![](/user_photo/65771_5zYT_.jpg)
Лекции / tfkp6
.docx
В
ряд Тейлора функция раскладывается в
круге - то есть в односвязной области
без особых точек, а в ряд Лорана - в
кольце, то есть если в круге есть одна
особая точка, то ее можно вырезать и
разложить в ряд.
С
начала
нужно найти особые точки функции, для
наглядности сделать чертеж;
Область
интегрирования - круг с выколотым центром
(центр в точке i, радиус 2).
Область открытая - граница не принадлежит поэтому особые точки в область не попадают; значит в данной области функция аналитическая и ее можно разложить в ряд Лорана.
К
оэффициенты
разложения вычисляются по формуле:
Требуется разложить в ряд в кольце:
Значит
по степеням z-i, а в общем виде по степеням
z-a. Вывод: a=i; f - это просто функция, которую
надо разложить в ряд, подставляем в
формулу для cn.
Интегрирование происходит по любой окружности С, целиком лежащей в кольце.
Можно
заметить, что если n + 4 ≤ 0, то подынтегральная
функция аналитическая; особенность
только в точке i, и она поднимется в
числитель – исчезнет, значит
Так как интеграл от аналитической функции равен 0, теперь надо разобраться что будет, когда n = -3,-2,-1,0,1,...
В этом случае особенность будет в знаменателе и надо использовать следствие из интегральной формулы Коши.
Оставляем
особенность в знаменателе, все поднимаем
в числитель и применяем формулу, далее
надо вывести формулу для производной.
Просто
дифференцируем, пока не поймем, чему
равна n-я производная и подставляем в
коэффициенты:
И теперь коэффициенты в ряд:
Это
и есть ряд Лорана в данном кольце, иногда
требуется выделить главную и правильную
части ряда:
Р
аз
точка 2 совпадает с центром - ее выкалываем
и через ближайшую особую проводим
окружность.
Теперь
функцию надо разложить на простые дроби:
Первая дробь:
У
же
по степеням z – 2, с ней ничего делать не
надо; необходимо разложить вторую,
сначала организуем в ней z – 2:
Теперь используем известное разложение:
То есть в области |w|<1 можно в ряд разложить сравниваем и видим, что w =
Значит, если |(z-2) / 5| < 1 или |z-2| < 5, то можно воспользоваться формулой в нашей окрестности это условие как раз выполнено.
Дробь разложили, осталось в функцию подставить
Выписываем ВСЕ кольца, в которых функцию можно разложить в ряд Лорана (берется максимально возможный радиус).
Т
о
есть функцию надо разложить в ряд в трех
областях, в каждой будет свое разложение;
сначала функцию надо разложить на
простые дроби.
Теперь
будем раскладывать дроби в ряд в каждой
области, используя известные разложения:
О
бласть
сходимости каждого:
Рассмотрим
первую дробь, сначала выделяем нужную
разность z-2i.
Если
То
можно воспользоваться формулой, в
области 1) это условие выполнено.
Нужно
сгруппировать коэффициенты при одинаковых
степенях:
В данном случае разложение содержит только правильную часть, это ожидаемо - в круге функция раскладывается в ряд Тейлора.
Т
о
есть и в этом кольце можно использовать,
полученное разложение:
А вот для первой дроби нельзя (там <1), а у нас больше → запишем так:
Д
олжно
выполняться условие:
Или
З
начит
можно воспользоваться готовой формулой:
Теперь
складываем дроби:
О
твет: