
|
|
|
x −3 |
|
dx |
|
12)∫ |
|
|
|
e |
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
x(3 x +1) |
|
|
|
|
e |
x |
− |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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13)∫sin6xsin3xdx |
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14) ∫ cos |
3 |
x dx |
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15)∫tg |
8 |
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xdx |
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sin4 x |
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dx |
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18) ∫e |
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dx |
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16) ∫ |
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17)∫ |
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25− x2 |
dx |
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x+3 |
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sin2 x +16cos2 x |
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x3 |
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dx |
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17)* ∫ |
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x2 + 4x + 7 |
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||||||||||||||
II |
1) |
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3 |
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15 |
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dx |
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π /6 |
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3 |
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x |
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4 |
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2) |
∫ln(x2 +1)dx |
|
3) ∫ |
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∫ |
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tg |
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x +5arctg |
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−5x |
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dx |
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2 |
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8 |
2+ |
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|
x +1 |
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|||||||||||||||||||||
|
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|
2 |
|
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−π /6 |
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III |
|
∞ |
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xdx |
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0 |
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dx |
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1) ∫ |
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2) |
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∫ |
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4x2 + 4x +5 |
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0 |
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−1/331+3x |
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IV |
1) y2 =9x, |
y =3x |
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x = cost, |
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3)ρ =ϕ |
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(0≤ϕ ≤π ) |
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2) |
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y = 4sint. |
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||||||||||||||
V |
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1 |
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2 |
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1 |
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|
=sin |
3 |
t, |
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3) ρ =3sinϕ |
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1) y |
= |
4 x |
− 2lnx |
|
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x |
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(0≤ϕ ≤ 2π ) |
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2) |
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(0≤ x ≤ e ) |
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y = cos3t |
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(π ≤t ≤ 2π ) |
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VI |
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2) |
x = cost, |
y = 4sint |
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1) |
y = |
|
x , |
|
y = −x , |
x =1 (Ox ) |
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(Oy ) |
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VII 1) |
|
скорость |
тела, |
совершающего |
|
прямолинейное |
движение, |
|
|
v =t e−0,5t |
м/сек. Какой путь тело пройдет за 2 сек от начала движения?
2)* найти силу давления воды на пластину в форме прямоугольника с основанием 5 м и шириной 4 м, расположенного вертикально, с основанием параллельным поверхности воды на глубине 2 м.
81
Вариант 15
I |
1) ∫ |
|
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|
dx |
|
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2)∫ ( |
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x − 4)2dx |
3)∫ ex −1dx |
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|
1−9x2 |
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|
3 |
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ex − x |
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|||||||||||||||||||
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|
x |
|
|
|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||
|
4) ∫ |
|
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x5 |
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|
dx |
|
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|
5) ∫ |
|
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|
dx |
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|
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|
∫ |
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|
2x +1 |
|
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|
dx |
|||||||||||||||||||||
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|
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|
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2 |
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|||||||||||||||||||||
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4x |
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x |
2 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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12 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
− |
|
16 |
|
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|
− 4x +1 |
|
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+ 6x +10 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||
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|
x |
3 |
− x |
2 |
+3x − 2 |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x − 21 |
9) ∫x |
2 |
e |
6x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7)∫ |
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dx |
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dx |
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(x −1)(x + 2)(x −3) |
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x |
2 |
+3 |
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10) ∫arcsin4xdx |
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dx |
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3x |
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11)∫ |
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12) |
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2 |
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dx |
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x +3(3 x +3 +1) |
∫ |
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2x |
+3 |
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13)∫sin10xcos13xdx |
14) ∫ |
|
|
sin |
3 |
x |
|
|
dx |
15)∫(tg |
6 |
x +1)dx |
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cos3 x |
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dx |
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dx |
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18) ∫sin |
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dx |
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16) ∫ |
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17)∫ |
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x +3 |
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|
cos2 x +9sin2 x |
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|
x |
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x2 −9 |
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17)* ∫ |
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x3 |
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dx |
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x2 + 6x +12 |
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||||||||||||||||||||||||||
II |
1/3 |
|
(2arcsin3 x −3x7 + 2x2)dx |
|
e |
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4 |
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2+ |
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x dx |
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∫ |
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2)∫ x5lnxdx |
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3) ∫ |
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−1/3 |
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1 |
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1 |
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|
x |
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|||||||
III |
