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Вуз:

Первый московский государственный медицинский университет им. И.М. Сеченова

Предмет:

Государственная Итоговая Аттестация

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книги / 10 класс. Математика. Диагностическая работа 1. (вар. 0201-0216) 21.05.2013г (с отв)

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Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ 10 ɤɥɚɫɫ ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ0202-0204

(ɛɟɡ ɥɨɝɚɪɢɮɦɨɜ)

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚɤɥɚɫɫ10ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

0202-0204

(ɛɟɡ ɥɨɝɚɪɢɮɦɨɜ)

Ɍɚɧɝɟɧɫ ɭɝɥɚ C ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ ABC

ɪɚɜɟɧ 3 , D — ɨɬɥɢɱɧɚɹ

ɨɬ

A ɬɨɱɤɚ

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɟɧɵ

ɜɫɟ

ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ

ɢ ɩɨɥɭɱɟɧ

Ȼɚɥɥɵ

ɜɨɡɦɨɠɧɵɟ

ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɟ

ɤɨɧɮɢɝɭɪɚɰɢɢ,

ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɹ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɟɣ,

ɩɨɫɬɪɨɟɧɧɵɯ

ɧɚ

ɫɬɨɪɨɧɚɯ AB

ɤɚɤ ɧɚ

ɩɪɚɜɢɥɶɧɵɣ ɨɬɜɟɬ

ɞɢɚɦɟɬɪɚɯ. ɂɡɜɟɫɬɧɨ, ɱɬɨ DB : DC

9 : 16. ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɝɨɥ A.

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɟɧɚ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɚ ɜɨɡɦɨɠɧɚɹ ɤɨɧɮɢɝɭɪɚɰɢɹ,

ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ ɩɨɥɭɱɟɧɨ

Ɋɟɲɟɧ

ɟ.

ɩɨɷɬɨɦɭ ADB

90q.

ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɢɫɤɨɦɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɟɧɚ

ɯɨɬɹ

ɛɵ

ɨɞɧɚ

ɜɨɡɦɨɠɧɚɹ

ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɚɹ

ɤɨɧɮɢɝɭɪɚɰɢɹ,

Ɍɨɱɤɚ D ɥɟɠɢɬ ɧɚ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɫ ɞɢɚɦɟɬɪɨɦ AB,

Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ

ADC

90q. ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɬɨɱɤɚ D ɥɟɠɢɬ ɧɚ ɩɪɹɦɨɣ BC.

ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ

ɩɨɥɭɱɟɧɨ

ɡɧɚɱɟɧɢɟ

ɢɫɤɨɦɨɣ

ɜɟɥɢɱɢɧɵ,

ɧɟɩɪɚɜɢɥɶɧɨɟ

ɢɡ-ɡɚ

ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɨɲɢɛɤɢ

ȼɨɡɦɨɠɧɵ

ɞɜɚ ɫɥɭɱɚɹ:

ɬɨɱɤɚ

ɥɟɠɢɬ

ɥɢɛɨ

ɧɚ

ɨɬɪɟɡɤɟ

BC (ɪɢɫ. 1),

ɥɢɛɨ ɧɚ

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ

ɩɪɨɞɨɥɠɟɧɢɢ ɨɬɪɟɡɤɚ BC ɡɚ ɬɨɱɤɭ B (ɪɢɫ. 2). Ɍɨɱɤɚ D ɧɟ ɦɨɠɟɬ ɥɟɠɚɬɶ ɧɚ ɩɪɨɞɨɥɠɟɧɢɢ

Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ

ɛ ɥɥ

ɨɬɪɟɡɤɚ BC ɡɚ ɬɨɱɤɭ C, ɬɚɤ ɤɚɤ. ɭɝɨɥ ACB ɨɫɬɪɵɣ.

ɇɚɣɞɢɬɟ

ɜɫɟ

ɡɧɚɱɟɧɢɹ

ɩɪɢ

ɤɚɠɞɨɦ

ɢɡ

ɤɨɬɨɪɵɯ

ɫɢɫɬɟɦɚ

y 4a(x y)

2a,

ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ

° x

ɢɦɟɟɬ ɪɨɜɧɨ ɞɜɚ ɪɟɲɟɧɢɹ.

® x2

8a(x

32a2 18a

Ɋɟɲɟɧ

ɟ.

Ɂɚɩɢɲɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦɵ ɜ ɜɢɞɟ

2a)

2a,

° (x 2a) (y

Ɋɢɫ. 1

Ɋɢɫ. 2

® (x 4a)2

4a)2

18a.

ɉɨɥɨɠɢɦ DB t 9 , DC

16t. ɂɡ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɵɯ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜ ADC ɢ ABD ɧɚɯɨɞɢɦ,

ȿɫɥɢ a 0, ɬɨ ɫɢɫɬɟɦɚ ɧɟ ɢɦɟɟɬ ɪɟɲɟɧɢɣ. ɉɭɫɬɶ a

0. ɋɢɫɬɟɦɚ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɜɢɞ

ɱɬɨ

16t

° x

DCtgACB

12t,

144t2 256t2

0 ɫɢɫɬɟɦɚ ɢɦɟɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟ

20t,

ɢ ɟɺ ɪɟɲɟɧɢɟɦ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɚɪɚ (0; 0), ɬɨ ɟɫɬɶ ɩɪɢ a

ɪɟɲɟɧɢɟ.

ȼ ɩɟɪɜɨɦ ɫɥɭɱɚɟ BAC

144t2 81t2

15t.

ɉɪɢ a ! 0

ɝɪɚɮɢɤɨɦ

ɤɚɠɞɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ

ɫɢɫɬɟɦɵ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɶ: ɩɟɪɜɚɹ

90 , ɬɚɤ ɤɚɤ

AB2

AC2

252

BC2.

ɫ ɰɟɧɬɪɨɦ ɜ ɬɨɱɤɟ O1( 2a; 2a) ɢ ɪɚɞɢɭɫɨɦ r1

2a; ɜɬɨɪɚɹ ɫ ɰɟɧɬɪɨɦ ɜ ɬɨɱɤɟ O2(4a; 4a)

ȼɨ ɜɬɨɪɨɦ

ɫɥɭɱɚɟ ɩɨ

ɬɟɨɪɟɦɟ

ɫɢɧɭɫɨɜ

sin A

sin C ;

ɬɚɤ

ɤɚɤ tg C

3, ɬɨ

ɢ ɪɚɞɢɭɫɨɦ r2

2a. Ɂɚɦɟɬɢɦ, ɱɬɨ ɫɢɫɬɟɦɚ ɢɦɟɟɬ ɪɨɜɧɨ ɞɜɚ ɪɟɲɟɧɢɹ ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ

ɬɨɝɞɚ, ɤɨɝɞɚ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɢɦɟɸɬ ɪɨɜɧɨ ɞɜɟ ɨɛɳɢɟ ɬɨɱɤɢ.

ɩɨɷɬɨɦɭ sin A

sin C

ɨɬɤɭɞɚ ɧɚɯɨɞɢɦ, ɱɬɨ sin A

7 .

5 ,

15t

Ɉɬɜɟɬ 90q

ɢɥɢ arcsin 7 .

