Вектора / 5. Смешаное произведение векторов
.doc
Часть 5
38. Векторно-скалярное произведение трех векторов , и или смешаное их произведение , где заданы координаты этих векторов (ах; ау; аz) , (bx; by; bz) и (cx; cy; cz), вычисляется по формуле:
39. Абсолютная величина векторно-скалярного произведения (смешаного произведения) равна объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах , и .
Результат вычисления определителя надо взять со знаком плюс, (тройка векторов правая), и со знаком минус (тройка левая), объем параллелепипеда величина положительная.
40. Объем пирамиды, построенной на векторах , и , получим по формуле
причем знак перед определителем должен быть выбран так, чтобы объем V был положительным (предполагается, что векторы , и не лежат в одной плоскости).
41. Три вектора , и называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной и той же плоскости.
42. Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю.
= 0
43. Основные задачи, связанные с векторным и смешанным произведением векторов.
1. Определение площади треугольника АВС
2. Определение объема тетраэдра:
3. Определение высоты тетраэдра:
44. Свойства смешанного произведения векторов.
1. Свойства круговой переместительности
2. .
3. .
4. .
Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.