∞ |
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dx |
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0 |
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dx |
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1) ∫ |
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2) ∫ |
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|||||||||||
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2 (4+ x2) |
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π arctg |
x |
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− |
1 |
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4x +1 |
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2 |
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4 |
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||||
IV |
1) y = x |
2 |
, |
|
y |
= 2− x |
2 |
|
|
|
|
|
x = 4cost, |
|
|
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|
3)ρ = 4cos |
2ϕ |
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2) |
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2 |
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y =sint. |
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(0≤ϕ ≤ |
π |
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2 |
|
) |
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||||||||||||||
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||
V |
1) y |
2 |
|
= |
|
x |
3 |
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|
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|
2) x =10cost, |
|
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|
3) ρ = 2(1−cosϕ) |
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, |
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|
y =10sint |
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(0≤ϕ ≤ 2π ) |
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8 |
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(0≤t ≤ 2π ) |
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от т. A(2,−1) до т.B(2,1) |
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VI |
1)x = 2sint , |
|
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y =3cost (Ox ) |
2) x = 2y − y |
2 |
, x = 0 (Oy ) |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
VII |
1) тело движется прямолинейно |
со скоростью v = 4t3 − 2t + 7 м/сек. Найти |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
путь за первые три секунды. |
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||||||||||||||||||||||
|
2)* шар лежит на дне бассейна глубиной 8 м. Определить работу, которую |
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необходимо затратить, чтобы извлечь шар из воды, если его радиус 2 м и |
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удельный вес шара и воды равен 1. |
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82 |
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Вариант 16
I |
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dx |
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(e |
x |
+1) |
3 |
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1) ∫ |
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2) |
∫ |
dx |
3)∫x2 |
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3+ x3dx |
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cos2(3x +1) |
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ex |
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4) ∫ |
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x3 |
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dx |
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5) ∫ |
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dx |
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∫ |
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4x −5 |
dx |
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2 |
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x |
+5x +6 |
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3− 2x − x2 |
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2+ x |
8 |
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7)∫ |
x3 + x2 − 2x + 4 |
dx |
8) ∫ |
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|
5x −8 |
|
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|
dx |
9) ∫x24x dx |
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(x −2)2(x |
+ 4) |
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x2 +3 |
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10) ∫xln(x +3)dx |
11)∫ |
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|
dx |
|
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12)∫ |
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x |
5 |
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|
dx |
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( |
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−1)4 |
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x −1 |
x −1 |
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x2 |
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−1 |
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|
13)∫cos5xcos3xdx |
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|
sin3 x |
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15)∫tg xdx |
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14) ∫ cos5 x dx |
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|
16) ∫ |
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|
dx |
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|
17)∫ |
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|
dx |
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18) |
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|
∫cos |
|
x + 2dx |
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|
4cos2 x + 49sin2 x |
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|
|
x2 |
|
|
|
9 + x2 |
|
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|
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17)* |
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|
∫ |
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x3 |
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|
dx |
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|||||||||
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x2 +8x +19 |
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II |
1/3 |
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(7x6 − 2sin7 x +3arctgx)dx |
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13 |
|
|
xdx |
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|
|
|
1/∫ |
|
3arctgxdx |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
2) |
|
3) ∫ |
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2x −1 |
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|
−1/3 |
|
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0 |
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1 |
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||||||||||||||||||||
III |
∞ |
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|
x |
5 |
dx |
|
|
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1/2 |
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|
dx |
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|
1) ∫ |
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2) |
|
∫ |
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(2x −1)2 |
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x12 +1 |
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|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
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|
0 |
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|||||||||||||||||||||||||
IV |
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x |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
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|
|
3cos |
3 |
t, |
3)ρ =ϕ |
2 |
|
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|
1) y |
= |
|
|
|
|
, |
y = |
− x |
|
x = |
|
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2 |
2) |
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|
|
|
π |
|
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|
|
2 |
|
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|
3sin3t |
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≤ϕ |
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≤ |
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y = |
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(0 |
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π ) |
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|
2 ) |
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||||||
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(0≤t ≤ |
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2 |
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V |
1) y = lncosx |
|
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|
2) |
|
x = 5sint, |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
ρ =5(1+cosϕ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
π |
≤ x ≤ |
π |
|
|
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|
|
y =5cost |
|
|
|
|
|
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|
|
(0≤ϕ ≤ 2π ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(6 |
|
4) |
|
|
|
|
|
(0≤t ≤ |
π |
2 |
) |
|
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|
|
|
VI |
1) y = 2− x2 2, |
x + y = 2 (Ox ) |
2) |
|
x =3cost, |
|
y = 4sint (Oy ) |
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
VII |
1) скорость прямолинейного движения материальной точки |
|
|
v =t 2−0,03t |
м/сек. Найти путь, пройденный точкой от начала движения до полной остановки?
2)* найти силу давления воды на пластину в форме прямоугольника с основанием 3 м и шириной 3 м, расположенного вертикально с основанием, параллельным поверхности воды на глубине 5 м.
