Иродов И.Е. Общая физика (5 т.) / Иродов. т2 Физика макросистем Основные законы. 2015, 208с

Из соображения равноправия осей vx, vy и vz ясно, что функции − должны одинаковым образом зависеть от соответствующих проекций скоростей. Сопоставив (2.14) с (2.12), находим

Опуская дальнейшие преобразования (с учетом условия нормировки), приведем окончательные результаты:

аналогичный вид имеют функции −(vy) и −(vz). И тогда согласно (2.15)

того, что проекция скорости молекулы лежит в интерва-

Функция (2.16) нормирована на единицу, т. е. площадь под кривой −(vx)

Интегрирование в пределах от – до + не означает, что в газе есть молекулы с такими большими скоростями. Это следует рассматривать только как вычислительный прием. Молекул с весьма большими скоростями очень мало, и они практически не вносят никакого вклада в нормировочный интеграл. Это и позволяет записывать такие пределы.

На рис. 2.6 пунктиром представлена «конструкция» (сомножители) функции F(v), один из сомножителей которой f(v). Заметим, что в отличие от F(v) площадь под кривой f(v) физического смысла не имеет.

Следует отметить, что полученные Максвеллом распределения по скоростям не зависят ни от структуры молекул, ни от того, как они взаимодействуют друг с другом. Поэтому они применимы не только к газам, но и к другим агрегатным состояниям вещества.

Характерные скорости. К ним относятся три скорости: наиболее вероятная vвер, средняя pvq и среднеквадратичная vкв.

Наиболее вероятной скорости соответствует максимум функции распределения F(v). Эта скорость определяется из условия dF/dv 0, откуда следует

Средняя скорость по определению*

Среднеквадратичная скорость vкв v 2 ; она находится из условия*

v 2 v 2 F(v) dv 3 kT,

m

0

откуда следует, что

Этот результат можно получить и без интегрирования, а как следствие формулы (1.31).

* При вычислениях использовались табличные значения интегралов:

В качестве примера приведем среднюю скорость молекул азота N2 при Т 300 К: pvq % 480 м/с. Эта величина имеет порядок скорости звука в азоте, vзв kT/m 350 м/с.

Приведенные характерные скорости отличаются друг от друга в пропорции

vвер : pvq : vкв = 1 : 1,13 : 1,22.

Качественно это показано на рис. 2.6.

Зависимость распределения от Т. Подставив значение vвер

из (2.22) в формулу (2.20), получим, что

В соответствии с этим результатом для разных температур Т1 < Т2 < Т3 кривые распределения F(v) будут иметь вид, показанный на рис. 2.7. Видно, что с увеличением T максимум функции F(v) смещается в сторону больших скоростей, а его величина уменьшается согласно (2.25). При этом площадь под всеми тремя кривыми остается равной единице. Кривые на рис. 2.7 можно рассматривать и иначе — как соответствующие разным массам молекул газа при одной и той же температуре, причем m1 > m2 > m3.

Рис. 2.7

Формула Максвелла в приведенном виде

Решение ряда задач удобнее проводить, если выражать скорости v молекул в относительных единицах — единицах наиболее вероятной скорости vвер. Тогда относительная скорость молекулы

При переходе к распределению по другой переменной (здесь от v к u) будем исходить из вероятности dP пребывания молекулы в интервале скоростей (v, v dv), которая равна dPF(v)dv. Значение этой вероятности не изменится, если правую часть равенства разделить и умножить на du. Тогда можно записать

dP F(v) dv du F(u)du.

du

Таким образом, мы переходим от интервала (v, v dv) к соответствующему ему интервалу (u, u du).

Согласно (2.26) v uvвер и dv/du vвер. После подстановки этих формул в выражение для dP получим

В таком виде распределение Максвелла является универсальным: оно не зависит ни от температуры, ни от рода газа.

Пример. Найдем относительное число молекул dN/N со скоростями,

отличающимися от наиболее вероятной не более, чем на ) 1%.

