Иродов И.Е. Общая физика (5 т.) / Иродов. т2 Физика макросистем Основные законы. 2015, 208с

1)его направление точно совпадает с направлением вынуждающего излучения;

2)это же относится к частоте, фазе и поляризации, т. е. индуцированное излучение когерентно с вынуждающим, причем

ввысокой степени.

Все это означает, что вынуждающее излучение, проходя через среду, будет не только поглощаться, но и пополняться за счет индуцированного излучения. При прохождении слоя среды толщиной dx убыль интенсивности пучка с частотой определяется как

где первое слагаемое соответствует поглощению, второе — индуцированному излучению, N1 и N2 — концентрации атомов на уровнях 1 и 2, а их произведения с dx — это число таких атомов на единицу площади поверхности слоя. Каждый из этих атомов или поглощает в единицу времени энергию P12h , или вносит в пучок энергию Р21h .

Поскольку пучок параллельный, u I /c, и мы можем переписать выражение (6.4) с учетом (6.1) так:

Интегрируя, получаем

где коэффициент

Вынеся N1B12 за скобку и учтя, что В12 В21, приходим к выводу, что

N

2

N

1

Вобычных условиях N2 < N1 и даже с учетом индуцированного излучения k > 0, т. е. имеет место ослабление пучка. (6.8)1 .

ние с энергией E2. Время жизни атомов Cr на уровне E2 меньше 10–7 с. При этом атомы Cr переходят не в основное состояние E1 (вероятность такого перехода весьма мала), а в состояние с энергией E3. Такой переход происходит без испускания фотонов, а избыток энергии передается непосредственно от атома Сr кристаллической решетке — на возбуждение ее колебаний.

Уровень E3 является метастабильным (это существенно). Время жизни атомов Cr в этом состоянии сравнительно большое — порядка 10–3 с. В течение этого времени среда пребывает в активном состоянии*. Так образуется инверсия заселенностей уровней E3 и E1. Теперь достаточно, чтобы в результате спонтанного перехода E3 E1 появился фотон, имеющий направление вдоль оси рубинового цилиндра, и индуцированное излучение приведет к лавинообразному размножению фотонов.

Обратная связь. Генератор не будет действовать без обратной связи, которая заключается в том, что часть усиленного излучения остается в активной среде и подвергается повторному когерентному усилению. В лазерах для этого используют оптические резонаторы — системы из двух зеркал (рис. 6.3). Индуцированное излучение за счет отражений многократно проходит активную среду. Одно из зеркал (З2) делают слабо пропускающим для выво-

Лазер начнет генерировать, если усиление излучения при одном проходе между зеркалами (туда и обратно) будет превосходить потери энергии из-за излучения, вышедшего за один проход через зеркало З2. Это усиление не может быть меньше некоторого значения, называемого пороговым. Последнее в значительной степени зависит от степени пропускания зеркала З2: чем она больше, тем больше должно быть и пороговое усиление активной среды.

*Поскольку такая среда является заведомо неравновесной, распределение Больцмана (2.21) к ней не применимо. Но формально его можно применять и в этом случае, если ввести понятие отрицательной температуры, T < 0, что зачастую и делают. Это позволяет кратко и удобно характеризовать состояние инверсной среды.

свойствами, которых нет ни у одного нелазерного источника. Оно отличается высокой степенью монохроматичности, направленности и когерентности. Так, в лучших газовых гелий-неоно- вых лазерах расходимость пучка лучей достигает теоретического предела / 0/D 20 угл. сек. Относительная ширина спектральной линии в излучении таких лазеров / / 10–11 10–12. Кроме того, лазеры позволяют создавать излучения, интенсивности которых достигают огромных значений. Они соответствуют эффективной температуре, превышающей температуру Солнца в 1011 – 1012 раз!

В отличие от рубинового лазера, газовые лазеры могут работать не только в импульсном, но и в непрерывном режиме.

К настоящему времени разработано большое количество разнообразных лазеров, и трудно назвать области, где бы они не использовались. Но это требует особого разговора, выходящего за рамки нашей задачи — продемонстрировать идею создания резко неравновесных систем и возможности их использования.

§ 6.2. Явления переноса

Выведенная из состояния равновесия, любая макросистема стремится вернуться в равновесное состояние. При этом растет энтропия, значит этот процесс необратим. Нарушение равновесия сопровождается возникновением потоков или частиц, или тепла, или электрического заряда и др. Соответствующие процессы называют явлениями переноса. Все они являются необратимыми.

Предметом нашего внимания будут три явления переноса: диффузия, внутреннее трение и теплопроводность (причем в условиях, когда отклонения от равновесия малы). Наша программа будет состоять из двух частей. Сначала мы приведем эмпирические уравнения этих процессов — они применимы к любым средам (газообразным, жидким и твердым). Затем получим молекулярно-кинетический вывод данных уравнений для газов, который позволит нам раскрыть содержание коэффициентов, характеризующих соответствующие явления.

В дальнейшем придется использовать понятие потока той или иной физической величины через интересующую нас по-

дой компоненты стремится выравняться, возникают потоки массы обеих компонент, направленные в сторону уменьшения их плотностей. Экспериментально было установлено выражение для плотности потока массы i-й компоненты:

где D — коэффициент диффузии. Знак минус обусловлен тем, что поток i-й компоненты противоположен производной / x

— ее называют градиентом плотности (см. рис. 6.4). Внутреннее трение. Из механики известно, что сила трения

между двумя слоями жидкости или газа, отнесенная к единице площади поверхности раздела слоев, равна

где ) — коэффициент вязкости (вязкость), производная

u/ x — градиент скорости — характеризует степень изменения скорости жидкости или газа в направлении оси X, перпендикулярном направлению движения слоев.

