15. Пример функции полезности для лпр склонного к риску.

Для ЛПР, любящего рисковать, психологические выгоды от возможности выиграть Δх рублей превосходят переживания из-за такой же потери. Подобное отношение к риску описывается "выпуклой вниз" функцией полезности (рисунок ниже):

Из графика видно, что предельная полезность богатства инвестора склонного к риску возрастает по мере роста его богатства. Кроме того, при изменении богатства на одинаковую величину при его росте его предельная полезность увеличивается в большей степени в сравнении с ее падением при уменьшении богатства. В результате, среди активов с одинаковым ожидаемым доходом, но разным риском, инвестор предпочтет более рискованный актив. Поскольку функция полезности не склонного к риску инвестора является возрастающей, то ее первая производная положительна, т.е. U'(w)> 0. Предельная полезность является величиной возрастающей, поэтому вторая производная функции полезности также положительна, т.е. U"(w)> 0.

16. Мера несклонности к риску. Обоснование. Интерпретация функции несклонности к риску.

Определение. ЛПР не склонен к риску, если он предпочитает получить наверняка ожидаемый выигрыш в любой невырожденной лотерее вместо участия в этой лотерее. В этой ситуации полезность ожидаемого выигрыша любой лотереи должна быть больше ожидаемой полезности этой лотереи. Таким образом, ЛПР не склонен к риску, если для любой невырожденной лотереи. u(E()) > E(u())

Один индивидуум более несклонен к риску, чем другой, если для предложенной лотереи надбавка за риск для первого индивидуума больше, чем для второго.

Теорема . ЛПР не склонен к риску тогда и только тогда, когда его функция полезности вогнута.

Следствие. ЛПР, который предпочитает получение наверняка ожидаемого выигрыша любой лотереи [x1,0.5; x2,0.5] (для любых неравных друг другу x1 и x2) участию в самой лотерее, не склонен к риску.

Свойства при возрастающих функциях полезности. Разумно полагать, что мера несклонности к риску должна быть связана со второй производной функции полезности u’’(x), так как

u’’(x)>0 ЛПР склонен к риску (выпуклость u)

u’’(x)=0 нейтральное отношение к риску (линейная u)

u’’(x)<0 ЛПР не склоненк риску (вогнутость u)

Один индивидуум более несклонен к риску, чем другой, если для предложенной лотереи надбавка за риск для первого индивидуума больше, чем для второго.

ЗАМЕТИМ, ЧТО u1 и u2 СТРАТЕГИЧЕСКИ ЭКВИВАЛЕНТНЫ

Для установления меры «несклонности к риску» необходимо учесть, чтобы такая мера:

1) указывала, что отражает функция полезности – несклонность или же, напротив, склонность к риску (т.е. включала u’’);

2) Была бы одинаковой для стратегически эквивалентных функций.

Если u1 и u2 стратегически эквивалентные функции, то

u2 = a + b u1, → u2’ = b u1’ u2’’ = b u1’’

u2’’/u2’ = u1’’/u1’

Таким образом, подходящей мерой является u’’/u’

Локальная несклонность к риску в точке x определяется с помощью функции несклонности

r(x)= - u’’(x)/ u’(x)

С вычислительной точки зрения полезно заметить, что r(x)= - (d/dx) [log u’(x)]

Комментарий: ≡ обозначает «тождественно равно» (не зависимо от значений переменных)

Теорема. Две функции полезности стратегически эквивалентны тогда и только тогда, когда они приводят к одной и той же функции несклонности к риску.

Док-во. Необходимость. Пусть u2 = a + b u1 u2’ = b u1’, u2’’ = b u1’’ . Тогда

r2(x) ≡ - u2’’(x) / u2’(x) = - (b u1’’(x)) / (b u1’(x)) = - u1’’(x) / u1’(x) ≡ r1(x)

Интерпретация функции несклонности к риску

Обозначим - первоначальное состояние, регистрируемое по шкале критерия X. Введем дополнительно - лотерею с ожидаемым выигрышем E()=0. Обозначим ) - надбавку за риск ЛПР к лотерее . В этих обозначениях можно показать, что

π(х_0,х ̃ )≈1/2 σ_х^2 r(х_0)

r(х_0)≈2 π(х_0,х ̃ )/(σ_х^2 )

Т.е. функция несклонности к риску равна удвоенной надбавке за риск, приходящейся на единицу дисперсии лотереи .