83
Вариант 17
I |
|
∫24x−1dx |
|
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|
3)∫x3cosx4dx |
|
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|||||||||||||||||||||||
1) |
|
|
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|
|
2)∫ |
(4 x −1)2 |
dx |
|
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|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||
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|
|
|
|
|
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|
|
|||
|
4) ∫ |
|
|
|
x3 |
|
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dx |
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5) ∫ |
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dx |
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|
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∫ |
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|
4x +1 |
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|
d |
|||||||||||||||||
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9x |
2 |
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−6x +1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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8 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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16− x |
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|
x2 −8x +17 |
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||||
|
7)∫ |
x |
3 |
+ 2x |
2 |
+ x −7 |
dx |
|
8) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x −1 |
|
|
|
dx |
|
|
9) |
|
∫sin(2lnx)dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
(x |
2 |
|
|
+1)(x +3) |
|
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x +1 |
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||||||||||||||||||||||||||
|
10) ∫xarctg2xdx |
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3 |
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|
2x |
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||||||||||||||||||
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|
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x −1 |
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11)∫ |
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|
dx |
|
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12)∫ |
|
3 |
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|
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|
|
dx |
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|
|
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x −1− 4 |
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|
3 |
x |
+3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|||||||||||||||
|
13)∫cos3xcos6xdx |
|
|
|
|
|
|
cos |
5 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
15) |
|
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|||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
14) ∫ |
|
|
dx |
|
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|
∫(ctg6 x +1)dx |
|
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|
sinx |
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||||||||||
|
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dx |
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|
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|
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|
|
18) ∫5 |
|
dx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
16) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
17)∫ |
|
|
|
|
|
256− x2 |
dx |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4sin2 x + 49cos2 x |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
x3 |
|
|
|
|
|
dx |
|
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|
|
|||||||||||||
|
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|
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|
17)* ∫ |
|
|
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||||||||||||
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|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
x2 +10x + 28 |
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
II |
|
2 |
(7tg9x −8x5 +9x8)dx |
|
−1 |
ln(x +3)dx |
|
|
|
|
|
2π |
/3 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1) |
∫ |
2) |
|
∫ |
|
|
|
|
|
3) |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
π /2 sinx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
III |
|
∞ |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1) ∫ xe−3xdx |
|
|
|
|
|
2) |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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||||||||||||||
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|
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|
|
|
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|
|||||||||||
|
|
|
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|
|
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|
|
31−4x |
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||
IV |
1) y = x2, y =5x −4 |
|
|
x =8cost, |
|
|
|
|
|
|
3)ρ =5sin |
2ϕ |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
2) |
|
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|
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|
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|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
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y =3sint. |
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π ) |
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(0≤ϕ ≤ |
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2 |
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|
V |
|
|
|
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|
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|
|
π |
π |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
2 |
t, |
|
|
|
3) ρ =3cosϕ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1) |
y = lnsinx , (6 ≤ x ≤ 3) |
|
x =8sin |
|
|
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|
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|
|
|
π |
|
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|
π |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2) |
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|
(− |
≤ϕ |
≤ |
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =8cos2t |
|
|
|
2 |
2 |
) |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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π ) |
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|||||||||||||
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|
(0≤t ≤ |
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|
2 |
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||
VI |
1) |
y = x − x2, y = 0 (Ox ) |
2) |
|
y |
= arcsin |
|
x |
|
(0≤ x ≤π)(Oy ) |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
VII |
1) |
тело движется прямолинейно со скоростью |
v(t)=15t2 − 4 |
|
м/с. Найти |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
пройденный им путь с первой по третью секунды. |
|
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|
2)* определить работу, которую нужно затратить на сооружение кониче- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ского кургана, радиус основания которого R =3м, а высота |
H = 4 м, |
из |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
однородного строительного материала плотностью δ =3,5 т/м3. |
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84 |
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Вариант 18
I |
1) ∫ |
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|
dx |
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|
(4x +1)2 |
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|
x7 |
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25x2 + 4 |
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2)∫ |
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|
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|
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|
2x |
|
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|
dx |
|
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3)∫ |
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dx |
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|
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1+ x8 |
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|
4) ∫ |
|
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|
x3 |
|
|
dx |
|
|
|
|
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|
5) ∫ |
|
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|
|
dx |
|
|
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|
|
|
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|
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|
∫ |
|
|
16 |
x −1 |
dx |
||||||||||||||||||||
|
|
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2 |
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|||||||||||
|
|
|
|
|
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3− 2x − x2 |
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x8 −9 |
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|
4x + 4x +1 |
|
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|
7)∫ |
x |
5 |
+ 4x +12 |
dx |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x −9 |
|
|
|
|
dx |
9) ∫e |
4x |
|
cos4xdx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(x +1)(x −2)(x |
−3) |
|
|
|
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|
x2 +3 |
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|
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|
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|
10) ∫x5lnxdx |
|
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|
3 |
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|
|
x8 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
x + 2 |
|
|
dx |
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
11)∫ |
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12)∫ |
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|
dx |
|||||||||||
|
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|
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x + 2 + 3 x |
+ 2 |
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x3 |
+ 2 |
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|
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|
13)∫cos7xsin3xdx |
14) ∫ cos |
3 |
x dx |
|
|
|
|
|
15)∫ctg |
2 |
|
2xdx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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sin8 x |
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|||||||||
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dx |
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18) |
