5.8. Приложение методов статики к определению усилий в стержнях фермы

При перекрытии больших пролетов (мосты, промышленные здания и т.п.) и в крупных строительных кранах часто применяются сквозные конструкции, называемые фермами (рис. 5.23). Ферма состоит из большого числа стержней, соединенных в точках схода их осей; соединения стержней называются узлами.

Важной частью инженерного расчета фермы является определение усилий, возникающих в стержнях при действии заданной нагрузки на ферму.

При этом обычно исходят из следующих упрощающих предположений: внешние силы приложены только в узлах фермы; веса стержней пренебрежимо малы; узлы представляют собой идеальные шарниры (т. е. силы трения в них не возникают).

рис. 5.23.

При таких допущениях сила, действующая со стороны какого-либо узла на примыкающий к нему стержень (усилие в стержне), всегда направлена вдоль прямой, проходящей через концы этого стержня. Поэтому стержни, если они прямолинейные, либо растягиваются, либо сжимаются под действием этих сил.

Прежде чем обратиться к определению усилий в стержнях, необходимо рассмотреть вопросы структуры ферм.

Простейшей плоской фермой является трехстержневая ферма ABC, изображенная на рис. 5.24 а; она содержит три узла.
	Рис. 5.24.

Если к этой конструкции добавить еще один узел D с помощью двух стержней, то вновь получится неизменяемая ферма, содержащая пять стержней и четыре узла (рис. 5.24 б). Добавляя этим же способом новые узлы, как показано на рис. 5.24 б штриховой линией, можно образовать множество более сложных ферм.

Простой плоской фермой называется такая ферма, которая может быть получена из треугольной путем последовательного присоединения каждого нового узла при помощи двух новых стержней.

Найдем связь между числом s стержней и числом узлов в простой ферме. Число добавляемых узлов в простой ферме равно , а число добавляемых стержней равно . Из способа построения простой фермы видно, что число новых стержней в два раза больше числа новых узлов; следовательно,

,

т.е. . (5.34)

Простая ферма всегда статически определима, т.е. число независимых уравнений статики достаточно для определения усилия в каждом стержне.

В самом деле, для каждого узла можно составить два уравнения равновесия, так как на узел действует сходящаяся система сил. Таким образом, всего можно составить уравнений равновесия. Подсчитаем теперь число содержащихся в них неизвестных. Прежде всего неизвестными будут все реакций стержней, кроме того, неизвестны три опорные реакции (на , , рис. 5.23). Таким образом, всего имеем неизвестных. Воспользовавшись соотношением (5.34), получим

,

т. е. число неизвестных равно числу уравнений равновесия, поэтому простые фермы всегда статически определимы.

При расчете ферм обычно составляют сначала три уравнения равновесия для всей фермы, определяют из них три опорные реакции, а затем уже приступают к нахождению усилий в стержнях.

Рассмотрим способ расчета фермы, который позволяет найти усилие в любом стержне фермы независимо от усилий в других стержнях. Согласно этому способу предварительно необходимо определить реакции опор. Для этого следует рассматривать ферму как абсолютно твердое тело и написать соответствующие три уравнения равновесия. Затем мысленно производится полное рассечение фермы на две части; при надлежащем выборе сечения мысленно перерезаются, как правило, три стержня. Поэтому для определения трех неизвестных усилий могут быть записаны три уравнения равновесия сил, приложенных к какой-либо из полученных частей фермы. Чаще всего пользуются уравнениями в форме (5.17), но иногда пользуются и формой (5.18).

Рассмотрим для примера ферму, изображенную на рис. 5.25, и предположим, что опорные реакции найдены. Пусть требуется определить усилие в стержне 4. Для этого мысленно рассечем ферму разрезом и рассмотрим равновесие левой части

Рис. 5.25.

фермы, изображенной на рис. 5.25 а (вместо этого можно рассматривать правую часть фермы – результат от этого не изменится, но вычисления окажутся более громоздкими). На эту часть действуют известные силы и , а также три неизвестные по модулю силы . Для определения искомой величины силы составляем уравнение моментов относительно точки пересечения направлений 1 и 3 (точка О₄); при таком выборе моментной точки усилия и в уравнение равновесия не войдут и оно будет содержать только одну неизвестную величину – искомое усилие (такой выбор точек, относительно которых берут моменты, типичен для рассматриваемого способа). Обычно при составлении уравнения равновесия величины плеч сил снимаются с чертежа с учетом его масштаба. Понятно, что решение полученного уравнения не вызовет никаких затруднений. Совершенно таким же образом составляются уравнения моментов относительно точки О₁ (для определения усилия ) и точки О₃ (для определения усилия ).

Для определения усилий в других стержнях требуются иные рассечения фермы; так, на рис. 5.25 а показано также рассечение , необходимое для определения усилий в стержнях 7, 9 и 10. Для определения указанных усилий проще рассматривать равновесие правой части фермы, как это показано на рис. 5.25 в. Через О₇ и О₁₀ обозначены точки, относительно которых берутся моменты; мы получим по одному неизвестному усилию в каждом из уравнений моментов. Определение усилия в стержне 9 обладает некоторой особенностью. Дело в том, что точка пересечения усилий и бесконечно удалена и уравнение моментов составить нельзя. В этом случае вместо него можно составить уравнение проекций на ось у, что позволит достигнуть той же цели: получить уравнение с одним неизвестным усилием .