Согласно 2-му закону Ньютона взаимодействие двух слоев с силой f можно рассматривать как процесс передачи в единицу времени импульса. Тогда (6.10) можно представить как

ном случае быстрее), правая f — сила, с которой действуют слои слева от S. Эти силы взаимно противоположны и одинаковы по модулю. Вопрос, куда действует сила в плоскости S, не имеет смысла, пока не указано, со стороны каких слоев на какие.

Теплопроводность. Опыт показывает, что если в среде создать вдоль оси градиент температуры T/ x, то возникает поток тепла, плотность которого

где k — коэффициент теплопроводности (теплопроводность). Знак минус стоит по той же причине: плотность потока противоположна по направлению градиенту T/ x (рис. 6.6).

Рис. 6.6

Пример. Один конец стержня, заключенного в теплоизолированную оболочку, поддерживается при температуре T1, а другой конец при Т2. Сам стержень состоит из двух частей, длины которых l1 и l2 и теплопроводности k1 и k2. Найдем температуру Т поверхности соприкосновения этих частей стержня.

Ясно, что поток тепла в данном случае должен быть одинаков в любом сечении стержня. Отсюда следует, что

Поскольку стержень предполагается цилиндрическим, то температура в каждой его части меняется линейно с координатой х, и вместо производной в (1) можно записать отношение разности температур на концах каждой части стержня к ее длине. Тогда (1) примет вид

178 Глава 6

Эта запись сделана в предположении, что Т1 < Т < Т2 (можно было предположить и наоборот, это не существенно). Из (2) следует, что

T k1T1 /l1 k 2T2 /l2 . k1 /l1 k 2 /l2

В заключение отметим еще раз:

1)потоки всех величин являются алгебраическими. Их знак зависит от направления оси X. Достаточно обратить положительное направление этой оси на противоположное, и знак потока изменится;

2)во всех трех явлениях переноса направления плотностей потоков противоположны градиентам соответствующих вели-

чин. Это означает, что потоки всегда направлены в сторону уменьшения величин , u, Т, т. е. против их градиентов. Таким

образом, для потоков существенны градиенты величин, имеющих тенденцию выравниваться.

Теперь перейдем к решению второй части нашей программы — обоснованию эмпирических законов переноса с молеку- лярно-кинетической точки зрения, причем только для газов.

Предварительные понятия

1. Эффективный диаметр молекулы. Так называют рассто-

2. Средняя длина свободного пробега. За секунду молекула проходит в среднем путь, равный ее средней скорости pvq. Если при этом она претерпевает в среднем столкновений, то сред-

Чтобы определить , проследим за поведением некоторой движущейся молекулы, используя рис. 6.7. Пусть это будет левая молекула, и движется она перпендикулярно плоскости рисунка. Нетрудно сообразить, что она испытает за единицу времени столько столкновений, сколько встретится на ее пути молекул, центры которых окажутся в пределах объема цилиндра радиуса d. Ясно, конечно, что при каждом столкновении цилиндр будет испытывать «излом». Таким образом, это будет «ломаный» цилиндр, объем которого V практически равен произведению среднего пути молекулы за одну секунду, т. е. pvq, на площадь поперечного сечения цилиндра = d2. Заметим, что так можно поступить, если среднее расстояние между «изломами» значительно больше диаметра молекулы d, т. е. при условии 0 J d, что мы и предполагаем. Это позволяет пренебречь частями объема цилиндра, приходящимися на его изломы.

Если все это так, то среднее число столкновений молекулы ежесекундно равно произведению объема V, равного pvq=, на концентрацию n молекул:

и средняя длина свободного пробега (6.14) равна

Более строгое рассмотрение вопроса о числе столкновений приводит к необходимости замены средней скорости pvq на среднюю относительную скорость pvотнq сталкивающихся молекул, которая, как показывает расчет, в 2 больше, чем pvq. Тогда уточненные формулы (6.15) и (6.16) будут иметь вид

Эти величины отличаются от приближенных формул (6.15) и (6.16) числовым коэффициентом, близким к единице.

В дальнейшем мы собираемся проводить оценочные расчеты, поэтому множителем 2 будем пренебрегать как не существенным.

Пример. Оценим для азота N2 при нормальных условиях значение 0, среднее расстояние l между молекулами и число столкновений молекулы в секунду.

Сначала найдем концентрацию молекул в этих условиях:

где VM — молярный объем газа. Примем эффективный диаметр молекулы азота равным 2 10–8 см. Тогда согласно (6.16)

Сравним эту величину со средним расстоянием между молекулами. Из условия plq3 1/n, получим

plq 1/ 3n 1/ 32,7 1019 3,3 10 7 см,

т. е. 0 превышает plq на два порядка. Число столкновений ежесекундно согласно (6.15) равно

pvq d 2n % 4,8 104 (2 10 8 )2 2,7 1019 1,6 109 с 1 ,

где pvq 480 м/с (см. стр. 54). Таким образом, число столкновений составляет порядка миллиарда в секунду!

§ 6.3. Молекулярно-кинетическая интерпретация явлений переноса

В этом параграфе мы рассмотрим явления переноса в газах с молекулярно-кинетической точки зрения. Соответствующие расчеты будут иметь оценочный характер. Еще раз напомним (об этом уже говорилось ранее), что оценочный подход — это то, с чего обычно начинается создание теории. Главное достоинство такого подхода состоит в простоте и акценте на физической стороне явления, не заслоненной громоздкими вычислениями и преобразованиями. Разумеется, оценочный подход ни в коей мере не может претендовать на получение точных резу-