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|
||
|
16) ∫ |
|
|
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|
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|
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|
|
17)∫ |
|
|
100− x2dx |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
∫arctg |
|
|
|
|
x +3dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sinx −cosx +1 |
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
x3 |
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
17)* ∫ |
|
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|
|
|
|
dx |
|
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|
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|
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|||||||||||||
|
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|
|||||||
|
|
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x2 +12x +39 |
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|||||||||||||||||
II |
3 |
|
|
|
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|
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|
π /2 |
|
dx |
|
|||||||||||||
|
|
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|
|
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|
|
|
|||||||||||||||||
|
∫ (8arctg3 x −3x3 + 7x6)dx |
2) ∫3 xarctgxdx |
|
|
|
|
|
3) ∫ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−3 |
|
|
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|
|
1 |
|
|
|
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|
|
π /3sinx |
|
||||||||||||||||||
III |
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dx |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||
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|
||||||||||||||||||
|
1) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
2) ∫ |
|
|
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|
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|
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|
|||||
|
|
|
6x2 |
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
−5x |
+1 |
|
|
|
0 |
4 (16− x2)3 |
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
IV |
|
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|
x |
|
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|
|
=3sin |
3 |
t, |
|
|
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|
3)ρ =3ϕ |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
1) y = |
|
x, y = |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
2) |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
|
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|
(0≤ϕ ≤ 2π ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 2cost, |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
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|
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π ) |
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|||
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(0≤t ≤ |
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|||||||||||||||
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
1) y =1−lncosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) ρ = 6sinϕ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
x =t |
|
|
|
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|
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|
|
|
|
(0≤ϕ ≤ 2π ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(0≤ x ≤ |
|
|
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|
2) |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
y = 4 −t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||
|
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|
(0≤t ≤1) |
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|
|
|
||||||||||||
VI |
1)2y = x2, 2x + 2y −3= 0 |
2) x = 6cost , |
y =3sint (Oy ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(Ox ) |
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|
|
|
|||||
VII |
1) |
|
найти работу силы F(x)=3x2 + 4x +1 |
|
при прямолинейном движении |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
под её действием от т. A при |
x = 2 |
до т. |
|
B |
|
при |
x = 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2)* вычислить силу давления жидкости на прямоугольник, вертикально по- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
груженный в жидкость, если известно, что его основание равно 9 м, высота |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
13 м, верхнее основание параллельно поверхности и находится на глубине |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 м. Плотность жидкости δ =1,5 |
т/м3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
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85 |
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Вариант 19
I |
1) ∫cos(2−5x)dx |
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3 |
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3 |
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ctgx |
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( |
x − |
1) |
|||||||||
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2)∫ |
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dx |
3 |
dx |
||||||
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3)∫ |
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|||
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sin2 x |
||||
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x |
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4) ∫ |
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x |
5 |
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dx |
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5) ∫ |
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dx |
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6) |
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x −7 |
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24 |
− |
2x |
− |
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x |
2 |
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dx |
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25− x12 |
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∫ |
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x2 |
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− 4x + 6 |
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7)∫ |
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x3 |
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dx |
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8) ∫ |
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2x −1 |
dx |
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9)∫x2cos8xdx |
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x3 − x2 |
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|
x2 − 4x +5 |
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10) ∫arctg5xdx |
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5 |
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11)∫ |
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x − 4 |
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dx |
12)∫ |
|
|
x |
|
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dx |
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x( |
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x +1) |
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x2 +1 |
|||||||||||||||||||||||
|
13)∫sin5xcos4xdx |
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14) ∫cos3 xsin6 xdx |
15)∫ctg2 xdx |
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dx |
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|
18)∫arctg |
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|||||||||||||
|
16) ∫ |
|
|
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|
|
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|
17)∫ |
|
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|
x |
2 |
− |
16 |
|
|
dx |
|
|
xdx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sinx + 2cosx +1 |
|
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|
|
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x4 |
|
x3 |
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|||||||
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17)* |
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∫ |
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dx |
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||||
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x2 + 2x +5 |
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|||||||||||||||||
II |
1) |
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3 |
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4 |
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+3)dx |
||||||||||
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π /6 |
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x |
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2) |
∫ y4(ln y −1)dy |
3) |
∫ (x |
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|
|
∫ |
sin3 x |
−3arctg |
|
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+3x2 |
dx |
|
2 |
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−3 |
3 x + 4 |
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2 |
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−π /6 |
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III |
|
∞ |
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dx |
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|
2 |
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|
dx |
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||||||||||||||
|
1) |
∫ |
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2) ∫ |
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|||
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x(lnx −1)2 |
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|||||||||||||||||||||
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3x − x2 − 2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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e2 |
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1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
IV |
1) y = |
3 |
x |
2 |
|
+ |
|
x |
, y = 2x |
|
|
|
x = 2(t −sint), |
3)ρ = |
4 |
ϕ |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2) |
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|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
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|
2 |
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2(1−cost) |
|
π3 |
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y = |
