- •Кратные интегралы. Векторный анализ
- •Введение
- •1.2. Вычисление двойного интеграла в декартовых прямоугольниках. Изменение порядка интегрирования
- •1.3. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •1.4. Применение двойных интегралов для вычисления площадей и объемов
- •2. Тройные интегралы
- •2.1. Тройной интеграл. Геометрический и физический смысл тройного интеграла
- •2.2. Замена переменных в кратных интегралах
- •2.3. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах
- •2.4. Применение кратных интегралов в задачах механики и физики
- •3. Криволинейные интегралы
- •3.1. Криволинейный интеграл первого рода
- •3.2. Криволинейный интеграл первого рода, его физический смысл и механические приложения
- •3.3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •3.4. Формула Грина. Вычисление площадей с помощью криволинейного интеграла второго рода
- •4. Поверхностные интегралы
- •4.1. Поверхностные интегралы первого рода
- •4.2. Поверхностные интегралы второго рода
- •4.3. Формула Остроградского
- •4.4. Формула Стокса
- •5. Теория поля
- •5.1. Скалярные поля
- •5.2. Векторные поля
- •5.3. Поток векторного поля. Дивергенция
- •5.4. Циркуляция векторного поля
- •5.5. Ротор векторного поля
- •6. Оператор Гамильтона
- •Заключение
- •Оглавление
- •5.5. Ротор векторного поля………….………………………156
- •6. ОПератор Гамильтона………….……………………160
- •3 94026 Воронеж, Московский просп.,14
1.3. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
В полярных координатах dS = rdrd, x = rcos, y = rsin, где r – полярный радиус (0 r +), – полярный угол (0 2), а двойной интеграл:
. (1.18)
Рис.
1.11
если она ограничена двумя лучами с уравнениями = и = ( ) и линиями, определяемыми уравнениями r = u1() и r = u2(), где функции u1() и u2() непрерывны на отрезке [, ], однозначны и сохраняют аналитическое выражение, то двойной интеграл, распространенный на эту область, вычисляется по формуле (1.19):
. (1.19)
Интеграл, стоящий в правой части этой формулы – повторный (иначе двукратный). Во внутреннем интеграле следует рассматривать как величину постоянную.
Задача 1.7. Вычислить , где область D ограничена линиями r = R и r = 2R sin.
Решение. Область D ограничена окружностями радиуса R, одна из них с центром в начале координат (r = R), а другая с центром в точке с координатами (O, R) на оси ОУ (рис. 1.12).
Рис.
1.12
Чтобы определить, как изменяется в области D полярный угол , проведем лучи из начала координат в точки А и В. Решая систему уравнений , найдем значения угла , соответствующие лучам ОА и ОВ.
Получим 2R sin = R; sin = , , .
Таким образом, пределы изменения полярного угла в области D от до .
Теперь найдем пределы изменения полярного радиуса в области D. Для этого под произвольным углу , взятым в промежутке , проведем из полюса О луч ОР. В точке С входа этого луча в область D r = R, а в точке Р выхода из области r = 2R sin, поэтому полярный радиус изменяется в области D R до 2R sin.
Поэтому .
(Мы вынесли sin за знак внутреннего интеграла, так как при вычислении внутреннего интеграла переменная сохраняет постоянное значение).
Внутренний интеграл равен
Внешний интеграл равен
.
Указание. При вычислении следует использовать тригонометрические формулы .
Задача 1.8. Вычислить двойной интеграл , где область D ограничена полярной осью и кривой r2=a2cos2 .
Решение. Кривая r2 = a2cos2 – лемниската.
В области D полярный угол изменяется от 0 до .
Рис.
1.13
(Учтено условие ). Нижний предел получается из условия, что область D ограничена полярной осью. Чтобы определить пределы изменения полярного радиуса области D, проведем луч из полюса О, пересекающий область D под произвольным углом . Он входи в область D в полюсе, то есть при r = 0, а выходит в точке на лемнискате, в котором r = a .
Получим: = .
Внутренний интеграл равен
.
Внешний интеграл равен
.
Ответ: .
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.9. В интеграле перейти к полярным координатам.
Ответ: .
1.4. Применение двойных интегралов для вычисления площадей и объемов
а) Вычисление площадей плоских фигур
Площадь плоской фигуры вычисляется по формуле:
,
где дифференциал площади.
Если фигура отнесена к прямоугольной системе координат, то предыдущая формула примет вид:
. (1.20)
Если фигура отнесена к полярной системе координат, то ее площадь вычисляется по формуле:
. (1.21)
Задача 1.10. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (х – а)2 + у2 = а2 и х2 + (у – а)2 = а2.
Рис.
1.14
Решение.
Линии, ограничивающие область, это окружности с центрами в точках (а, 0) и (0, а) радиуса а.
Наличие в уравнении кривой выражения х2 + у2 указывает на целесообразность перехода к полярным координатам по формулам:
х2 + у2 = r2.
Если раскрыть скобки, то уравнения окружностей запишутся в виде:
х2 + у2 – 2ах = 0;
х2 + у2 – 2ау = 0.
В полярных координатах они примут вид:
r = 2 acos (1.22)
r = 2 asin (1.23)
Луч ОА делит искомую площадь на две части D1 и D2 (рис. 1.14). Решая совместно уравнения (1.22) и (1.23) получим, что точка А лежит на биссектрисе первого координатного угла. Уравнение луча ОА: .
