Вектора / 3. Векторная алгебра Скалярное произведение векторов
.docВекторная алгебра Часть 3
Скалярное произведение векторов.
24. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.
Скалярное произведение векторов и обозначается символом . Если обозначить угол между векторами и через , для скалярного произведения будем иметь
=
25. Пусть даны векторы и в пространстве с координатами
Скалярное произведение векторов в пространстве и в координатной форме равно сумме произведений их соответствующих координат
26. Угол φ между векторами и определяется по формуле:
В знаменателе дроби стоит произведение длин векторов и , а в числителе дроби - скалярное произведение этих векторов.
27. Скалярное произведение векторов на плоскости
(х1; у1) и (х2; у2) в координатной форме равно сумме произведений их соответствующих координат
28. Из формулы = можно выразить скалярное произведение двух векторов и иначе - это произведение модуля одного из них на проекцию второго на направление первого вектора (см. рисунок):
откуда .
29. Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю, так как в этом случае .
30. Скалярное произведение имеет свойства, аналогичные свойствам произведений чисел:
Свойства:
(переместительное свойство);
(α ) = α( ) (сочетательное свойство относительно числового множителя α);
( + ) = + (распределительное свойство относительно суммы векторов);
> 0, если - ненулевой вектор, и = 0, если - нулевой вектор.
Скалярный квадрат вектора .
Необходимым и достаточным условием ортогональности двух ненулевых векторов является равенство нулю их скалярного произведения.
Достаточность:
Пусть вектора и ортогональны, φ - угол между ними равен 90 градусов. Тогда cos φ = 0 и в силу определения скалярное произведение равно 0.
Необходимость:
Так как и ненулевые вектора, то тогда из равенства = 0 и из определения следует, что cos φ = 0, т. е. векторы и ортогональны, т.к. угол между векторами должен в этом случае равняться 900.
31. Если векторы и заданы проекциями на координатные оси
, то их скалярное произведение вычисляется по формуле
а косинус угла между этими векторами определяется по формуле
Если векторы и перпендикулярны (ортогональны), то их скалярное произведение равно нулю, и тогда
axbx + ayby + azbz = 0
или
32. Если углы, образуемые вектором с координатными осями, обозначить через , а углы, образуемые вектором с координатными осями, - через , то косинус угла между векторами и определяется по формуле
Задача 1. Даны два вектора и . Найти скалярное произведение этих векторов.
Решение: (2; 3; -4) и (-3; 2; 5), = 2*(-3) + 3* 2 — 4*5= -20
Задача 2. При каких значениях α и β вектор перпендикулярен вектору , если ?
Решение. Так как , то по формуле длины (модуля) вектора =3;
( ) 2 = 3 2, Находим β 2 =9 -4 -1 откуда β = ±2.
Векторы и перпендикулярны, тогда, когда ,
при и произведение должно быть равным нулю
3·2 + (-1)·β +α·1 = 0; откуда α= β - 6.
1) при β = 2, имеем α = 2 - 6 = -4;
2) при β = -2, имеем α = -2 - 6 = -8.
Ответ: 1) (3; -1; -4) и (2; 2; 1) взаимно перпендикулярны.
Проверка: = 3*2 -1*2 -4*1 =0
2) (3; -1; -8) и (2; -2; 1) взаимно перпендикулярны.
Проверка 3*2- 1*(-2) - 8*1 =0
Задача 3. Коммерческий банк, участвующий в строительстве
многоэтажных автомобильных стоянок в Калининграде, предпринял
усилия для получения кредитов в трех коммерческий банках: «ВТБ»,
«Альфа-банк», «Сбербанк». Каждый из них предоставил кредиты
в размерах соответственно 20, 30 и 40 млрд. руб. под годовую ставку
40, 25 и 30 %.
Решение. В данном примере речь идет о двух векторах:
трехмерном векторе кредитов (20; 30; 40)
и векторе процентных ставок (40; 25; 30).
Используя простой расчет, управляющий коммерческим банком
может определить, сколько придется платить по истечении года на
кредиты, взятые у трех банков, применяя скалярное произведение.
В конце года банку ВТБ придется вернуть 20 млрд. руб и еще и 40% от этой суммы (20 + 20* 0,4 =20(1 + 0,4) = 20 *1,4= 28).
Аналогично и другим банкам.
Вектор заменяем на вектор (1,40; 1, 25; 1,30).
Выплатить по кредиту надо:
=20 *1, 40 + 30 *1,25 + 40 *1,30 = 28 +37,5 + 52 =117, 5 млрд. р