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(0≤t ≤π ) |
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|
(π 2 <ϕ <π ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
V |
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|
t |
|
|
|
−t |
|
|
|
|
|
ρ = 4(1−cosϕ) |
||||||||||||||||||||||
1) |
y = |
|
x |
3 |
|
(1≤ x ≤3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ e |
, |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x = e |
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|
2) |
|
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|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
(0≤ϕ ≤ 2π ) |
||||||||||||||||||||||
|
|
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y = |
|
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(0≤t ≤1) |
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|
||||||||||||||
VI |
1) |
y = 2 |
− x |
2 |
, y = x |
2 |
(Ox ) |
|
2) |
x =8cost, |
|
|
|
y =sint (Oy ) |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
VII |
1) определить путь, пройденный телом за 6 секунд с начала движения, если |
скорость определяется формулой v = t3 3 + 2t −1 м/с.
2)* вычислить работу для выкачивания воды из ямы, имеющей форму конуса с вершиной на дне, высота которого 2 м, а радиус основания ‒ 0,3 м.
86
Вариант 20
|
1) ∫ |
|
|
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dx |
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(2x −3)2 |
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arccos6 x |
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I |
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2)∫ |
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dx |
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3)∫ |
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dx |
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7x +1 |
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2x |
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1− x2 |
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4) ∫ |
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x5 |
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dx |
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5) ∫ |
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dx |
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6)∫ |
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2x +1 |
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dx |
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2 |
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x2 + 2x + 6 |
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x |
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x12 +9 |
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+ 4x +3 |
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7)∫ |
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x4 + 2x2 + 4 |
dx |
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8)∫ |
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4x −7 |
dx |
9) ∫x2sin8xdx |
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|
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(x −1)2(x + 4) |
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x2 −3 |
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10) ∫arctg5xdx |
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3 |
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3x |
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11)∫ |
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x − 4 |
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dx |
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12)∫ |
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e |
dx |
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x |
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x(3 x +1) |
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e |
− 4 |
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13)∫sin8xsin3xdx |
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14) ∫ cos |
3 |
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x dx |
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15)∫tg |
2 |
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xdx |
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sin5 x |
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dx |
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18) ∫e |
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dx |
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16) ∫ |
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17)∫ |
|
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36− x2 |
dx |
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x+4 |
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|
|
sin2 x + 25cos2 x |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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17)* |
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|
x3 |
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∫ |
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dx |
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x2 + 4x +8 |
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II |
1) |
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4 |
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24 |
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dx |
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||||||||||||
|
π /3 |
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|
3 |
|
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|
x |
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4 |
2) ∫ln(x2 +1)dx |
|
3) |
|
∫ |
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2+ |
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x +1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
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tg |
|
|
x +5arctg |
|
|
|
−5x |
dx |
|
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3 |
|
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15 |
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||||||||||||||||||||||
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2 |
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−π /3 |
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III |
∞ |
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dx |
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5 |
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x |
2 |
dx |
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|||||||||||
|
1) ∫ |
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2) ∫ |
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x2(x +1) |
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x3 −1 |
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|||||||||||||||||||||||||
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1 |
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|
1 |
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||||||||||||||||||||||
IV |
1) y |
|
= x |
2 |
− |
2 |
x, |
y = |
4 |
x |
|
|
|
x =3sint, |
|
3)ρ = −sinϕ |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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3 |
3 |
|
2) |
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|
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|
(π ≤ϕ ≤ 2π ) |
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y = 2cost |
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(0≤t ≤ |
π ) |
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|
2 |
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
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|
||
V |
|
|
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|
3 |
|
|
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|
|
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|
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|
x = 2t, |
|
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|
3) ρ = 4sinϕ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) y |
= |
|
|
(3− x)3 (0≤ x ≤ 2) |
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
(0≤ϕ ≤ 2π ) |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
4 |
|
|
|
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|
2) |
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y = et + e−t |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||
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|
|
|
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(0≤t ≤1) |
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|
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|
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|
|
|
|
|||||||||||||||
VI |
1) xy = 4 , |
2x + y −6= 0 (Ox ) |
2) |
x =9cost, y = 2sin |
t (Oy ) |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
VII |
1) |
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найти |
|
путь, |
прямолинейно |
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движущегося |
тела |
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|
со |
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скоростью |
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v =12+8t −3t2 м/сек, за первые 2 сек? |
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2)* определить работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать жид- |
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кость из котла, имеющего форму полусферы радиуса |
R =3,5м. |
Плот- |
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ность жидкости δ =1,3 т/м3. |
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87 |
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Вариант 21
I |
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dx |
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4)2dx |
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1 |
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( |
x + |
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dx |
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1) ∫ |
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|
2) |
∫ |
3)∫ |
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(1+ x2)arctgx |
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1+9x2 |
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||||||||
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3 x |
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5 |
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dx |
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2x +1 |
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4) ∫ |
x |
dx |
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5) ∫ |