В данном случае u 1, и мы можем согласно (2.27) записать

где du 2), поскольку на ) % отклонения могут быть как в одну, так и в другую сторону.

Распределение по энергиям молекул

Имеется в виду функция распределения молекул по их кинетическим энергиям поступательного движения. Для нахождения этой функции — обозначим ее . ( ) — мы, как обычно, будем исходить из того, что вероятность dP пребывания молекулы в интервале скоростей (v, v dv) равна dP F(v)dv. Разделив и умножив правую часть этого равенства на d , получим

58 Глава 2

щее молекулы по скоростям, и детектор D для регистрации молекул после сортировки.

Устройство С представляет собой два вращающихся диска (на одной оси) со щелями вдоль радиусов. Если щели повернуты на угол − относительно друг друга, то при угловой скорости диски повернутся на угол − в течение промежутка времениt −/ . Поэтому через обе щели, расстояние между которыми

l, пройдут молекулы со скоростью v l/ t l /−.

Меняя угловую скорость или угол − между радиальными щелями, можно выделить из пучка молекулы разных скоростей. Улавливая детектором эти молекулы в течение одинакового времени, можно найти их относительное количество в пучке.

Вдругом опыте левая часть установки (V, K на рис. 2.9, а), формирующая параллельный пучок молекул, остается той же. Но селектор С и детектор D совмещены во вращающемся цилиндре со щелью S (см. рис. 2.9, б). Когда щель S попадает в падающий пучок C, через нее в цилиндр входит порция молекул. Молекулы с разными скоростями достигают противоположной стенки цилиндра с различным запаздыванием по отношению

кмоменту прохождения щели S пучком Р и поэтому попадают на различные участки D противоположной стенки цилиндра. Измерив степень почернения различных участков D, можно определить распределение молекул в пучке по скоростям.

Разумеется, все эти опыты проводились в условиях высокого вакуума и, кроме того, с учетом различия распределения молекул по скоростям v в пучке и в объеме V.

Результаты этих и других опытов оказались в полном согласии с законом распределения, установленным Максвеллом.

§2.4. Распределение Больцмана

Вотсутствие внешних сил средняя концентрация n молекул газа в состянии термодинамического равновесия всюду одинакова. Если же газ находится во внешнем силовом поле, ситуация становится иной.

Рассмотрим, например, поведение молекул газа, находящегося под действием силы тяжести. Если бы не было теплового движения, то все молекулы «упали» бы на поверхность Земли. Наличие же теплового движения мешает этому. В результате

Этот закон и выражает распределение Больцмана.

С помощью (2.36) можно найти число молекул в интересующем нас элементарном объеме dV:

При этом следует иметь в виду. что объем dV может иметь, вообще говоря, не любую форму. Обязательным является выполнение условия: во всех точках объема dV концентрация n должна быть одинаковой.

Перед тем, как обсудить полученный закон (2.36) и выяснить его возможности, напомним, что приведенный вывод формулы (2.36) является чисто гидростатическим: в нем мы по сути рассматривали газ как сплошную среду, отвлекаясь от его молекулярной структуры. Это допустимо лишь для достаточно плотных газов при наличии большого числа столкновений. Необходимо, чтобы средний свободный пробег молекул между последовательными столкновениями был мал по сравнению с толщиной dz слоя. Только в этом случае имеет смысл говорить о давлении, которое действует на слой dz со стороны соседних слоев. И тем не менее приведенный вывод привел к верному результату*.

Пример. Узкую трубку длины l, один торец которой запаян, вращают с постоянной угловой скоростью в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси OO, проходящей через открытый конец трубки (рис. 2.11). Это происходит в газе, состоящем из молекул массы m, при температуре Т. Концентрация

*Существует и молекулярно-кинетический вывод закона распределения Больцмана, свободный от недостатков, присущих приведенному выводу, но мы не будем его приводить, поскольку он значительно сложнее.