![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •§ 18. Понятие, предел и непрерывность функции нескольких переменных
- •§ 19. Частные производные и дифференциал функции нескольких переменных
- •§ 20. Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
- •§ 21. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •§ 22. Производная по заданному направлению. Градиент
- •§ 23. Неявные функции, их дифференцирование
§ 19. Частные производные и дифференциал функции нескольких переменных
Рассмотрим функцию двух переменных
,
определенную в некоторой области
.
Возьмем в области
произвольную точку
,
придадим аргументух приращение
,
а аргументу оставим без изменения,
т.е. перейдем от точки
к точке
,
тоже принадлежащей области
.Тогда
функция получитчастное приращение
,
соответствующее приращению
только одного аргументах:
=
.
Составим отношение
.
Если существует конечный предел этого
отношения при
,
то он называетсячастной производной
функции
по
независимой переменнойхв точке
и обозначается
или
.
Иными словами,
=
=
=
.
Аналогично определяются частная
производная функции
по
независимой переменнойув точке
:
=
=
=
и частные производные функции любого
числа переменных. Например, для функции
=
=
=
.
Из определения частной производной
следует и правило для нахождения частных
производных. Например, чтобы найти
частную производную функции
пох в точке
,
нужно считать аргументу постоянным
и дифференцировать
как функцию одной переменнойх.
Затем в полученное выражение вместох
иу подставить
и
.
Пример 1. Найдем частные производныеи
функции
в точке
.
Решение. Имеем
=
,
;
=
,
.
Подсчитаем теперь изменение функции
при переходе от точки
к точке
области определения функции. Разность
значений функции в точках
иМ называетсяполным приращением
функции
при переходе из точкиМ в точку
,
обозначается
или
,
т.е.
=
=
–
.
При переходе из точкиМ в точку
аргументы тоже получают приращения
и
.
Тогда
можно записать в виде
.
Геометрически полное приращение функции
означает приращение аппликатыz
при переходе из точкиМ в точку
.
При определении дифференциала функции
одной переменной важную роль играла
форма записи приращения функции
.
Если
,
где
при
,
то функцию
называли дифференцируемой, а первое
слагаемое в выражении для
–
дифференциалом функции
.
Аналогичная ситуация имеет место и в
случае функции нескольких переменных.
Определение 1. Функцияназываетсядифференцируемой в
точке
,
если ее полное приращение в этой точке
можно представить в виде
,
(19.1)
где А иВ не зависят от приращенийи
,
а
и
– некоторые функции от
и
,
стремящиеся к нулю при
и
.
Выражение
называетсяполным дифференциаломфункции
и обозначается
или
,
а его слагаемые
и
называютсячастными дифференциалами
функции
похи поу соответственно и
обозначаются
и
.
Таким образом,
=
,
=
,
=
,
гдеА иВ не зависят от
и
.
Теорема 1. Если функциядифференцируема в точке
,
то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. В силу дифференцируемости
функции в точкеможно записать
.
Отсюда следует, что
при
и
,
т.е.
.
Следовательно,
или
,
что и означает непрерывность функции
в точке
.
Теорема доказана.
Теорема 2 (необходимое условие
дифференцируемости функции). Если
функциядифференцируема в точке
,
то она в этой точке имеет частные
производные
и
.
Доказательство. Поскольку функциядифференцируема, имеем представление
.
Пусть
,
.
Тогда
.
Аналогично, если
,
,
то
.
Так какА иВ конечны, то
и
тоже конечны, следовательно, существуют.
Теорема доказана.
Поскольку полный дифференциал
=
,
подставляя
и
,
получим выражение дифференциала через
частные производные:
=
.
Отсюда при
и
находим
и
,
поэтому
=
.
Аналогичное выражение имеет место и
для функции любого числа переменных,
т.е. если
,
то
.
В случае функции одной переменной существования производной было достаточно для дифференцируемости функции. Для функции нескольких переменных ситуация другая: существования частных производных не достаточно для ее дифференцируемости. Имеет место
Теорема 3. Если существуют частные
производные функции,
непрерывные в точке
,
то в этой точке функция дифференцируема.
Доказательство. Поскольку, по
условию, частные производные непрерывны
в точке,
они существуют в некоторой окрестности
этой точки. Рассмотрим приращение данной
функции при переходе из точки
в точку
,
которая принадлежит указанной окрестности:
.
В первой квадратной скобке получилось
приращение функции при переходе из
точки
в точку
,
при этом изменилась только одна переменнаях. Поэтому по формуле Лагранжа можно
записать:
.
Аналогично, для второй квадратной скобки имеем:
.
Тогда полное приращение
.
В силу непрерывности частных производных
в точке
имеем:
,
.
Следовательно,
при
и
,
при
и
.
Тогда
.
Таким образом, приращение
представлено в виде (19.1), поэтому функция
дифференцируема в точке
.
Теорема доказана.
Выведем теперь формулы для вычисления
производных сложной функции нескольких
переменных. Сначала рассмотрим случай
дифференцируемой функции
,
аргументы которой зависят от одной
переменнойt, т.е.
,
причем функции
и
тоже дифференцируемы. Нужно найти
производную
.