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6)∫ |
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dx |
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4x2 − 4x +5 |
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x12 − 25 |
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x2 −6x +10 |
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x3 + x2 |
− 2x − 4 |
dx |
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8) |
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5x +8 |
9) ∫x25x dx |
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7)∫ |
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x2 |
+3 |
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∫ |
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dx |
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||||||||||
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(x −2)2(x + 4) |
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|
10) ∫arcsin5xdx |
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11) |
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3x |
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dx |
12)∫ |
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2 |
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dx |
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∫ |
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2x + 4 |
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x + 4(3 x + 4 +1) |
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|
13)∫sin10xcos14xdx |
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14) ∫ |
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sin |
5 |
x |
|
dx |
16) |
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|
dx |
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∫ |
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cos3 x |
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cos2 x + 4sin2 x |
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15)∫(tg4 x −3tg2 x +2)dx |
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dx |
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18) ∫sin |
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dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
17) ∫ |
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x + 4 |
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x |
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2 |
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17)* |
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x |
|
−16 |
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∫ |
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x3dx |
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x |
2 |
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+ 6x +13 |
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||||||||||||||||||
II |
1) |
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|
e2 |
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4 |
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1+ |
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x |
dx |
||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||
|
1/4 |
|
(2arcsin |
3 |
x − |
3x |
7 |
+ 2x |
2 |
)dx |
2) |
∫ |
x6lnxdx |
3) ∫ |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
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1 |
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1 |
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|
x |
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||||||||||||||||||||
|
−1/4 |
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||||
III |
∞ |
3 |
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1 |
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dx |
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|||||||||||
|
1) ∫2 |
|
x dx |
|
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|
2) |
1/2∫ |
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|||||||||||||||||||||||||
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|
x4 −1 |
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9 |
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|||||||||||||||||||||
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1− 2x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
IV |
|
y = |
|
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|
y = −x |
|
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2) x = 4sin3 t, |
3)ρ = 4 |
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, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
|
x |
, |
|
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|
cos2ϕ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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y = 2cos3 t , |
−π |
2 |
≤ϕ ≤ |
π |
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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0≤t ≤π |
2 |
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V |
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2 |
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x =12cost, |
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3ϕ |
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1) |
y = |
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(x − 2) |
3 |
(2≤ x ≤3) |
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2) |
3) ρ = cos |
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3 |
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3 |
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y =12sint, |
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0 |
≤ |
t |
≤ π |
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(−π ≤ϕ ≤ 0) |
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2 |
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2 |
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|||
VI |
1)x =sint , |
y = 2cost |
(Ox ) |
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2) |
y = x2 |
4 |
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, −2≤ x ≤ 0 (Oy ) |
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|
VII |
1) |
скорость прямолинейного движения материальной точки |
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|
v =t e−0,41 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
м/сек. Найти путь, пройденный точкой от начала движения до полной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
остановки. |
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||||||||
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2)* |
|
определить силу давления воды на плотину, представляющей собой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
прямоугольник с основанием |
a = 9 |
м, |
лежащем на поверхности воды и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
глубиной |
h =4 м. |
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88 |
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Вариант 22
I |
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dx |
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(ex |
+ |
2)3 |
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3)∫x |
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1) ∫ |
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2)∫ |
2 |
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3 |
− x |
3 |
dx |
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dx |
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sin2(3x +1) |
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ex |
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3 |
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dx |
6) |
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|||||||||||||
|
4) ∫ |
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x |
dx |
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5) ∫ |
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4x +5 |
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4x2 +5x +1 |
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dx |
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6 |
+ x8 |
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∫ |
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3− 2x − x2 |
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7) |
∫ |
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x |
3 |
− x |
2 |
|
+3x + 2 |
dx |
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8) |
|
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4x + 21 |
9) ∫x2e8xdx |
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x2 + 2 |
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|
∫ |
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dx |
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(x +1)(x + 2)(x −3) |
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|
10) ∫arcsin5xdx |
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dx |
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5 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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|
∫ |
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|
13)∫ |
|
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x dx |
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|||||||||||||||
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|
( |
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|
−1)4 |
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x −1 |
x −1 |
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|||||||||||||||||||||||||
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x2 − 4 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
|
13)∫cos6xcos3xdx |
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3 |
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7 |
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sin |
x |
|
15)∫tg xdx |
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14) |
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|
∫cos6 x dx |
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dx |
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|
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|
dx |
18)∫cos |
|
|
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|||||||||||||||||||||
|
16) ∫ |
|
|
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|
|
17)∫ |
|
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|
x +1dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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4cos2 x +81sin2 x |
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x2 |
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16+ x2 |
