![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •§ 18. Понятие, предел и непрерывность функции нескольких переменных
- •§ 19. Частные производные и дифференциал функции нескольких переменных
- •§ 20. Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
- •§ 21. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •§ 22. Производная по заданному направлению. Градиент
- •§ 23. Неявные функции, их дифференцирование
§ 22. Производная по заданному направлению. Градиент
Из определения частных производных и
из механического смысла 1-й производной
следует, что
и
характеризуют скорость изменения
функции
в
положительном направлении осейОх
иОу соответственно. Но в ряде
приложений математического анализа
приходится рассматривать вопрос о
быстроте изменения функции
при смещении точки
в произвольном направлении. Решение
этого вопроса приводит к понятию
производной функции по заданному
направлению.
у
l
у M
О
Пусть в некоторой области D
задана функция двух переменных
х х
.
Возьмем вD точку
и проведем через нее прямуюl.
Придадим ей определенное направление.
Пусть
– точка прямойl,
лежащая вD и
такая, что отрезок
принадлежитD. Разность
назовем приращением функции
по данному направлениюl
и обозначим ее через
,
т.е.
.
Составим
отношение
,
взяв длину отрезка
со знаком плюс, если направление этого
отрезка совпадает с прямойl,
и со знаком минус в противном случае.
Это отношение называют средней скоростью
изменения функции
при переходе из точки
в точкуМ по направлениюl.
Если существует
,
то он называется производной в точке
от функции
по направлениюlи
обозначается
или
.
Эту производную естественно рассматривать
как скорость изменения функции
в данной точке
по направлению прямойl.
При этом
определяет величину скорости, а знак
производной – возрастание (при
и убывание (при
функции
в направленииl.
Если прямая l
совпадает сОх илиОу, то
получаем частные производныеи
соответственно, т.е. производная по
направлению является обобщением частных
производных.
Установим достаточные условия существования производной по направлению и формулу для ее вычисления.
Теорема. Если функциядифференцируема в точке
областиD, то она имеет
в этой точке производную по любому
направлениюl, причем
,
(22.1)
где
и
– углы, образованные направлением
прямойl соответственно
с положительными направлениями осейОх иОу.
Доказательство. В силу дифференцируемости
функциив точке
приращение
можно записать в виде
,
где
при
.
Отсюда
см. рисунок.
Поскольку
и
постоянны, а
(так как
и
),
имеем
,
т.е. производная
существует и
.
Теорема доказана.
В случае функции большего числа переменных
производная по направлению определяется
и вычисляется аналогично. Например, для
функции
,
где
–
направляющие косинусы прямойl.
Для изучения вопроса о направлении
быстрейшего возрастания функции
введем в рассмотрение вектор с координатами
и
.
Этот вектор называетсяградиентом
функции
в точке
и обозначается
,
а в произвольной точке
или
.
Таким образом,
,
где производные
и
вычислены в соответствующей точке.
Предположим, что функция
дифференцируема в некоторой области.
Тогда в любой точке
этой области существует производная
по любому направлениюl,
определяемая по формуле (22.1). Выразим
эту производную через градиент данной
функции. Рассмотрим единичный вектор
,
имеющий то же направление, что и прямаяl. Ясно, что проекции
наОх иОу равны
и
,
т.е.
l
.
Тогда очевидно, что
– скалярное произведение, или
,
так как
,
где
– угол между векторами
и
.
Таким образом, производная по направлению
равна проекции градиента на это
направление.
Из последней формулы видим, что производная
по направлению
в точке
имеет наибольшее значение, и притом
положительное, при
,
т.е. когда производная функции в точке
берется по направлению, определяемому
градиентом этой функции в точке
.
При этом
.
Таким образом, модуль градиента
дифференцируемой функции равен
наибольшему значению
,
т.е. наибольшей скорости изменения
функцииz в данной
точке, а направление градиента данной
функции в рассматриваемой точке совпадает
с тем, для которого это наибольшее
значение
достигается. Ясно, что направление,
противоположное градиенту, является
направлением наиболее быстрого убывания
функции.
Пример 1. Найдем производную функциив точке М(1;2) в направлении, идущем от
этой точки к точкеN(4;6).
Решение. Имеем,
т.е.
,
частные производные функции
поэтому
.
Ответ:
.
Пример 2. Найдемв точкеМ(1;2;3), если
.
Решение. Имеем.