Искомая площадь области D = D1 D2 в силу свойства аддитивности двойного интеграла равна:
.
Вычислим отдельно внутренние интегралы:
;
.
Поэтому искомая площадь равна:
кв. ед.
Замечание. Так как из рис. (1.14) видно, что искомая площадь области D состоит из двух равных между собой по площади областей D1 и D2, то .
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.11. Найти площадь, ограниченную линиями х2 + у2 – 2ах = 0 и х2 + у2 – ах = 0.
Указание. Уравнение линий преобразовать к полярным координатам. Получим
.
Ответ: кв. ед.
Задача 1.12. Найти площадь, ограниченную линиями: х2 + у2 = R2, х2 + у2 – 2Ry = 0 и х = 0.
Указание. Перейти к полярным координатам, получим
.
Ответ: кв. ед.
б) Вычисление объемов тел
Рис.
1.15
V= . (1.24)
Если вычисления ведутся в полярных координатах, то предыдущая формула примет вид:
. (1.25)
Предполагается, что функция z = f(x, y) непрерывна и однозначна в области D.
Задача 1.13. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z = 4x2 + 2y2 + 1, x + y – 3 = 0, x = 0, y = 0, z = 0.
Решение. Первая поверхность представляет собой эллиптический параболоид с осью симметрии OZ. Он пересекает ось OZ в точке (0, 0, 1) (рис. 1.16).
Рис.
1.16
куб. ед.
Ответ: V = 45 куб. ед.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.14. Определить объем тела ограниченного поверхностями z = 4 – x2, y = 5, y = 0, z = 0.
Указание. В формулу (1.24) подставить z из уравнения поверхности, ограничивающей сверху это тело (параболический цилиндр с образующими, параллельными оси ОУ) z=4–x2.
Рис.
1.17
Ответ: куб. ед.
Задача 1.15. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z = a2–x2; x+y = a, у = 2х, у = 0.
Рис.
1.18
(рис. 1.18). По формуле (1.24) получим
Ответ: куб. ед.
Рис.
1.19
Указание. Поверхность представляет собой параболоид вращения. Наличие слагаемого x2+y2 в уравнении поверхности указывает на то, что удобно перейти к полярным координатам. Область интегрирования – это круг радиуса а
(рис. 1.19). Уравнение поверхности параболоида в полярных координатах имеет вид
r2+a2z = a2;
.
Ответ: куб. ед.
Задача 1.17. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями 2х + у – 2 = 0; 4х + 3у – 2z = 0 и координатными плоскостями.
Ответ: куб. ед.
в) Вычисление площади поверхности
Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), то плоскость той части поверхности, которая проектируется на плоскость ХОУ в область DХОУ вычисляется по формуле
. (1.26)
Предполагается, что функция z = f(x, y) непрерывна и однозначна в области D и имеет в этой области непрерывные частные производные и .
Иногда выгодно проектировать поверхность, площадь которой вычисляется, не на плоскость ХОУ, а на плоскость УOZ, тогда уравнение поверхности следует решить относительно переменной x = x(y, z).
Получим формулу:
. (1.27)
Если поверхность, площадь которой вычисляется, проектируется на плоскость XOZ, тогда уравнение поверхности следует решить относительно переменной у = у(x, z).
Получим формулу:
. (1.28)
Задача 1.18. Вычислить площадь той части поверхности
у = x2 + z2, которая находится в первом октанте и ограничена плоскостью у = 2.
Решение.
Поверхность, площадь которой требуется вычислить, часть параболоида вращения (ось вращения ОУ) находящаяся в первом октанте, и ограничена плоскостью у = 2, перпендикулярной к оси ОУ.
Спроектируем вычисляемую поверхность на плоскость XOZ. Тогда получим четверть круга, ограниченного окружностью (рис.1.20), уравнение которой получим, исключая у, из двух уравнений:
Рис.
1.20
Уравнение этой окружности: х2+z2=2 ; у = 0.
Так как мы проектировали поверхность на плоскость XOZ,то ее уравнение должно быть решено относительно переменной у и следует воспользоваться формулой (1.28).
Из условия задачи у = х2+z2; .
Получим формулу:
, где область интегрирования
четверть круга радиуса .
Наличие под корнем выражения х2 + z2 указывает на то, что целесообразно ввести полярные координаты, учитывая, сто в этих координатах х2 + z2 = r2. Полярный угол изменяется в пределах от 0 до , а полярный радиус от 0 до . Получим:
Ответ:
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.19. Найти площадь поверхности, вырезанную цилиндром x2+у2=1, из сферы x2+у2+z2=4.
Рис.
1.21
Уравнение сферы решить относительно переменной z. Получится . Воспользуемся формулой (1.26). После перехода к полярным координатам получим:
Ответ:
Задача 1.20. Найти площадь поверхности, ограниченной конусом z2= x2 + у2 и плоскостью z = 2.
Рис.
1.22
Указание. Спроектировать поверхность на плоскость XOУ. Проекцией является круг, ограниченный окружностью
x2 + у2 = 4 (рис. 1.22). Уравнение поверхности решить относительно переменной z получим Воспользоваться формулой (1.26). Перейти к полярным координатам.
Ответ:
Задача 1.21. Вычислить площадь поверхности шара радиуса а
Ответ: S = 4а2 кв. ед.