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17)* |
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∫ |
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x3dx |
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x |
2 |
+8x + 20 |
|
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|||||||||||||
II |
1) |
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25 |
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3 |
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|
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|
xdx |
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|||||||||||
|
1/2 |
|
(7x |
6 |
|
|
|
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|
7 |
x +3arctgx)dx |
2) ∫arctgxdx |
3) ∫ |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
−2sin |
|
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|||||||||||||||||||
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|
|
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0 |
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13 |
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2x −1 |
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−1/2 |
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III |
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0 |
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x2dx |
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2 |
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x2dx |
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1) −∫∞ |
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2) ∫0 |
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x3 −1 |
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64− x6 |
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IV |
1) y = 2x2, y =8x −6 |
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x = −2cost, |
ρ = 3+ 2cosϕ |
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2) |
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(0≤ϕ ≤ 2π ) |
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y =3sint |
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(π |
2 |
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≤ |
ϕ ≤π ) |
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V |
1) |
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y2 = x3, |
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2) |
|
x = −2cost, |
ρ =8(1−cosϕ) |
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от т. A(0,0) до т. B(2;− |
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(0≤ϕ ≤ 2π ) |
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8) |
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(π |
y = 2sint |
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2 |
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≤t |
≤π ) |
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VI |
1) y =8x − 2x2 , |
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y = 6x |
(Ox ) |
2) |
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x = 7cost , y =sint ( |
Oy ) |
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VII |
1) скорость движения тела v = 3t2e−t3 |
м/с. Какой путь пройдет тело от |
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|
начала движения до полной остановки? |
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2)* вычислить работу, которую нужно затратить на сооружение кониче- |
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ского кургана, |
радиус основания которого R = 2 м, а высота H =3м, |
|
из |
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|
однородного строительного материала плотностью δ = 2,5 т/м3. |
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89 |
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Вариант 23
I |
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∫54x−1dx |
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3)∫x3sinx4dx |
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1) |
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2)∫ |
( |
4 x −5)2 |
dx |
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x |
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x3 |
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dx |
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5) ∫ |
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dx |
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6) |
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4x +1 |
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4) ∫ |
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9x |
2 |
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−6x + 2 |
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25− x8 |
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∫ |
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x2 +8x +17 dx |
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7)∫ |
x |
3 |
+ 2x |
2 |
+ x +7 |
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dx |
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8) ∫ |
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4x +1 |
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dx |
9) |
∫cos(2lnx)dx |
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(x |
2 |
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x +1 |
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+1)(x +3) |
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10) ∫ xarctg4xdx |
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3 |
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|
2x |
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x −1 |
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11)∫ |
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dx |
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12)∫ |
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3 |
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dx |
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x −1−9 |
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3x + 4 |
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|
13)∫cos3xcos7xdx |
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14.∫(ctg |
4 |
x − |
3ctg |
2 |
x)dx |
15. |
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∫ |
cos |
3 |
x |
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|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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sin3 x |
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dx |
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64− x2 |
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18) ∫4 |
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x |
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dx |
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||||||||||||||||||||||||||
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16) ∫ 4sin2 x +81cos2 x |
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17)∫ |
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dx |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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17)* |
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∫ |
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x3 |
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dx |
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||||||||||
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x2 +10x + 29 |
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II |
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1 |
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7tg9 x −8x5 +9x8 |
) |
dx |
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−2 |
ln(x + 4)dx |
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π /4 |
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dx |
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1) |
∫ |
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2) |
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∫ |
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3) |
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∫ |
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−1( |
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−3 |
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π /12sin3x |
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III |
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∞ |
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x |
+ 2 |
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dx |
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π /2etg xdx |
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1) ∫ |
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2) |
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0∫ |
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0 3 (x2 + 4x +1)4 |
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cos2 x |
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IV |
1) y =3x2, |
y =18−15x |
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2) |
x = 3sint, |
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|
3)ρ =5cos2ϕ |
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(0≤ϕ ≤π ) |
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y = −4cost |
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π |
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<ϕ |
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< |
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2 |
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π |
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|||
V |
1) |
y = ln |
|
1 |
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, |
0≤ x ≤π |
|
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|
x = 3sint, |
|
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3) |
ρ =sin |
3 |
ϕ |
, |
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2) |
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3 |
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cosx |
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3 |
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y = −3cost |
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(π |
2 |
≤t |
≤π ) |
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0≤ϕ ≤π 2 |
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|||||
VI |
1) y = 6x − x2, |
|
y = 0 (Ox ) |
2)x =9cost , |
y = 2sint (Oy |
) |
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VII |
1) |
скорость движения тела |
v = 5te−t2 |
|
м/с. Какой путь пройдет тело от |
начала движения до полной остановки?