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ 10 ɤɥɚɫɫ ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ0202-0204

(ɛɟɡ ɥɨɝɚɪɢɮɦɨɜ)

ɗɬɨ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ, ɬɨɥɶɤɨ		ɟɫɥɢ r2 r1 O1O2 r1 r2,		ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ				2a 3	2a ɩɪɢ
ɥɸɛɵɯ a ! 0. ɂɦɟɟɦ			(4a 2a)2 (4a 2a)2
	O1O2		(4a 2a)2 (4a 2a)2	2a 10.				a 0, 8.
ɉɨɥɭɱɚɟɦ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ 3 2a			2a 2a 10 3 2a	2a, ɨɬɤɭɞɚ 0, 2				a 0, 8.
Ɉɬɜɟɬ 0, 2 a 0, 8.
	ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ							Ȼɚɥɥɵ
Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧ ɩɪɚɜɢɥɶɧɵɣ ɨɬɜɟɬ									4
ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɜɟɪɧɨɝɨ ɪɚɫɫɭɠɞɟɧɢɹ ɩɨɥɭɱɟɧɨ ɜɟɪɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ, ɢɥɢ
ɨɬɥɢɱɚɸɳɟɟɫɹ ɜɟɪɧɨɝɨ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦɢ ɬɨɱɤɚɦɢ. ɋɥɭɱɚɢ =0a					ɢɥɢ <0			ɧɟ	3
ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɵ ɢɥɢ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɵ ɫ ɨɲɢɛɤɨɣ
ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɜɟɪɧɨɝɨ ɪɚɫɫɭɠɞɟɧɢɹ ɩɨɥɭɱɟɧɨ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɨ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɢɡ									2
ɞɜɭɯ ɜ ɞɜɨɣɧɨɦ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɟ ɨɬɜɟɬɚ									2
ɞɜɭɯ ɜ ɞɜɨɣɧɨɦ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɟ ɨɬɜɟɬɚ
ȼɟɪɧɨ	ɩɨɥɭɱɟɧɚ ɯɨɬɹ ɛɵ	ɨɞɧɚ ɝɪɚɧɢɱɧɚɹ ɬɨɱɤɚ ɢɫɤɨɦɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ							1
ɡɧɚɱɟɧɢɣ									1
ɡɧɚɱɟɧɢɣ
Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ									0
				Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ				ɛ ɥɥ	4
C6	ɋɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɱɟɬɵɪɺɯ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɜ					42	ɪɚɡɚ ɛɨɥɶɲɟ, ɱɟɦ
	ɋɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɱɟɬɵɪɺɯ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɜ						ɪɚɡɚ ɛɨɥɶɲɟ, ɱɟɦ

ɫɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɛɪɚɬɧɵɯ ɱɢɫɟɥ. ɇɚɣɞɢɬɟ ɷɬɢ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɟ ɱɢɫɥɚ.

Ɋɟɲɟɧ ɟ	.								a d b d c d d. Ɍɨɝɞɚ ac d bd
Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ ɱɢɫɥɚ a, b, c ɢ d. ɉɭɫɬɶ				ɞɥɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɫɬɢ					a d b d c d d. Ɍɨɝɞɚ ac d bd
ɢ ab d cd.
ɋɨɫɬɚɜɢɦ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɢ ɩɪɨɜɟɞɟɦ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ:
		a b	c d		42	1	1	1		1	;
			4	17 4							;
			4	17 4		a	b	c		d

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚɤɥɚɫɫ10ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

0202-0204

(ɛɟɡ ɥɨɝɚɪɢɮɦɨɜ)

a b c d

bcd

acd abd abc

;

abcd

bcd acd abd abc

(b d)ac (a c)bd

abcd

a b

c d

a b c d

ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ a d b ɢ c d d, ɩɨɥɭɱɚɟɦ

abcd d

(b d)bd

(a c)bd

bd,

ɨɬɤɭɞɚ ac d

a b

c d

Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ, ɭɱɢɬɵɜɚɹ, ɱɬɨ a d d

ɢ b d c, ɧɚɯɨɞɢɦ

abcd

d)ac

(a c)bd

(b d)cd (a c)cd

cd,

ɨɬɤɭɞɚ ab 3.

a b c d

a b c

ȼɨɡɦɨɠɧɵ ɜɚɪɢɚɧɬɵ:

1) a

1, b

1, c 1.

2) a

1, b

1, c

3) a

1, b

2, c

bcd acd abd abc

ȼ ɫɥɭɱɚɟ a

1ɢɡ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ abcd

ɩɨɥɭɱɚɟɦ

3d 1

a b c d

75d

42 0.

d; 17d2

ɇɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɤɨɪɧɟɣ ɧɟɬ.

3 d

ȿɫɥɢ a

1, b

1, c

2, ɬɨ

5d 2

2d; 17d2 37d 42

0. ɇɚɬɭɪɚɥɶɧɵɣ ɤɨɪɟɧɶ

4 d

8d 4

4d; 17d2 d

ȿɫɥɢ a

1, b 2, c

2, ɬɨ

0. ɇɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɤɨɪɧɟɣ ɧɟɬ.

Ɉɬɜɟɬ: 1, 1, 2, 3.

5 d

ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ

Ȼɚɥɥɵ

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧ ɩɪɚɜɢɥɶɧɵɣ ɨɬɜɟɬ

Ⱦɨɤɚɡɚɧɨ, ɱɬɨ ɞɜɚ ɧɚɢɦɟɧɶɲɢɯ ɱɢɫɥɚ ɪɚɜɧɵ 1. Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɡɚɤɨɧɱɟɧɨ

Ⱦɨɤɚɡɚɧɨ, ɱɬɨ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɱɢɫɥɨ ɪɚɜɧɨ 1, ɢ ɩɨɞɛɨɪɨɦ ɧɚɣɞɟɧɵ ɬɪɢ ɞɪɭɝɢɯ

ɱɢɫɥɚ

Ⱦɨɤɚɡɚɧɨ, ɱɬɨ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɱɢɫɥɨ ɪɚɜɧɨ 1

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ

Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ

ɛ ɥɥ

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ 10 ɤɥɚɫɫ ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ0205-0207

(ɛɟɡ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ)

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚɤɥɚɫɫ10ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

0205-0207

(ɛɟɡ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ)

Ʉɪɢɬɟɪɢɢ ɨ

ɟɧɢɜɚɧɢɹ ɡɚɞɚɧɢɣ ɫ ɪɚɡɜɺɪɧɭɬɵɦ ɨɬɜɟɬɨɦ

Ɉɫɧɨɜɚɧɢɟ ɩɪɹɦɨɣ ɩɪɢɡɦɵ ABCDA1B1C1D1 — ɪɨɦɛ ABCD ɫ ɭɝɥɨɦ A, ɪɚɜɧɵɦ

60q,

ɢ ɫɬɨɪɨɧɨɣ2. , ɪɚɜɧɨɣ

ɇɚɣɞɢɬɟ

ɜɵɫɨɬɭ ɩɪɢɡɦɵ,

ɟɫɥɢ

ɭɝɨɥ

ɦɟɠɞɭ

ɚ) Ɋɟɲɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ

ɩɥɨɫɤɨɫɬɹɦɢ A1BC ɢ ABC ɪɚɜɟɧ 30q.

sin x

sinx

Ɋɟɲɟɧ

ɟ.

ɛ)

ɇɚɣɞɢɬɟ

ɜɫɟ

ɤɨɪɧɢ

ɷɬɨɝɨ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ,

ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɳɢɟ

ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɭ

ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɩɪɢɡɦɚ ɩɪɹɦɚɹ, ɬɨ ɥɸɛɚɹ ɩɪɹɦɚɹ, ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɚɹ ɪɟɛɪɭ AA1, ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɚ

5ʌ ;

3ʌ .

ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ABC. ɉɭɫɬɶ G ɢ F — ɫɟɪɟɞɢɧɵ ɪɺɛɟɪ A1D1 ɢ AD ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ, ɬɨɝɞɚ

Ɋɟɲɟɧ

ɟ.

AA1 ɢ ɩɨɷɬɨɦɭ GF – ɜɵɫɨɬɚ ɩɪɢɡɦɵ ɢ GF A ABC.

ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ BF – ɦɟɞɢɚɧɚ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɝɨ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ ABD, ɬɨ BF – ɟɝɨ ɜɵɫɨɬɚ, ɩɪɢɱɺɦ

ɚ) ɋɞɟɥɚɟɦ ɡɚɦɟɧɭ t

. ɉɨɥɭɱɢɦ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ t:

3. Ɂɧɚɱɢɬ,

FB A AD.

Ɉɬɫɸɞɚ FB A BC,

ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ

AD.

ɉɪɹɦɚɹ FB

sinx

t 2

0; (t 1)(t 2)

ɩɪɨɟɤɰɢɹ ɩɪɹɦɨɣ GB ɧɚ ɩɥɨɫɤɨɫɬɶ ABC,

ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, GB A BC ɩɨ ɬɟɨɪɟɦɟ ɨ ɬɪɺɯ

1 .

ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɚɯ. Ɉɬɫɸɞɚ ɫɥɟɞɭɟɬ,

ɱɬɨ

GBF

ɥɢɧɟɣɧɵɣ ɭɝɨɥ ɞɜɭɝɪɚɧɧɨɝɨ ɭɝɥɚ,

1 ɢɥɢ t

2; sinx

1 ɢɥɢ sinx

ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɧɨɝɨ ɩɥɨɫɤɨɫɬɹɦɢ A1BC ɢ ABC. ɂɡ ɭɫɥɨɜɢɹ

GBF

30q. ɂɡ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɨɝɨ

FBtg30q

ʌ 2ʌn, x

ʌ 2ʌn ɢɥɢ x

5ʌ 2ʌn, n ].

ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ GFB ɧɚɯɨɞɢɦ GF

ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, x

ɛ) ɉɪɢ ɩɨɦɨɳɢ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɣ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɨɬɛɟɪɺɦ ɤɨɪɧɢ, ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɳɢɟ

ɨɬɪɟɡɤɭ

5ʌ ;

3ʌ

13ʌ

, x

3ʌ .

Ɉɬɜɟɬ: 1.

Ɉɬɜɟɬ

ɚ)

ʌ 2ʌn,

n ];

ʌ 2ʌn, n ]; x

5ʌ 2ʌn, n ];

ɛ) 13ʌ ;

ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ

Ȼɚɥɥɵ

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧ ɜɟɪɧɵɣ ɨɬɜɟɬ

3ʌ .

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɧɵɣ ɩɟɪɟɯɨɞ ɤ ɩɥɚɧɢɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɣ ɡɚɞɚɱɟ,

ɧɨ

ɩɨɥɭɱɟɧ ɧɟɜɟɪɧɵɣ ɨɬɜɟɬ ɢɥɢ ɪɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɡɚɤɨɧɱɟɧɨ.

ɂɅɂ

ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ

Ȼɚɥɥɵ

ɉɪɢ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɦ ɨɬɜɟɬɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɧɟɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɨ

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧɵ ɜɟɪɧɵɟ ɨɬɜɟɬɵ ɜ ɩ.

) ɢ ɜ ɩ. ɛ)

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧ ɜɟɪɧɵɣ ɨɬɜɟɬ ɜ ɩ.)

, ɧɨ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɢɟ ɨɬɛɨɪɚ ɤɨɪɧɟɣ

Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ ɛ ɥɥ

ɜ ɩ ɛ) ɧɟ.

ɩɪɢɜɟɞɟɧɨ, ɢɥɢ ɡɚɞɚɱɚ ɜ ɩ

) ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɫɜɟɞɟɧɚ ɤ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɸ

ɩɪɨɫɬɟɣɲɢɯ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɛɟɡ ɩɪɟɞɴɹɜɥɟɧɢɹ ɜɟɪɧɨɝɨ

ɨɬɜɟɬɚ, ɚ ɜ ɩ. ɛ) ɩɪɢɜɟɞɺɧ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɧɵɣ ɨɬɛɨɪ ɤɨɪɧɟɣ

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ

Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ

ɛ ɥɥ

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ 10 ɤɥɚɫɫ ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ0205-0207

(ɛɟɡ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ)

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚɤɥɚɫɫ10ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

0205-0207

(ɛɟɡ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ)

1 (6x x

5) d 2,

Ɍɚɧɝɟɧɫ ɭɝɥɚ C

ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ

ABC

ɪɚɜɟɧ

, D — ɨɬɥɢɱɧɚɹ ɨɬ

A ɬɨɱɤɚ

° log

Ɋɟɲɢɬɟ ɫɢɫɬɟɦɭ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜ ®

ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɹ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɟɣ,

ɤɚɤ ɧɚ

° x 3 x x t 0.

ɩɨɫɬɪɨɟɧɧɵɯ ɧɚ ɫɬɨɪɨɧɚɯ AB

Ɋɟɲɟɧ

ɟ.

ɞɢɚɦɟɬɪɚɯ ɂɡɜɟɫɬɧɨ, ɱɬɨ DB : DC

4 :

9. ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɝɨɥ A.

Ɋɟɲɟɧ

ɟ.

Ɋɟɲɢɦ ɩɟɪɜɨɟ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ. Ɉɧɨ ɢɦɟɟɬ ɫɦɵɫɥ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɹɯ

Ɍɨɱɤɚ D ɥɟɠɢɬ ɧɚ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɫ ɞɢɚɦɟɬɪɨɦ AB, ɩɨɷɬɨɦɭ ADB

90 . Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ,

1 ! 0,

ADC

90 . ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɬɨɱɤɚ D ɥɟɠɢɬ ɧɚ ɩɪɹɦɨɣ BC.

° x

® x

1 z

ȼɨɡɦɨɠɧɵ ɞɜɚ ɫɥɭɱɚɹ: ɬɨɱɤɚ

ɥɟɠɢɬ

ɥɢɛɨ

ɧɚ

ɨɬɪɟɡɤɟ BC (ɪɢɫ. 1),

ɥɢɛɨ ɧɚ

ɨɬɤɭɞɚ1 x 5.

5 ! 0,

ɩɪɨɞɨɥɠɟɧɢɢ ɨɬɪɟɡɤɚ BC ɡɚ ɬɨɱɤɭ B (ɪɢɫ. 2). Ɍɨɱɤɚ D ɧɟ ɦɨɠɟɬ ɥɟɠɚɬɶ ɧɚ ɩɪɨɞɨɥɠɟɧɢɢ

¯ 6x x

ɨɬɪɟɡɤɚ BC ɡɚ ɬɨɱɤɭ C, ɬɚɤ ɤɚɤ ɭɝɨɥ ACB — ɨɫɬɪɵɣ.

ɉɪɢ x ! 1ɨɫɧɨɜɚɧɢɟ ɥɨɝɚɪɢɮɦɚ

x 1 ɛɨɥɶɲɟ ɟɞɢɧɢɰɵ. ɉɨɥɭɱɚɟɦ

6x x2 5 d x 1; x2 5x

6 t 0;

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɩɟɪɜɨɝɨ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɚ:

x d 2 ɢɥɢ x t 3.

x d 2 ɢɥɢ 3 d x 5.

Ɋɟɲɢɦ ɜɬɨɪɨɟ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ.

