- •Введение
- •Глава 1. Неопределенный интеграл
- •§1. Первообразная, неопределенный интеграл и его свойства
- •§2. Табличные интегралы
- •§3. Почленное интегрирование. Метод внесения под знак дифференциала
- •§4. Интегралы, содержащие в знаменателе квадратный трехчлен или квадратный корень из него
- •§5. Интегрирование рациональных дробей
- •§6. Замена переменной
- •§7. Метод интегрирования по частям
- •§8. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций
- •§9. Тригонометрические и универсальная тригонометрическая подстановки
- •§10. Применение различных методов интегрирования
- •§4. Метод интегрирования по частям и замена переменной в определенном интеграле
- •§9. Физические приложения определенного интеграла: вычисление длины пути, работы переменной силы
- •и многие другие
- •Заключение
- •Библиографический список
Глава 1. Неопределенный интеграл
§1. Первообразная, неопределенный интеграл и его свойства
Определение 1. Функция F(x) называется первообразной от функции f (x),если
|
|
|
F (x) = f (x). |
(1.1) |
|
|
|
′ |
|
Например, если f (x)= cosx , то из табличной производной (sinx)′ = cosx |
||||
следует, |
что можно взять в качестве первообразной от косинуса F1(x) = sinx . |
|||
Так как производная от константы C равна нулю, то первообразными от коси- |
||||
нуса будут также функции F(x)=sinx +C . |
|
|||
Для первообразных справедлива |
|
|||
Лемма. Пусть F1(x) |
и F2(x) – две различные первообразные от функции |
|||
f (x). Тогда они отличаются друг от друга на константу, то есть |
|
|||
|
|
|
F1(x)− F2(x) = C . |
|
Доказательство. |
Для функции F(x) = F1(x)− F2(x) |
производная |
||
′ |
′ |
′ |
|
|
F (x)= F2 |
(x)− F1 (x)= f (x)− f (x)= 0. |
|
||
Мы уже воспользовались табличной производной С′= 0. |
Покажем, что |
других первообразных нуля, кроме константы не существует. По теореме Лагранжа Φ(b)−Φ(a) = Φ′(с)(b− a), с (a,b). Так как Φ′(x) = 0, то
Φ(b)−Φ(a)= 0 для любых действительных a и b. Зафиксируем a , и будем произвольно менять b = x R . Тогда Φ(x)=Φ(a)=С.
Определение 2. Неопределенным интегралом от функции f (x) называется множество всех её первообразных и обозначается ∫ f (x)dx .
Пусть найдена одна их первообразных F(x). Тогда в силу леммы о первообразных множество всех первообразных можно описать формулой
∫ f (x)dx = F(x)+C . |
(1.2) |
Итак, мы ввели операцию интегрирования функций, обратную операции дифференцирования (но, в отличие от последней, она оказалась не однозначной, а бесконечнозначной!). Отсюда и из свойств производной вытекают
свойства неопределенного интеграла
4
1.(∫ f (x)dx)′ = f (x) или d (∫ f (x)dx)= f (x)dx .
2.∫ϕ′(x)dx =ϕ(x)+C или ∫dϕ(x) = ∫d (ϕ(x)+ C )=ϕ(x)+ C .
3.∫λ f (x)dx = λ∫ f (x)dx , λ – число.
4.∫( f1(x)+ f2(x))dx = ∫ f1(x)dx + ∫ f2(x)dx .
5.В формуле (1.2) вместо независимой переменной x можно подставить любую функцию ϕ(x):
ϕ |
ϕ |
(x) |
= |
ϕ |
+ |
C |
. |
(1.3) |
∫ f ( (x))d |
|
|
F( (x)) |
|
|
|
Замечание. Первое свойство позволяет проверить ответ для неопределенного интеграла дифференцированием, в том числе линейные свойства 3, 4; вторые формулировки первого и второго свойств показывают, что знаки дифференциала и интеграла «уничтожают» друг друга; а пятое свойство вытекает из инвариантности первого дифференциала и резко расширяет возможности интегрирования.
