- •1 Вопрос Множество элементных событий и определения события
- •2 Вопрос Операции над событиями
- •3 Вопрос Опотный факт для создания теории
- •4 Вопрос Аксиомы теории вероятности
- •5 Ответ Принцип практической уверенности и план и планы его использования
- •6,7 Ответ Зависимые и независимые события. Условная вероятность события.
- •8 Ответ Формула полной вероятности.
- •9 Ответ
- •10 Ответ (схема Бернулли)
- •20 Вопрос Законы распределения непрерывных случайных величин
- •21 Вопрос Нормальное распределение
- •23 Вопрос
- •24 Вопрос Функции случайных аргументов
- •25 Вопрос
- •26 Вопрос Ковариация, коэффициент корреляции.
- •27 Вопрос Свойства дисперсии
- •28 Вопрос средняя арифметическая простая и взвешенная.
- •29 Вопрос Состоятельная оценка неизвестного параметра с в
- •30 Вопрос
- •31 Вопрос Эфективная оценка
- •32 Вопрос метод максимального правдоподобия для отыскивания оценок
- •33 Вопрос
9 Ответ
Формула Байеса.
Следствием правила умножения, и формулы полной вероятности является теорема гипотез или формула Байеса.
По условиям опыта известно, что гипотезы несовместны, образуют полную группу событий:
Ø при и .
Вероятности гипотез до опыта (так называемые «априорные вероятности») известны и равны
;
Предположим, что опыт произведен и в результате появилось событие A. Спрашивается, как нужно пересмотреть вероятность гипотез с учетом этого факта, или, другими словами, какова вероятность того, что наступлению события A предшествовала гипотеза (послеопытные вероятности называются апостериорными):
.
Вероятность наступления события A совместно с гипотезой Hk определяется с использованием теоремы умножения вероятностей:
P(AÇHk)=P(Hk)×P(A/Hk)=P(A)×P(Hk/A). (3.6)
Таким образом, можно записать:
P (Hk/A) =P (Hk) ×P (A/Hk)/P (A). (3.7)
С использованием формулы полной вероятности
. (3.8)
Формула (3.8) называется формулой Байеса. Она позволяет пересчитывать вероятности гипотез в свете новой информации, состоящей в том, что опыт дал результат А
10 Ответ (схема Бернулли)
Под схемой Бернулли понимают конечную серию повторных независимых испытаний с двумя исходами. Вероятность появления (удачи) одного исхода при одном испытании обозначают , а непоявления (неудачи) его . Я. Бернулли установил, что вероятность ровно успехов в серии из повторных независимых испытаний вычисляется по следующей формуле:
То значение , при котором число является максимальным из множества { }, называется наивероятнейшим, и оно удовлетворяет условию
np - q m np+ p,
Формулу Бернулли можно обобщить на случай, когда при каждом испытании происходит одно и только одно из событий с вероятностью ( . Вероятность появления раз первого события и - второго и -го находится по формуле
При достаточно большой серии испытаний формула Бернулли становится трудно применимой, и в этих случаях используют приближенные формулы. Одну из них можно получить из предельной теоремы Пуассона:
Таблица значений функции имеется в приложении 3.
20 Вопрос Законы распределения непрерывных случайных величин
Закон распределения непрерывной случайной величины нельзя задать также, как для дискретной. Он неприменим в силу того, что нельзя перечислить все бесконечное несчетное множество значений, а вероятности каждого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равны нулю.
Для описания закона распределения непрерывной случайной величины Х предлагается другой подход: рассматривать не вероятности событий Х=х для разных х, а вероятности события Х<х. При этом вероятность P(X<x) зависит от текущей переменной, т. е. является некоторой функцией от х.
Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х:
.
Функцию F(x) называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.