2)* найти силу давления воды на прямоугольную пластину с основанием a = 20 м, лежащем на поверхности воды, и глубиной h =3 м.
90
Вариант 24
I |
1) ∫ |
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dx |
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2)∫ (4 |
x |
+ |
3) |
2 |
dx |
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3)∫ |
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|
x |
7 |
|
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dx |
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25x |
2 |
− |
4 |
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2x |
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1− x8 |
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x3 |
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5) ∫ |
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dx |
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6) |
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6x +1 |
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4) |
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∫ x8 −16dx |
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|
3+ 2x − x2 |
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|
∫ |
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dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
4x2 + 4x +1 |
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|
7)∫ |
|
x |
5 |
− |
4x +12 |
dx |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x +9 |
|
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dx |
9) ∫e |
4x |
sin4xdx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
(x +1)(x − 2)(x |
−3) |
|
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|
x2 +3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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6 |
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3 |
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8 |
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|
10) ∫ x |
lnxdx |
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|
|
∫ |
|
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|
|
|
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|
x + 2 |
|
|
|
dx |
|
12) |
∫ |
|
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|
x |
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
x + 2 − 3 x + 2 |
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x3 +1 |
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|
13)∫cos7xsinxdx |
|
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3 |
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|
sin2x |
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14) ∫ |
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cos10x dx |
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∫ |
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|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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sin4 x −cos4 x |
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sin |
x |
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dx |
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18) |
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|||||
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16) ∫ |
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4 − x2 |
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dx |
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∫arctg |
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x + 2dx |
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− |
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− |
cosx |
+ |
1 |
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17) |
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∫ |
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x2 |
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5sinx |
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17)* |
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x3 |
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∫ |
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dx |
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x2 +12x +38 |
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II |
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3 |
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( |
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) |
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π /3 |
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dx |
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8arctg3 x − |
3x3 + 7x6 |
dx |
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3 |
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1) |
∫ |
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2) |
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∫ |
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arctgxdx |
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3) |
∫ |
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−3 |
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π /4sin2x |
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1/ |
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3 |
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III |
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∞ |
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6 |
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2 |
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arctg2x |
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dx |
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dx |
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1) 0∫ |
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2)4∫ |
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π |
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1+ 4x2 |
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(x −5)10 |
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IV |
1) y = 4x2 + 4, |
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y = 5x |
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x =10sint, |
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3)ρ =5ϕ |
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2) |
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(0≤t ≤ 2π ) |
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y = cost |
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(0≤ϕ ≤ 2π) |
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V |
1) |
y |
= |
1 |
x |
2 |
− |
1 |
lnx |
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x =10sint, |
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ρ = 9(1+ cosϕ) |
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4 |
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2 |
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2) |
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π |
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y =10cost, |
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≤ϕ |
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≤ |
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0 |
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3 |
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(0≤ x ≤ e) |
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0≤t ≤ 2π |
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VI |
1) y =10− x2, |
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y = x2 (Ox ) |
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2) x =3cost , |
y =sint ( |
Oy ) |
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VII |
1) |
найти путь прямолинейно движущегося тела со скоростью |
v = e2t м/с |
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за первые две секунды. |
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2)* вычислить массу земной атмосферы, полагая, |
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что её плотность ρ ме- |
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няется с увеличением высоты по закону ρ = ρ0e−ah где h −расстояние от |
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поверхности Земли до рассматриваемой точки. (Земля считается шаром |
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радиуса R ). |
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91 |
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