- •Кратные интегралы. Векторный анализ
- •Введение
- •1.2. Вычисление двойного интеграла в декартовых прямоугольниках. Изменение порядка интегрирования
- •1.3. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •1.4. Применение двойных интегралов для вычисления площадей и объемов
- •2. Тройные интегралы
- •2.1. Тройной интеграл. Геометрический и физический смысл тройного интеграла
- •2.2. Замена переменных в кратных интегралах
- •2.3. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах
- •2.4. Применение кратных интегралов в задачах механики и физики
- •3. Криволинейные интегралы
- •3.1. Криволинейный интеграл первого рода
- •3.2. Криволинейный интеграл первого рода, его физический смысл и механические приложения
- •3.3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •3.4. Формула Грина. Вычисление площадей с помощью криволинейного интеграла второго рода
- •4. Поверхностные интегралы
- •4.1. Поверхностные интегралы первого рода
- •4.2. Поверхностные интегралы второго рода
- •4.3. Формула Остроградского
- •4.4. Формула Стокса
- •5. Теория поля
- •5.1. Скалярные поля
- •5.2. Векторные поля
- •5.3. Поток векторного поля. Дивергенция
- •5.4. Циркуляция векторного поля
- •5.5. Ротор векторного поля
- •6. Оператор Гамильтона
- •Заключение
- •Оглавление
- •5.5. Ротор векторного поля………….………………………156
- •6. ОПератор Гамильтона………….……………………160
- •3 94026 Воронеж, Московский просп.,14
2.3. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах
а) Цилиндрические координаты
В цилиндрических координатах положение точки М в пространстве определяется следующим образов:
Точка М проектируется на плоскость ХОУ и определяются полярные координаты r и ее проекции.
Третьей цилиндрической координатой является расстояние точки М от плоскости ХОУ, т.е. ее аппликата z (рис. 2.5). Область изменения цилиндрических координат определяется неравенствами: z > 0, .
Рис.
2.5
Формулы, связывающие прямоугольные координаты и цилиндрические координаты точки имеют вид:
x = r cos , y = r sin , z = z (2.17)
В цилиндрических координатах элемент объема:
dV = r dz d dz (2.18)
Для того, чтобы тройной интеграл преобразовать к цилиндрическим координатам, надо х, у и z в подынтегральной функции заменить по формулам (2.17), а элемент объема dxdydz по формуле (2.18). После этого тройной интеграл вычислить тремя последовательными интегрированиями.
б) Сферические координаты
В сферических координатах положение точки М в пространстве, определяется тремя числами , , ,
Рис. 2.6
Точка М проектируется на плоскость ХОУ в точку М1. Угол , составленный ОМ1 и осью ОХ является второй сферической координатой точки М. Он отсчитывается от оси ОХ против часовой стрелки может изменяться от 0 до 2. Третьей сферической координатой является угол между осью OZ и ОМ (0 ).
Формулы, связывающие прямоугольные координаты точки и ее сферические координаты имеют вид:
(2.19)
В сферических координатах элемент объема:
. (2.20)
Для того, чтобы тройной интеграл преобразовать к сферическим координатам надо x, y и z заменить в подынтегральной функции по формулам (2.19), а элемент объема dxdydz по формуле (2.20). После того вычислить его тремя последовательными интегралами (порядок интегрирования безразличен). Заметим, что переход к сферическим координатам особенно удобен в том случае, когда областью интегрирования является шар (или часть шара) или подынтегральная функция содержит в себе выражение вида x2 + y2 + z2, так как в сферических координатах x2 + y2 + z2 = 2.
Примеры решения задач/
Задача 2.6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: x2+y2+z2–2z=0 и x2+y2=2–z.
Рис. 2.7
Найдем уравнение линии, по которой пересекаются эти поверхности. Этой линией является окружность. Определим, на какой высоте над плоскостью ХОУ расположена эта линия.
Для этого из второго уравнения подставим значение
x2+y2=2–z в первое уравнение, получим (2–z)2+z2–2z=0 или
z2–3z+2=0. Решая его, получим z1 = 1, z2 = 2. Точка, в которой z = 2 – это вершина параболоида, поэтому линия пересечения поверхностей находится на высоте z = 1 над плоскостью ХОУ. Уравнение этой линии получим, подставляя z = 1 в уравнение любой из этих поверхностей.
Оно имеет вид .
Это окружность, она проектируется на плоскость ХОУ в окружность x2 + y2 = 1, а все тело проектируется в круг DХОУ, ограниченный этой окружностью.
По формуле (2.3) (при f=1) объем тела равен .
Внутреннее интегрирование проведем по переменной z. Определим пределы изменения переменной в области интегрирования: из уравнения сферы получим на нижней полусфере , а из уравнения параболоида z = 2–(x2+y2). Таким образом, в области интегрирования
.
Поскольку под знаком интеграла имеется выражение x2 + y2, а область интегрирования круг, удобно перейти к полярным координатам, в которых x2 + y2 = r2, а элемент площади
dxdy = rdrd. Так как в круге DХОУ , то
.
Ответ: куб. ед.
Задача 2.7. Определить объем шара радиуса R.
Решение. Проведем вычисления в сферической системе координат. Поместим центр шара в начало координат. В прямоугольной системе координат уравнение поверхности шара (сферы) имеет вид: x2 + y2 + r2 = R2.
Переходя к сферическим координатам получим уравнение поверхности шара 2=R2 или = R. Вычислим объем той части шара, которая находится в первом октанте по формуле:
.
Внутренний интеграл .
Поэтому .
Окончательно объем шара равен: куб. ед.
Ответ: куб. ед.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 2.8. Найти объем тела, ограниченного поверхностями 4z = x2 + у2 и x2 + у2 + z2 = 12.
Рис. 2.8
Указание.
Тело проектируется на плоскость хоу в круг, рис. 2.8 ограниченный окружностью, уравнение которой можно получить, выразив из второго уравнения х2 + у2 = 12 – z2 и подставив это выражение в первое уравнение.
Ответ: куб. ед.
Задача 2.9. Найти объем тела, ограниченного сферами х2 + у2 + z2 = 16 и х2 + у2 + z2 – 8z = 0.
Указание.
Рис.
2.9
Круг (рис. 2.9), в который проектируется тело на плоскость хоу ограничен линией х2 + у2 = 12.
При вычислении двойного интеграла по области Dхоу перейти к полярным координатам:
0 2; 0 r . Получим:
.
Ответ: куб. ед.
Задача 2.10.
Вычислить объем части шара х2 + у2 + z2 = 4R2, которая лежит внутри цилиндра х2 + у2 = R2.
Указание. Перейти к цилиндрическим координатам в уравнениях поверхностей. Тогда:
.
Ответ: куб. ед.
Задача 2.11. Вычислить объем, ограниченный поверхностями х2 + у2 = R2, х2 + у2 = z, z = 0.
Указание. Перейти к цилиндрическим координатам.
Ответ: куб. ед.