ɉɪɢ 1 x d 2 ɩɨɥɭɱɚɟɦ

13 d x d 1

x2 (3 x) d 0; x2

x 3 d 0;

13 .

Ɋɢɫ. 1

Ɋɢɫ. 2

ɉɪɢ 3 d x 5 ɩɨɥɭɱɚɟɦ x2 x 3 d 0. Ɋɟɲɟɧɢɣ ɧɟɬ.

13 1.

ɉɨɥɨɠɢɦ DB

4t, DC

9t. ɂɡ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɵɯ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜ ADC ɢ

ABD ɧɚɯɨɞɢɦ,

ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ 1

13 1 2, ɧɚɯɨɞɢɦ ɪɟɲɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵ:1 x d

ɱɬɨ

9t 2

DCtgACB

6t,

Ɉɬɜɟɬ

13 1 .

36t

81t

13 ,

ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ

Ȼɚɥɥɵ

ȼ ɩɟɪɜɨɦ ɫɥɭɱɚɟ BAC

36t2

16t2

13.

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧ ɜɟɪɧɵɣ ɨɬɜɟɬ

90 , ɬɚɤ ɤɚɤ

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧɵ ɜɟɪɧɵɟ ɨɬɜɟɬɵ ɜ ɨɛɨɢɯ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɚɯ ɫɢɫɬɟɦɵ

AB2 AC2

13 9t2 4t2

)

169t2

BC2.

ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜ

(

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧ ɜɟɪɧɵɣ ɨɬɜɟɬ ɜ ɨɞɧɨɦ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɟ ɫɢɫɬɟɦɵ

ȼɨ ɜɬɨɪɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɩɨ ɬɟɨɪɟɦɟ

ɫɢɧɭɫɨɜ

sin A

sin C ; ɬɚɤ ɤɚɤ tg C

2 , ɬɨ

ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜ

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ

, ɩɨɷɬɨɦɭ sin A

sin C

ɨɬɤɭɞɚ ɧɚɯɨɞɢɦ, ɱɬɨ sin A

5 .

Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ ɛ ɥɥ

2t 13

Ɉɬɜɟɬ 90q ɢɥɢ arcsin 5 .

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ 10 ɤɥɚɫɫ ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ0205-0207

(ɛɟɡ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ)

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚɤɥɚɫɫ10ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

0205-0207

(ɛɟɡ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ)

ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ

Ȼɚɥɥɵ

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɟɧɵ

ɜɫɟ

ɜɨɡɦɨɠɧɵɟ

ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɟ ɤɨɧɮɢɝɭɪɚɰɢɢ, ɢ ɩɨɥɭɱɟɧ

ɩɪɚɜɢɥɶɧɵɣ ɨɬɜɟɬ

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɟɧɚ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɚ ɜɨɡɦɨɠɧɚɹ ɤɨɧɮɢɝɭɪɚɰɢɹ,

ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ ɩɨɥɭɱɟɧɨ

ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɢɫɤɨɦɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɟɧɚ

ɯɨɬɹ

ɛɵ

ɨɞɧɚ

ɜɨɡɦɨɠɧɚɹ

ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɚɹ

ɤɨɧɮɢɝɭɪɚɰɢɹ,

ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ

ɩɨɥɭɱɟɧɨ

ɡɧɚɱɟɧɢɟ

ɢɫɤɨɦɨɣ

ɜɟɥɢɱɢɧɵ,

ɧɟɩɪɚɜɢɥɶɧɨɟ

ɢɡ-ɡɚ

ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɨɲɢɛɤɢ

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ

Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ

ɛ ɥɥ

ɇɚɣɞɢɬɟ ɜɫɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ,

ɩɪɢ ɤɚɠɞɨɦ ɢɡ ɤɨɬɨɪɵɯ ɫɢɫɬɟɦɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ

ɗɬɨ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɜ ɞɜɭɯ ɫɥɭɱɚɹɯ: ɤɨɝɞɚ O1O2

r1 r2 ɢɥɢ O1O2

r1 r2

r2 r1,

ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ

a 3

a ɩɪɢ ɥɸɛɵɯ a !

ɂɦɟɟɦ

y 2a(x y) 2a a,

° x

( 2a a)2 (2a a)2

4a(x y)

8a2

O1O2

a 10.

Ɋɟɲɢɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ

ɢɦɟɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ.

3 a

a 10 ɢ 3

a 10 ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ a ! 0.

Ɋɟɲɟɧ

ɟ.

ɂɡ ɩɟɪɜɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ a

1, 6; ɢɡ ɜɬɨɪɨɝɨ ɧɚɯɨɞɢɦ a

0, 4.

Ɂɚɩɢɲɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦɵ ɜ ɜɢɞɟ

: 0,

0,4Ɉɬɜɟɬ

ɢ 1,6.

ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ

Ȼɚɥɥɵ

° (x a)

2a)2

9a.

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧ ɩɪɚɜɢɥɶɧɵɣ ɨɬɜɟɬ

ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɜɟɪɧɨɝɨ ɪɚɫɫɭɠɞɟɧɢɹ ɩɨɥɭɱɟɧɵ ɞɜɚ ɡɧɚɱɟɧɢɹ

ɢɡ ɬɪɺɯ. ɋɥɭɱɚɢ

ȿɫɥɢ a 0, ɬɨ ɫɢɫɬɟɦɚ ɧɟ ɢɦɟɟɬ ɪɟɲɟɧɢɣ. ɉɭɫɬɶ a

0. ɋɢɫɬɟɦɚ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɜɢɞ

=0 ɢ<0

ɧɟ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɵ

ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɜɟɪɧɨɝɨ

ɪɚɫɫɭɠɞɟɧɢɹ

ɩɨɥɭɱɟɧɵ ɞɜɚ

ɡɧɚɱɟɧɢɹ

ɢɡ

ɬɪɺɯ.

° x

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɟɧ ɬɨɥɶɤɨ ɨɞɢɧ ɢɡ ɫɥɭɱɚɟɜ ɤɚɫɚɧɢɹ

ȼɟɪɧɨ ɧɚɣɞɟɧɨ ɬɨɥɶɤɨ ɨɞɧɨ ɡɧɚɱɟɧɢɟ

ɢɡ ɬɪɺɯ

ɢ ɟɺ ɪɟɲɟɧɢɟɦ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɚɪɚ (0; 0), ɬɨ ɟɫɬɶ ɩɪɢ a

0 ɫɢɫɬɟɦɚ ɢɦɟɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟ

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ

ɪɟɲɟɧɢɟ.

ɉɪɢ a ! 0

ɝɪɚɮɢɤɨɦ

ɤɚɠɞɨɝɨ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ

ɫɢɫɬɟɦɵ

ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɶ:

ɩɟɪɜɚɹ

Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ

ɛ ɥɥ

ɫ ɰɟɧɬɪɨɦ ɜ ɬɨɱɤɟ O1(a; a) ɢ ɪɚɞɢɭɫɨɦ r1

a; ɜɬɨɪɚɹ ɫ ɰɟɧɬɪɨɦ ɜ ɬɨɱɤɟ O2( 2a; 2a) ɢ

ɪɚɞɢɭɫɨɦ r2

3 a. Ɂɚɦɟɬɢɦ, ɱɬɨ ɫɢɫɬɟɦɚ ɢɦɟɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ

ɋɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɬɪɺɯ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɜ

35 ɪɚɡɚ ɛɨɥɶɲɟ,

ɱɟɦ

ɬɨɝɞɚ,

ɤɨɝɞɚ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɢɦɟɸɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɭɸ ɨɛɳɭɸ ɬɨɱɤɭ ɬɨ ɟɫɬɶ ɤɚɫɚɸɬɫɹ ɞɪɭɝ

ɞɪɭɝɚ.

ɫɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɛɪɚɬɧɵɯ ɱɢɫɟɥ. ɇɚɣɞɢɬɟ ɷɬɢ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɟ ɱɢɫɥɚ.

Ɋɟɲɟɧ ɟ.

ɉɭɫɬɶ ɞɥɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɫɬɢ a d b d c.

ɇɚɡɨɜɟɦ ɱɢɫɥɚ a, b, c.

ɋɨɫɬɚɜɢɦ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɢ ɩɪɨɜɟɞɟɦ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ:

a b c

35 a

c ; a b c 35 bc ac ab;

abc

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ 10 ɤɥɚɫɫ ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ0205-0207						(ɛɟɡ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ)
		abc	35	bc	ac ab		d	35	bc ac c2
		abc					d		a b c
		11		a b c		11			a b c
Ɍɨɝɞɚ ab d	35	4.
Ɍɨɝɞɚ ab d	11	4.
	11

ȼɨɡɦɨɠɧɵ ɜɚɪɢɚɧɬɵ:

35c.

1) a

1, b

2) a

1, b

3) a

1, b

bc ac ab

ȼ ɫɥɭɱɚɟ a

1, b 1ɢɡ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ a b c

ɩɨɥɭɱɚɟɦ

2c 1

abc

2 c

; 11c2 48c 35 0.

ɇɚɬɭɪɚɥɶɧɵɣ ɤɨɪɟɧɶ c 5.

3c 2

ȿɫɥɢ a

1, b

2, ɬɨ 3 c

39c

70 0. ɇɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɤɨɪɧɟɣ ɧɟɬ.

; 22c

ȿɫɥɢ a

1, b

3, ɬɨ 4 c

; 33c2 8c 105 0. ɇɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɤɨɪɧɟɣ ɧɟɬ.

1 Ɉɬɜɟɬ

ɢ 5.

ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ

Ȼɚɥɥɵ

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧ ɩɪɚɜɢɥɶɧɵɣ ɨɬɜɟɬ

Ⱦɨɤɚɡɚɧɨ,

ɱɬɨ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɱɢɫɥɨ ɪɚɜɧɨ 1, ɚ ɜɬɨɪɨɟ ɱɢɫɥɨ ɧɟ ɛɨɥɶɲɟ 3.

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɡɚɤɨɧɱɟɧɨ

Ⱦɨɤɚɡɚɧɨ,

ɱɬɨ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɱɢɫɥɨ ɪɚɜɧɨ 1,

ɢ ɩɨɞɛɨɪɨɦ ɧɚɣɞɟɧɵ ɞɜɚ ɞɪɭɝɢɯ

ɱɢɫɥɚ

Ⱦɨɤɚɡɚɧɨ, ɱɬɨ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɱɢɫɥɨ ɪɚɜɧɨ 1

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ

Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ ɛ ɥɥ

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚɤɥɚɫɫ10ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

0206-0208

(ɛɟɡ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ)

Ʉɪɢɬɟɪɢɢ ɨ ɟɧɢɜɚɧɢɹ ɡɚɞɚɧɢɣ ɫ ɪɚɡɜɺɪɧɭɬɵɦ ɨɬɜɟɬɨɦ

ɚ) Ɋɟɲɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ

cosx

cos

ɛ) ɇɚɣɞɢɬɟ

ɜɫɟ

ɤɨɪɧɢ

ɷɬɨɝɨ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ,

ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɳɢɟ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɭ

2ʌ;

7ʌ

Ɋɟɲɟɧ

ɚ) ɋɞɟɥɚɟɦ ɡɚɦɟɧɭ t

. ɉɨɥɭɱɢɦ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ t:

cosx

t2 3t 2 0; (t 1)(t 2)

1ɢɥɢ t

cosx

1ɢɥɢ cosx

ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, x 2ʌn ɢɥɢ x

r ʌ 2ʌn, n Z.

ɛ) ɉɪɢ ɩɨɦɨɳɢ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɣ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɨɬɛɟɪɺɦ ɤɨɪɧɢ, ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɳɢɟ ɨɬɪɟɡɤɭ 2ʌ; 7ʌ : x 7ʌ ; x 2ʌ.

Ɉɬɜɟɬ: ɚ) x 2ʌn, n ]; x r ʌ 2ʌn, n ]; ɛ) 2ʌ;				7ʌ	.

	3		3
	ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ					Ȼɚɥɥɵ
Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧɵ ɜɟɪɧɵɟ ɨɬɜɟɬɵ ɜ ɩ.			) ɢ ɜ ɩ. ɛ)			2
Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧ ɜɟɪɧɵɣ ɨɬɜɟɬ ɜ ɩ.)			, ɧɨ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɢɟ ɨɬɛɨɪɚ ɤɨɪɧɟɣ
ɜ ɩ. ɛ) ɧɟ.	ɩɪɢɜɟɞɟɧɨ, ɢɥɢ ɡɚɞɚɱɚ ɜ ɩ	) ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɫɜɟɞɟɧɚ ɤ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɸ				1
ɩɪɨɫɬɟɣɲɢɯ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɛɟɡ ɩɪɟɞɴɹɜɥɟɧɢɹ ɜɟɪɧɨɝɨ
ɨɬɜɟɬɚ, ɚ ɜ ɩ. ɛ) ɩɪɢɜɟɞɺɧ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɧɵɣ ɨɬɛɨɪ ɤɨɪɧɟɣ
Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ						0
				Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ ɛ ɥɥ		2

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ 10 ɤɥɚɫɫ ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ0206-0208

(ɛɟɡ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ)

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚɤɥɚɫɫ10ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

0206-0208

(ɛɟɡ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ)

Ɉɫɧɨɜɚɧɢɟ ɩɪɹɦɨɣ ɩɪɢɡɦɵ ABCDA1B1C1D1 — ɪɨɦɛ ABCD ɫ ɭɝɥɨɦ A, ɪɚɜɧɵɦ

log

6x x

2 5 t 2,

120q, ɢ ɫɬɨɪɨɧɨɣ

ɪɚɜɧɨɣ

4. ɇɚɣɞɢɬɟ ɜɵɫɨɬɭ ɩɪɢɡɦɵ, ɟɫɥɢ ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ

(

)

Ɋɟɲɢɬɟ ɫɢɫɬɟɦɭ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜ ®

1 x

ɩɥɨɫɤɨɫɬɹɦɢ ADC1 ɢ ABC ɪɚɜɟɧ 60q.

x x

Ɋɟɲɟɧ

ɟ.

Ɋɟɲɟɧ

ɟ.

ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɩɪɢɡɦɚ ɩɪɹɦɚɹ, ɬɨ ɛɨɤɨɜɨɟ ɪɟɛɪɨ CC1

ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɨ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ABC, ɢ

ɩɨɷɬɨɦɭ CC1 — ɜɵɫɨɬɚ ɩɪɢɡɦɵ, CC1

A (ABC).

ɉɭɫɬɶ F ɫɟɪɟɞɢɧɚ ɪɟɛɪɚ AD ɬɨɝɞɚ CF

Ɋɟɲɢɦ ɩɟɪɜɨɟ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ. Ɉɧɨ ɢɦɟɟɬ ɫɦɵɫɥ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɹɯ

ɦɟɞɢɚɧɚ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɝɨ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ ACD ɢ, ɡɧɚɱɢɬ, CF ɟɝɨ ɜɵɫɨɬɚ, ɩɪɢɱɺɦ ɋF

2 3.

