1.3 Случайные величины

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение (какое именно, заранее неизвестно).

Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Если множество значений случайной величины конечно или счетно (если ее значения можно пронумеровать), то Х = {х₁, х₂, …, х_k, …}, то она называется дискретной (прерывной). Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины – бесконечно.

Вероятность Р(Х < х) того, что случайная величина Х окажется меньше некоторого вещественного числа х, называется функцией распределения Х, обозначается F(x) и определяется следующим образом:

F(x) = P(X < x).

Свойства функции распределения:

1. 0 ≤ F(x) ≤ 1;

2. F(x₁) ≤ F(x₂), если х₁ < x₂ (F(x) – неубывающая функция);

3. F(–∞) = 0;

4. F(+∞) = 1;

5. P(α < X < β) = F(β) – F(α).

Рядом распределения дискретной случайной величины X называется таблица, где перечислены возможные (различные) значения этой случайной величины с соответствующими им вероятностями:

xi	x1	x2	…	xn
pi	p1	p2	…	pn

Так как в результате опыта случайная величина обязательно принимает какое-то возможное значение, то .

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения.

Основные числовые характеристики дискретной случайной величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х (обозначается М[Х] или m_x) называется величина

. (4.6)

Вероятностный смысл математического ожидания – это приблизительно среднее значение случайной величины Х. Основные свойства математического ожидания:

1. М[С] = С (С = const);

2. М[СХ] = С М[Х];

3. М[X + Y] = М[X] + М[Y].

Дисперсией D[Х] или D_x дискретной случайной величины Х называется величина

. (4.7)

Дисперсия характеризует рассеивание случайной величины около ее математического ожидания. Формулу (4.6) можно преобразовать к более удобному для вычисления виду:

.

Чаще рассеивание характеризуют средним квадратическим отклонением σ – величиной, имеющей ту же размерность, что и сама случайная величина Х:

. (4.8)

Основные свойства дисперсии для независимых случайных величин:

1. D_x ≥ 0;

2. D[C] = 0;

3. D [CX] = C²D[X];

4. D[X + Y] = D[X] + D[Y].

Основные законы распределения дискретной случайной величины

1) Дискретная случайная величина X называется распределенной по биномиальному закону, если ее возможные значения 0, 1, ..., n, а вероятность того, что Х = m, выражается формулой вычисляется по формуле:

,

Для биномиального распределения:

m_x = np,

.

2) Рассматривая вновь распределение Бернулли . Если число испытаний велико, а вероятность наступления события в каждом испытании мала (меньше 0,1), т.е. n → ∞, p → 0, предполагая, что np = λ = const, вероятность того, что данная случайная величина примет значение, равное m, может быть вычислена по формуле (кот-я выводится из ф-лы Бернулли):

Данное распределение называется распределением Пуассона. Его числовые характеристики:

m_x = λ, D_x = λ .

Т.обр., для распределения Пуассона m_x = D_x.

Пример:

Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изданий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что па базу прибудут 3 негодных изделия.

Решение. По условию n=5000, p=0,0002, m= 3. Найдем λ:

λ = nр=5000 • 0,0002 = 5000*0,0002=1

Искомая вероятность по формуле Пуассона приближенно равна:

.■