§2. Табличные интегралы
В формулах, приведенных ниже, С означает произвольную постоянную.
|
|
∫xndx = |
|
xn+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.∫ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
+C , |
|
|
n ≠ −1 |
|
|
|
|
|
x =ln|x |+C , |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3.∫axdx = |
|
ax |
+C , |
|
|
|
|
|
4. |
∫sinxdx =−cosx +C , |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lna |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. |
∫cosxdx =sinx +C , |
|
|
|
|
|
6. |
∫ |
|
1 |
|
dx = tg x +C , |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
|
|
|
1 |
dx =−ctgx +C , |
8. |
|
|
1 |
|
|
|
dx = |
1 |
|
x −a |
|
+C , |
||||||||||||||||||
∫ |
|
|
∫ |
|
|
|
|
ln |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x2 −a2 |
|
|
|
2a |
|
x +a |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
9. |
∫ |
|
|
1 |
|
|
dx = 1arctg |
+C , |
10. ∫ |
1 |
|
|
|
dx =arcsin |
x |
|
+C , |
|||||||||||||||||||
|
x2 + a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
a2 −x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
11. ∫ |
1 |
|
|
|
|
dx =ln |
|
x + |
|
|
+C , отметим, что в № 8–10 |
|
a > 0; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 ±a |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 ±a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
частные случаи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
∫ |
1 |
|
dx = 2 |
|
+C , |
|
13. ∫ex dx =ex+C , |
|||||||
|
x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
14. |
∫ |
1 |
|
|
dx =arctgx +C , |
15. ∫ |
1 |
|
dx =arcsinx +C . |
||||||
x2 +1 |
|
|
|
||||||||||||
1−x2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
В качестве доказательства достаточно проверить в силу свойства 1 ответы дифференцированием, более того половина их них получается из табличных производных (например, для f (x)=cosx , §1); но появление знака модуля для
второго табличного интеграла обосновывается следующим образом. Если переписать табличную производную (lnx)′ = 1x для соответствующего интеграла, то
слева в ∫ 1x dx область определения подынтегральной функции f (x)= 1x будет
x ≠ 0, а справа для F(x)=lnx остаются только положительные значения x, т.е. мы теряем половину области определения функции. Проверим, что производ-
ная ln|x |будет, |
как и у |
lnx тоже |
1 |
. Действительно, при |
x <0 |x |= −x и |
||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
x |
|
|
′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
||
(ln|x |) |
=(ln(−x)) |
= |
|
(−1) |
= x |
. Отсюда следует, что и в табличных интегралах |
|||
−x |
8, 11 и вообще, если при интегрировании некоторой функции в ответе появляется lnϕ(x), то всегда нужно брать функцию внутри логарифма по модулю:
ln|ϕ(x)|.
§3. Почленное интегрирование. Метод внесения под знак дифференциала
Как уже отмечалось во введении, деление сложнее умножения, извлечение корня сложнее возведения в степень. Как и любая обратная операция, интегрирование функций гораздо сложнее дифференцирования. Заметим, что обратные операции приводят к расширению множества, на котором действуют: деление приводит к рациональным числам, извлечение корня – к иррациональным и комплексным числам, а при интегрировании появляются неэлементарные функции. И только простейший метод почленного интегрирования (на основе свойств 3, 4) не сложнее почленного дифференцирования, да и то только в случае табличных интегралов.
6
Пример 1
∫ |
|
|
2 |
|
x |
|
|
4 |
|
|
7 |
|
|
|
6x |
|
+8 2 |
|
+ |
|
|
− |
|
|
|
dx = |
|
|
|
x2 |
−4 |
|
|
|
|||||||
|
|
5− x2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 6∫x2dx + 8∫2x dx + 4∫ x2 −1 22 dx
|
4 |
|
x − 2 |
|
|
x |
|
+C = 2x3 |
||
+ |
ln |
|
|
−7arcsin |
|
|||||
2 2 |
x + 2 |
|
|
|
||||||
|
|
5 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2x |
|
|||||||
7∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = 6 |
x |
+8 |
|
|
|
|
|
+ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
( |
5) |
− x2 |
|
|
3 |
|
|
ln2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
+ |
2x+3 |
+ ln |
|
x − 2 |
|
−7arcsin |
|
x |
+C . |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
ln2 |
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В случае, когда подынтегральная функция есть дробь, знаменатель которой является одночленом, иногда удается почленно разделить и затем почленно проинтегрировать.
Пример 2
|
|
(x −3)2 |
|
|
|
x2 |
−6x +9 |
|
∫ |
|
x2 |
|
−6 |
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
dx = ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 9 |
|
|
|
dx = |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
1 |
|
|
|
dx |
|
|
x2 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= ∫x2dx 6∫x2dx +9∫ |
|
= |
|
6 |
+9 2 |
x |
+C = |
|
|
x |
−4x |
x |
+18 |
x |
+C. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
5 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
sin2 x +cos2 x |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
= ∫ |
sin2 xcos2 x |
|
dx = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 xcos2 x |
|
||||||||||||||||
= |
|
|
|
sin2 x |
|
|
+ |
|
cos2 x |
|
|
dx |
= |
|
dx |
|
+ |
|
dx |
|
|
= tgx −ctgx +C . |
||||||
∫ |
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
∫cos |
2 |
|
∫sin |
2 |
|
|
||||||||||
|
xcos |
x |
|
sin |
xcos |
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|||||||||||||||
|
sin |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
Замечание. Нахождение первообразных в примере 2 требует знать бином Ньютона. Например, если бы было выражение (x −3)2019 , то потребовалось бы
2020 слагаемых. Взять производную от частного с показателем 2019 технически не сложнее, чем с показателем степени равным двум, но при нахождении пер-
7
вообразных начнутся трудности, связанные с количеством слагаемых под знаком интеграла. В примере 3 для оптимального метода решения прежде всего необходимо знать основное тригонометрическое тождество, а главное умение нестандартно мыслить. Подытоживая, заметим, что хороший уровень знаний элементарной математики недостаточен, еще необходим творческий подход в задачах интегрирования.