° 1 x ! 0,

ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ CF ɩɪɨɟɤɰɢɹ ɋ1F ɧɚ ɩɥɨɫɤɨɫɬɶ ABC ɢ CF A AD,

ɬɨ C1F A AD ɩɨ ɬɟɨɪɟɦɟ

® 1 x z

ɨ ɬɪɺɯ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɚɯ. Ɉɬɫɸɞɚ ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ

C1FC

ɥɢɧɟɣɧɵɣ ɭɝɨɥ ɞɜɭɝɪɚɧɧɨɝɨ

ɨɬɤɭɞɚ 5 x 1.

6x x

5 ! 0,

ɭɝɥɚ,

ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɧɨɝɨ ɩɥɨɫɤɨɫɬɹɦɢ

ADC1

ABC. ɂɡ

ɭɫɥɨɜɢɹ

C1FC

60q. ɂɡ

ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɨɝɨ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ C1CF ɧɚɯɨɞɢɦ CC1

ɋFtg60q

2 3

ɉɪɢ x 1ɨɫɧɨɜɚɧɢɟ ɥɨɝɚɪɢɮɦɚ

1 x

ɦɟɧɶɲɟ ɟɞɢɧɢɰɵ. ɉɨɥɭɱɚɟɦ

x; x2

5x 6 t 0;

6x x2

5 d 1

x d 3 ɢɥɢ x t 2.

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɩɟɪɜɨɝɨ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɚ: 5 x d 3 ɢɥɢ 2 d x 1.

Ɋɟɲɢɦ ɜɬɨɪɨɟ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ.

x 3 x2 d 0;

x2 x 3 t 0.

ɉɪɢ 5

x d 3 ɩɨɥɭɱɚɟɦ

Ɋɟɲɟɧɢɟɦ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɥɸɛɨɟ ɱɢɫɥɨ.

ɉɪɢ 2 d x 1ɩɨɥɭɱɚɟɦ

x 3 x2 d 0; x2 x 3 t 0;

Ɉɬɜɟɬ: 6.

x d 1

13 ɢɥɢ x t

13 .

ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ

Ȼɚɥɥɵ

ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ 2 1

1 1

13 , ɧɚɯɨɞɢɦ ɪɟɲɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵ:

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧ ɜɟɪɧɵɣ ɨɬɜɟɬ

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɧɵɣ ɩɟɪɟɯɨɞ ɤ ɩɥɚɧɢɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɣ ɡɚɞɚɱɟ, ɧɨ

5 x d 3 ɢɥɢ 2 d x d 1

13 .

ɩɨɥɭɱɟɧ ɧɟɜɟɪɧɵɣ ɨɬɜɟɬ ɢɥɢ ɪɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɡɚɤɨɧɱɟɧɨ.

ɂɅɂ

( 5; 3] 2;

13 .

ɉɪɢ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɦ ɨɬɜɟɬɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɧɟɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɨ

Ɉɬɜɟɬ,

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ

Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ

ɛ ɥɥ

ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ

Ȼɚɥɥɵ

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧ ɜɟɪɧɵɣ ɨɬɜɟɬ

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ

ɩɨɥɭɱɟɧɵ

ɜɟɪɧɵɟ

ɨɬɜɟɬɵ

ɨɛɨɢɯ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɚɯ

ɫɢɫɬɟɦɵ

ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜ

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ

ɩɨɥɭɱɟɧ

ɜɟɪɧɵɣ

ɨɬɜɟɬ

ɨɞɧɨɦ

ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɟ

ɫɢɫɬɟɦɵ

ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜ

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ

Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ ɛ ɥɥ

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ 10 ɤɥɚɫɫ ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ0206-0208

(ɛɟɡ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ)

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚɤɥɚɫɫ10ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

0206-0208

(ɛɟɡ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ)

Ɍɚɧɝɟɧɫ ɭɝɥɚ C ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ ABC

ɪɚɜɟɧ 3 , D — ɨɬɥɢɱɧɚɹ

ɨɬ

A ɬɨɱɤɚ

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɟɧɵ

ɜɫɟ

ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ

ɢ ɩɨɥɭɱɟɧ

Ȼɚɥɥɵ

ɜɨɡɦɨɠɧɵɟ

ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɟ

ɤɨɧɮɢɝɭɪɚɰɢɢ,

ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɹ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɟɣ,

ɩɨɫɬɪɨɟɧɧɵɯ

ɧɚ

ɫɬɨɪɨɧɚɯ AB

ɤɚɤ ɧɚ

ɩɪɚɜɢɥɶɧɵɣ ɨɬɜɟɬ

ɞɢɚɦɟɬɪɚɯ. ɂɡɜɟɫɬɧɨ, ɱɬɨ DB : DC

9 : 16. ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɝɨɥ A.

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɟɧɚ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɚ ɜɨɡɦɨɠɧɚɹ ɤɨɧɮɢɝɭɪɚɰɢɹ,

ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ ɩɨɥɭɱɟɧɨ

Ɋɟɲɟɧ

ɟ.

ɩɨɷɬɨɦɭ ADB

90q.

ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɢɫɤɨɦɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɟɧɚ

ɯɨɬɹ

ɛɵ

ɨɞɧɚ

ɜɨɡɦɨɠɧɚɹ

ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɚɹ

ɤɨɧɮɢɝɭɪɚɰɢɹ,

Ɍɨɱɤɚ D ɥɟɠɢɬ ɧɚ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɫ ɞɢɚɦɟɬɪɨɦ AB,

Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ

ADC

90q. ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɬɨɱɤɚ D ɥɟɠɢɬ ɧɚ ɩɪɹɦɨɣ BC.

ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ

ɩɨɥɭɱɟɧɨ

ɡɧɚɱɟɧɢɟ

ɢɫɤɨɦɨɣ

ɜɟɥɢɱɢɧɵ,

ɧɟɩɪɚɜɢɥɶɧɨɟ

ɢɡ-ɡɚ

ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɨɲɢɛɤɢ

ȼɨɡɦɨɠɧɵ

ɞɜɚ ɫɥɭɱɚɹ:

ɬɨɱɤɚ

ɥɟɠɢɬ

ɥɢɛɨ

ɧɚ

ɨɬɪɟɡɤɟ

BC (ɪɢɫ. 1),

ɥɢɛɨ ɧɚ

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ

ɩɪɨɞɨɥɠɟɧɢɢ ɨɬɪɟɡɤɚ BC ɡɚ ɬɨɱɤɭ B (ɪɢɫ. 2). Ɍɨɱɤɚ D ɧɟ ɦɨɠɟɬ ɥɟɠɚɬɶ ɧɚ ɩɪɨɞɨɥɠɟɧɢɢ

Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ

ɛ ɥɥ

ɨɬɪɟɡɤɚ BC ɡɚ ɬɨɱɤɭ C, ɬɚɤ ɤɚɤ. ɭɝɨɥ ACB ɨɫɬɪɵɣ.

ɇɚɣɞɢɬɟ

ɜɫɟ

ɡɧɚɱɟɧɢɹ

ɩɪɢ

ɤɚɠɞɨɦ

ɢɡ

ɤɨɬɨɪɵɯ

ɫɢɫɬɟɦɚ

y 4a(x y)

2a,

ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ

° x

ɢɦɟɟɬ ɪɨɜɧɨ ɞɜɚ ɪɟɲɟɧɢɹ.

® x2

8a(x

32a2 18a

Ɋɟɲɟɧ

ɟ.

Ɂɚɩɢɲɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦɵ ɜ ɜɢɞɟ

2a)

2a,

° (x 2a) (y

Ɋɢɫ. 1

Ɋɢɫ. 2

® (x 4a)2

4a)2

18a.

ɉɨɥɨɠɢɦ DB t 9 , DC

16t. ɂɡ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɵɯ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜ ADC ɢ ABD ɧɚɯɨɞɢɦ,

ȿɫɥɢ a 0, ɬɨ ɫɢɫɬɟɦɚ ɧɟ ɢɦɟɟɬ ɪɟɲɟɧɢɣ. ɉɭɫɬɶ a

0. ɋɢɫɬɟɦɚ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɜɢɞ

ɱɬɨ

16t

° x

DCtgACB

12t,

144t2 256t2

0 ɫɢɫɬɟɦɚ ɢɦɟɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟ

20t,

ɢ ɟɺ ɪɟɲɟɧɢɟɦ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɚɪɚ (0; 0), ɬɨ ɟɫɬɶ ɩɪɢ a

ɪɟɲɟɧɢɟ.

ȼ ɩɟɪɜɨɦ ɫɥɭɱɚɟ BAC

144t2 81t2

15t.

ɉɪɢ a ! 0

ɝɪɚɮɢɤɨɦ

ɤɚɠɞɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ

ɫɢɫɬɟɦɵ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɶ: ɩɟɪɜɚɹ

90 , ɬɚɤ ɤɚɤ

AB2

AC2

252

BC2.

ɫ ɰɟɧɬɪɨɦ ɜ ɬɨɱɤɟ O1( 2a; 2a) ɢ ɪɚɞɢɭɫɨɦ r1

2a; ɜɬɨɪɚɹ ɫ ɰɟɧɬɪɨɦ ɜ ɬɨɱɤɟ O2(4a; 4a)

ȼɨ ɜɬɨɪɨɦ

ɫɥɭɱɚɟ ɩɨ

ɬɟɨɪɟɦɟ

ɫɢɧɭɫɨɜ

sin A

sin C ;

ɬɚɤ

ɤɚɤ tg C

3, ɬɨ

ɢ ɪɚɞɢɭɫɨɦ r2

2a. Ɂɚɦɟɬɢɦ, ɱɬɨ ɫɢɫɬɟɦɚ ɢɦɟɟɬ ɪɨɜɧɨ ɞɜɚ ɪɟɲɟɧɢɹ ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ

ɬɨɝɞɚ, ɤɨɝɞɚ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɢɦɟɸɬ ɪɨɜɧɨ ɞɜɟ ɨɛɳɢɟ ɬɨɱɤɢ.

ɩɨɷɬɨɦɭ sin A

sin C

ɨɬɤɭɞɚ ɧɚɯɨɞɢɦ, ɱɬɨ sin A

7 .

5 ,

15t

Ɉɬɜɟɬ 90q

ɢɥɢ arcsin 7 .

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ 10 ɤɥɚɫɫ ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ0206-0208

(ɛɟɡ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ)

ɗɬɨ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ, ɬɨɥɶɤɨ		ɟɫɥɢ r2 r1 O1O2 r1 r2,		ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ				2a 3	2a ɩɪɢ
ɥɸɛɵɯ a ! 0. ɂɦɟɟɦ			(4a 2a)2 (4a 2a)2
	O1O2		(4a 2a)2 (4a 2a)2	2a 10.				a 0, 8.
ɉɨɥɭɱɚɟɦ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ 3 2a			2a 2a 10 3 2a	2a, ɨɬɤɭɞɚ 0, 2				a 0, 8.
Ɉɬɜɟɬ 0, 2 a 0, 8.
	ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ							Ȼɚɥɥɵ
Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧ ɩɪɚɜɢɥɶɧɵɣ ɨɬɜɟɬ									4
ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɜɟɪɧɨɝɨ ɪɚɫɫɭɠɞɟɧɢɹ ɩɨɥɭɱɟɧɨ ɜɟɪɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ, ɢɥɢ
ɨɬɥɢɱɚɸɳɟɟɫɹ ɜɟɪɧɨɝɨ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦɢ ɬɨɱɤɚɦɢ. ɋɥɭɱɚɢ =0a					ɢɥɢ <0			ɧɟ	3
ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɵ ɢɥɢ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɵ ɫ ɨɲɢɛɤɨɣ
ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɜɟɪɧɨɝɨ ɪɚɫɫɭɠɞɟɧɢɹ ɩɨɥɭɱɟɧɨ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɨ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɢɡ									2
ɞɜɭɯ ɜ ɞɜɨɣɧɨɦ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɟ ɨɬɜɟɬɚ									2
ɞɜɭɯ ɜ ɞɜɨɣɧɨɦ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɟ ɨɬɜɟɬɚ
ȼɟɪɧɨ	ɩɨɥɭɱɟɧɚ ɯɨɬɹ ɛɵ	ɨɞɧɚ ɝɪɚɧɢɱɧɚɹ ɬɨɱɤɚ ɢɫɤɨɦɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ							1
ɡɧɚɱɟɧɢɣ									1
ɡɧɚɱɟɧɢɣ
Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ									0
				Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ				ɛ ɥɥ	4
C6	ɋɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɱɟɬɵɪɺɯ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɜ					42	ɪɚɡɚ ɛɨɥɶɲɟ, ɱɟɦ
	ɋɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɱɟɬɵɪɺɯ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɜ						ɪɚɡɚ ɛɨɥɶɲɟ, ɱɟɦ

ɫɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɛɪɚɬɧɵɯ ɱɢɫɟɥ. ɇɚɣɞɢɬɟ ɷɬɢ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɟ ɱɢɫɥɚ.

Ɋɟɲɟɧ ɟ	.								a d b d c d d. Ɍɨɝɞɚ ac d bd
Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ ɱɢɫɥɚ a, b, c ɢ d. ɉɭɫɬɶ				ɞɥɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɫɬɢ					a d b d c d d. Ɍɨɝɞɚ ac d bd
ɢ ab d cd.
ɋɨɫɬɚɜɢɦ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɢ ɩɪɨɜɟɞɟɦ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ:
		a b	c d		42	1	1	1		1	;
			4	17 4							;
			4	17 4		a	b	c		d

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚɤɥɚɫɫ10ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

0206-0208

(ɛɟɡ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ)

a b c d

bcd

acd abd abc

;

abcd

bcd acd abd abc

(b d)ac (a c)bd

abcd

a b

c d

a b c d

ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ a d b ɢ c d d, ɩɨɥɭɱɚɟɦ

abcd d

(b d)bd

(a c)bd

bd,

ɨɬɤɭɞɚ ac d

a b

c d

Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ, ɭɱɢɬɵɜɚɹ, ɱɬɨ a d d

ɢ b d c, ɧɚɯɨɞɢɦ

abcd

d)ac

(a c)bd

(b d)cd (a c)cd

cd,

ɨɬɤɭɞɚ ab 3.

a b c d

a b c

ȼɨɡɦɨɠɧɵ ɜɚɪɢɚɧɬɵ:

1) a

1, b

1, c 1.

2) a

1, b

1, c

3) a

1, b

2, c

bcd acd abd abc

ȼ ɫɥɭɱɚɟ a

1ɢɡ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ abcd

ɩɨɥɭɱɚɟɦ

3d 1

a b c d

75d

42 0.

d; 17d2

ɇɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɤɨɪɧɟɣ ɧɟɬ.