Пусть аргументt
получает приращение
.
Тогдах иу получат соответствующие
приращения
,
,
причем
и
при
в силу непрерывности дифференцируемой
функции. Функция
тоже получит приращение
в силу ее дифференцируемости. Отсюда
,
.
Таким образом,
.
(19.1)
Заметим, что знак
пишется тогда, когда находится частная
производная функции по одной из нескольких
переменных, знакd
– тогда, когда производная находится
по основному аргументу, и этот аргумент
единственный.
Может получиться так, что у функции
переменнаяу зависит отх, т.е.
.
Тогда основным аргументом являетсяхи формула (19.1) принимает вид
.
В случае, когда количество аргументов
у функции z больше
двух, но все они зависят от одного
аргументаt, то
получается формула, аналогичная формуле
(19.1). Например, для функции,
где
имеем
.
(19.2)
Теперь рассмотрим случай, когда основных
аргументов два, а не один. Пусть
.
Здесь уже производные по основным
аргументам будут частными производными
(их два). Положим
и
найдем
,
воспользовавшись формулой (19.1):
.
Аналогично,
.
В случае большего числа переменных формулы получаются аналогично.
Для функции
одной переменной известно, что форма
дифференциала
остается неизменной, если заменить
независимую переменнуюх функцией.
Имеет ли место это свойство для функции
нескольких переменных? Выясним это.
Если
,
гдех иу – независимые
переменные, то, как показано выше,
.
Пусть теперь х иу – функции,.
Поскольку теперь ухеu
иv – независимые
переменные, имеем
.
(предполагаем, что для всех функций выполняются достаточные условия дифференцируемости). По правилу дифференцирования сложной функции
,
,
поэтому
,
т.е. формула для вычисления дифференциала
сохраняется и в случае, когдах иу – функции. Таким образом, форма
дифференциала является инвариантной,
т.е. неизменной и для независимых
переменныхх иу, и для функцийх иу.
Рассмотрим теперь частные производные
и дифференциалы высших порядков. Пусть
.
Для функций большего числа переменных
рассуждения аналогичны.
Частные производные
и
в свою очередь могут оказаться функциями
двух переменных. Если от них снова найти
частные производные, то они называются
частными производными 2-го порядка и
обозначаются
при
этом
и
называютсясмешанными производными.
Например, для функции
.
Аналогично определяются частные
производные 3-го, 4-го и т.д. порядка.
Видим, что в приведенном примере
.
Всегда ли так будет или это случайное
совпадение? Имеет место
Теорема 4 (о равенстве смешанных
производных). Если функция:
1) определена в открытой областиD; 2) в этой области
существуют первые производные
и
,
а также вторые смешанные производные
и
;
3) производные
и
непрерывны в некоторой точке
областиD, то
.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательное выражение
,
(19.3)
где h иk
отличны от нуля и настолько малы, что
вD содержится
весь прямоугольник.
Пусть
– вспомогательная функция, дифференцируемая
на отрезке
в силу 2-го условия теоремы и, следовательно,
непрерывная. Имеем
.
Выражение (19.3) с помощью
записывается следующим образом:
.
(19.4)
С помощью формулы Лагранжа последнее равенство запишется в виде
.
Поскольку
существует, по формуле Лагранжа поу
получаем
.
Рассуждая аналогично, с помощью вспомогательной функции
из (19.3) получим
,
поэтому
=
.
Переходя в последнем равенстве к пределу
при
и
и учитывая, что
и смешанные производные непрерывны,
получим
=
.
Теорема доказана.
Пусть
–
функция двух независимых переменныхх иу, дифференцируемая в областиD. Тогда в этой области
функция имеет полный дифференциал
,
где
.
Зафиксируем
и
.
Тогда дифференциал
является
функцией только переменныхх иу,
определенной в областиD.
Полный дифференциал от дифференциала
называется дифференциалом 2-го порядка
или вторым дифференциалом функции
и
обозначается
или
.
Таким образом, по определению
.
Учитывая, что
и
постоянны, находим
.
Предполагая частные производные второго порядка непрерывными в области D, получим, что смешанные производные равны и
.
Аналогично, если в области Dфункцияимеет непрерывные частные производные
3-го порядка, то дифференциал от
дифференциала
называется ее дифференциалом 3-го порядка
или третьим дифференциалом и вычисляется
по формуле
,
и т.д.
Символически можно записать
,
,
.
Здесь правую часть нужно понимать так: двучлен в скобках возводится формально в соответствующую степень и результат почленно умножается на z, полученные произведения считаются производными соответствующих порядков.
Пример 2. Для функциинайдем
в точке
.
Решение. Найдем частные производные
3-го порядка данной функции, вычислим
их в данной точке и подставим в формулу
для.
Имеем
и
.
В случае большего числа переменных
формулы получаются аналогично. Например,
для функции
.
Если переменные х иу не
являются независимыми переменными, то
(как и в случае функции одной переменной)
форма записи дифференциалов высших
порядков изменяется, т.е. дифференциалы
высших порядков не обладают свойством
инвариантности их формы. Например, для
функции
.
Здесь уже х иу – функции,
поэтомуи
–
функции, и
и
не равны нулю.