Метод внесения под знак дифференциала
Пусть под знаком интеграла стоит произведение сложной функции на производную от внутренней функции. Это позволяет воспользоваться формулой (1.3), а именно
∫ f (ϕ(x))ϕ′(x)dx = ∫ f (ϕ(x))dϕ(x)= F (ϕ(x))+C . |
(1.4) |
Пример 4
∫esinx cosxdx = ∫esinx (sinx)′dx = ∫esinx d(sinx)= esinx +C.
Сделаем проверку: (esinx )′ = esinx (sinx)′ = esinx cosx . Верно.
Отметим, что метод внесения под знак дифференциала эквивалентен правилу дифференцирования сложной функции, но в обратном порядке: сначала интегрируется внутренняя тригонометрическая функция, а затем внешняя показательная функция.
Возможнодваподходакприменениюметодавнесенияподзнакдифференциал. 1. Если под знаком интеграла есть сложная функция, то берем производную
от внутренней функции (в нашем примере (sinx)′ = cosx ) и ищем её в качестве множителя, чаще всего с точностью до константы cϕ′(x).
2. Вносим одну из функций, которая является одним из множителей в подынтегральном выражении под знак дифференциала, при этом она интегрируется и в результате под знаком дифференциала появляется одна из её первообразных (в последнем примере в силу табличного интеграла 5, косинус пропадает в качестве множителя, а под знаком интеграла вместо него появляется синус), и ищем её присутствие во внутренней функции для данной сложной функции (или пытаемся выразить через неё оставшееся выражение под знаком интеграла).
В примере 4 возможно применение обоих подходов (отметим, забегая вперед, что можно сделать замену переменной sinx = z ), но иногда можно взять интеграл только с помощью второго подхода.
8
Пример 5
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
x |
|
|
|
|
|
d (x |
4 |
) |
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||||
∫ |
|
dx = ∫ |
4 |
|
|
∫ |
|
|
4 |
+С. |
|||||||
|
|
|
= |
4 |
|
= |
4arctgx |
|
|||||||||
x8 +1 |
x8 +1 |
(x4 )2 +1 |
|
Мы сначала внесли x3 под знак дифференциала, затем появившуюся в таб-
личном интеграле константу 1 вынесли и за знак дифференциала и за знак инте-
4
грала, и, наконец, выразили x8 через x4 , что привело к табличному интегралу14. Рассмотрим частные случаи метода внесения под знак дифференциала.
1)∫ f (ax +b)dx = |
1 |
∫ f (ax +b)d(ax)= |
1 ∫ f (ax +b)d(ax +b), что с |
помощью |
|||||||||||
формулы (1.3) даёт |
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (ax +b)dx = |
1 F(ax +b)+C . |
(1.5) |
|||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 6 |
|
|
|
|
|
23x+5 +C . |
|
||||||||
|
|
|
∫23x+5dx = |
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
3 ln2 |
|
|||||||||
|
2) ∫ϕ′(x)dx = ∫dϕ(x) |
= ln |
|
ϕ(x) |
|
+C . |
(1.6) |
||||||||
|
|
|
|||||||||||||
Пример 7 |
|
ϕ(x) |
ϕ(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫tgxdx = ∫sinx dx = −∫(cosx)′dx = −ln |
|
cosx |
|
+C . |
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
cosx |
|
cosx |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Часто этот интеграл входит в список табличных интегралов, также, как и интегралы от других основных элементарных функций, но мы считаем, что достаточно взять минимально возможное количество табличных интегралов, приведенных на странице 5, что позволяет с помощью различных методов интегрирования брать все возможные интегралы, первообразные от которых являются элементарными функциями.
3)∫ |
ϕ′(x) |
dx = ∫ |
d |
ϕ(x) |
|
= 2 |
|
+C . |
(1.7) |
|
|
ϕ(x) |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
ϕ(x) |
|
ϕ(x) |
|
|
|
|
|
9