3 d

ȿɫɥɢ a

1, b

1, c

2, ɬɨ

5d 2

2d; 17d2 37d 42

0. ɇɚɬɭɪɚɥɶɧɵɣ ɤɨɪɟɧɶ

4 d

8d 4

4d; 17d2 d

ȿɫɥɢ a

1, b 2, c

2, ɬɨ

0. ɇɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɤɨɪɧɟɣ ɧɟɬ.

Ɉɬɜɟɬ: 1, 1, 2, 3.

5 d

ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ

Ȼɚɥɥɵ

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧ ɩɪɚɜɢɥɶɧɵɣ ɨɬɜɟɬ

Ⱦɨɤɚɡɚɧɨ, ɱɬɨ ɞɜɚ ɧɚɢɦɟɧɶɲɢɯ ɱɢɫɥɚ ɪɚɜɧɵ 1. Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɡɚɤɨɧɱɟɧɨ

Ⱦɨɤɚɡɚɧɨ, ɱɬɨ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɱɢɫɥɨ ɪɚɜɧɨ 1, ɢ ɩɨɞɛɨɪɨɦ ɧɚɣɞɟɧɵ ɬɪɢ ɞɪɭɝɢɯ

ɱɢɫɥɚ

Ⱦɨɤɚɡɚɧɨ, ɱɬɨ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɱɢɫɥɨ ɪɚɜɧɨ 1

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ

Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ

ɛ ɥɥ

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ 10 ɤɥɚɫɫ ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

0209-0211 ( ɛɟɡ ɥɨɝɚɪɢɮɦɨɜ)

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚɤɥɚɫɫ10ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

0209-0211 ( ɛɟɡ ɥɨɝɚɪɢɮɦɨɜ)

Ʉɪɢɬɟɪɢɢ ɨ ɟɧɢɜɚɧɢɹ ɡɚɞɚɧɢɣ ɫ ɪɚɡɜɺɪɧɭɬɵɦ ɨɬɜɟɬɨɦ

Ɉɫɧɨɜɚɧɢɟ ɩɪɹɦɨɣ ɩɪɢɡɦɵ ABCDA1B1C1D1 — ɪɨɦɛ ABCD ɫ ɭɝɥɨɦ A, ɪɚɜɧɵɦ

60q,

ɢ ɫɬɨɪɨɧɨɣ2. ,

ɪɚɜɧɨɣ

ɇɚɣɞɢɬɟ

ɜɵɫɨɬɭ ɩɪɢɡɦɵ,

ɟɫɥɢ

ɭɝɨɥ

ɦɟɠɞɭ

ɚ) Ɋɟɲɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ

ɩɥɨɫɤɨɫɬɹɦɢ A1BC ɢ ABC ɪɚɜɟɧ 30q.

sin2x

sinx

Ɋɟɲɟɧ

ɟ.

ɛ)

ɇɚɣɞɢɬɟ

ɜɫɟ

ɤɨɪɧɢ

ɷɬɨɝɨ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ,

ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɳɢɟ

ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɭ

ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɩɪɢɡɦɚ ɩɪɹɦɚɹ,

ɬɨ ɥɸɛɚɹ ɩɪɹɦɚɹ, ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɚɹ ɪɟɛɪɭ AA1, ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɚ

5ʌ

3ʌ º

2 ;

».

ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ABC. ɉɭɫɬɶ G ɢ F — ɫɟɪɟɞɢɧɵ ɪɺɛɟɪ A1D1 ɢ AD ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ, ɬɨɝɞɚ

AA1 ɢ ɩɨɷɬɨɦɭ GF – ɜɵɫɨɬɚ ɩɪɢɡɦɵ ɢ GF A ABC.

Ɋɟɲɟɧ

ɟ.

ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ BF – ɦɟɞɢɚɧɚ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɝɨ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ ABD, ɬɨ BF – ɟɝɨ ɜɵɫɨɬɚ, ɩɪɢɱɺɦ

ɚ) ɋɞɟɥɚɟɦ ɡɚɦɟɧɭ t

. ɉɨɥɭɱɢɦ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ t:

3. Ɂɧɚɱɢɬ, FB A AD.

Ɉɬɫɸɞɚ FB A BC,

ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ

AD.

ɉɪɹɦɚɹ FB

sinx

0; (t

1)(t

ɩɪɨɟɤɰɢɹ ɩɪɹɦɨɣ GB ɧɚ ɩɥɨɫɤɨɫɬɶ ABC,

ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, GB A BC ɩɨ ɬɟɨɪɟɦɟ ɨ ɬɪɺɯ

ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɚɯ. Ɉɬɫɸɞɚ

ɫɥɟɞɭɟɬ,

ɱɬɨ

GBF

ɥɢɧɟɣɧɵɣ ɭɝɨɥ ɞɜɭɝɪɚɧɧɨɝɨ ɭɝɥɚ,

1 ɢɥɢ t

sinx

1 ɢɥɢ sinx

1 .

ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɧɨɝɨ ɩɥɨɫɤɨɫɬɹɦɢ A1BC ɢ ABC. ɂɡ ɭɫɥɨɜɢɹ

GBF

30q. ɂɡ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɨɝɨ

FBtg30q

2ʌn, x

2ʌn ɢɥɢ x

5ʌ

2ʌn, n ].

ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ GFB ɧɚɯɨɞɢɦ GF

ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, x

ɛ) ɉɪɢ ɩɨɦɨɳɢ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɣ

ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ

ɨɬɛɟɪɺɦ

ɤɨɪɧɢ,

ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɳɢɟ

5ʌ

3ʌ

13ʌ

, x

3ʌ

ɨɬɪɟɡɤɭ «

2 ;

»:

2 .

Ɉɬɜɟɬ: 1.

Ɉɬɜɟɬ

ɚ)

2ʌn, n ];

5ʌ

2ʌn,

n ];

ɛ)

13ʌ ;

ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ

Ȼɚɥɥɵ

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧ ɜɟɪɧɵɣ ɨɬɜɟɬ

3ʌ .

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɧɵɣ ɩɟɪɟɯɨɞ ɤ ɩɥɚɧɢɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɣ ɡɚɞɚɱɟ,

ɧɨ

ɩɨɥɭɱɟɧ ɧɟɜɟɪɧɵɣ ɨɬɜɟɬ ɢɥɢ ɪɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɡɚɤɨɧɱɟɧɨ.

ɂɅɂ

ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ

Ȼɚɥɥɵ

ɉɪɢ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɦ ɨɬɜɟɬɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɧɟɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɨ

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧɵ ɜɟɪɧɵɟ ɨɬɜɟɬɵ ɜ ɩ.

) ɢ ɜ ɩ. ɛ)

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧ ɜɟɪɧɵɣ ɨɬɜɟɬ ɜ ɩ.)

, ɧɨ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɢɟ ɨɬɛɨɪɚ ɤɨɪɧɟɣ

Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ ɛ ɥɥ

ɜ ɩ ɛ) ɧɟ.

ɩɪɢɜɟɞɟɧɨ, ɢɥɢ ɡɚɞɚɱɚ ɜ ɩ

) ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɫɜɟɞɟɧɚ ɤ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɸ

ɩɪɨɫɬɟɣɲɢɯ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɛɟɡ ɩɪɟɞɴɹɜɥɟɧɢɹ ɜɟɪɧɨɝɨ

ɨɬɜɟɬɚ, ɚ ɜ ɩ. ɛ) ɩɪɢɜɟɞɺɧ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɧɵɣ ɨɬɛɨɪ ɤɨɪɧɟɣ

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ

Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ

ɛ ɥɥ

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14.07.202031.19 Кб131геометрия 10_11 классы.docx