Способ рассечения весьма удобен для простых схем ферм, образованных путем наращивания последовательных треугольников. В более сложных случаях все же приходится решать громоздкие системы уравнений, так как не удается проводить сечение только через три стержня. Иногда применяется графический способ определения усилий стержнях фермы.

Рис. 5.26.

Предполагая, что опорные реакции фермы определены, для нахождения усилий в стержнях применим способ «вырезания» узлов. Согласно этому способу необходимо поочередно «вырезать» узлы и находить усилия в стержнях из условий замкнутости силовых многоугольников для каждого из узлов.

Для определенности рассмотрим ферму, изображенную на рис. 5.26 а, где показаны внешние силы и опорные реакции и . Расчет всегда нужно начинать с того узла, где сходятся два стержня. Начнем с рассмотрения равновесия узла 1, на который действуют сила и неизвестные по величине реакции стержней и . Графическим условием равновесия сходящейся системы сил является замкнутость силового многоугольника.

При всех дальнейших построениях придерживаемся определенного масштаба сил. На рис. 5.26 б, дан силовой многоугольник для узла 1 (в данном случае – треугольник); величины сил и можно определить по масштабу сил. Сила направлена к узлу, следовательно, на стержень она действует в обратном направлении, т.е. стержень 1 сжат. Сила направлена от узла, значит, стержень 2 растянут. Заметим, что если начать расчет с узла , то определить усилия в стержнях 1, 3, 4 не удается, так как в узле сходится более двух стержней и силовой многоугольник однозначно не может быть построен.

Но теперь, после определения усилий в стержнях 1 и 2, можно перейти к расчету узла . Обходим его по часовой стрелке, начиная с первой известной силы – реакции стержня . Из условия равновесия стержня 1 очевидно, что эта реакция по модулю равна но направлена противоположно . На рис. 5.26 б она обозначена через . Затем от конца откладываем вектор и проводим направление параллельно стержню 4, а из начала вектора проводим направление реакций параллельно стержню 3. Получаем замкнутый многоугольник , , , и тем самым находим силы и . Направления векторов и показывают, что стержень 4 сжат («к узлу»), а стержень 3 растянут («от узла»). Рассматривая равновесие узлов определяем остальные реакции стержней , , , , .

Из рис. 5.26 б видно, что каждое из усилий в стержнях встречается дважды ( и , и , и т.д.). Оказывается, что, не меняя существа этого метода, можно его несколько усовершенствовать и избежать таких повторений. При этом получается особое построение, называемое «взаимной диаграммой» или диаграммой Максвелла – Кремоны. Метод построения такой взаимной диаграммы проиллюстрируем на только что разобранном примере.

Прежде всего введем единый метод обозначения усилий в стержнях, реакций опор и внешних сил. Обозначим буквами А, В, С, D, Е, F области, ограниченные внешними силами и стержнями контура фермы (рис. 5.27 а), а внутренние области, ограниченные только стержнями фермы, обозначим буквами G, Н, К, L. Далее, условимся обходить всю ферму, а также каждый узел по ходу часовой стрелки.

Рис. 5.27.

Начало и конец вектора силы, пересекаемой при таком обходе, будем обозначать малыми буквами, которые соответствуют названиям пограничных областей. Например, силу (рис. 5.27 а) теперь обозначим через (рис. 5.27 б), силу  – через , силы, действующие на узел , – через , , , и т.п.

Теперь построим многоугольник всех внешних сил, откладывая их в определенном масштабе в порядке обхода фермы по часовой стрелке; в результате мы получим многоугольник abcdefa (рис. 5.27 б). Конечно, этот многоугольник обязательно замкнут, так как ферма находится в равновесии. Мы теперь можем и не ставить на концах векторов стрелки – правило обхода областей по часовой стрелке однозначно определяет, где начало и конец вектора.

Далее воспользуемся способом вырезания узлов. Обойдем узел по часовой стрелке, начиная с известной силы . Эта сила уже имеется в многоугольнике внешних сил, и остается построить две другие силы, действующие на узел , т.е. силу и силу . Для этого из точек b и а проводим прямые, параллельные стержням 1 и 2; точка их пересечения даст нам точку g. Сила оказалась направленной к узлу, значит, стержень 1 сжат, сила направлена от узла, следовательно, стержень 2 растянут.

Обращаясь к узлу , обходим его также по часовой стрелке в порядке GBCH. Используя уже найденные точки g, b, с, находим точку h – конец силы и начало силы . Для этого из с проводим прямую, параллельную стержню 4, а из g – прямую, параллельную стержню 3; точка их пересечения и даст нам искомую точку h.

Продолжая такое построение дальше, для остальных узлов фермы мы получим фигуру (рис. 5.27 б), называемую взаимной диаграммой или диаграммой Максвелла – Кремоны. Каждому узлу фермы соответствует некоторый многоугольник диаграммы, стороны которого параллельны стержням, сходящимся в этом узле. Наоборот, каждой вершине диаграммы соответствует некоторая область плоскости фермы. Таким образом, любой вершине одной фигуры соответствует многоугольник другой фигуры; такие фигуры называются взаимными (отсюда и название диаграммы). Легко видеть, что эта фигура состоит из тех же многоугольников, которые ранее были построены на рис. 5.26 б. По принятому масштабу сил можно найти численное значение всех усилий в стержнях.

Таким образом, при построении взаимной диаграммы используется, по существу, тот же способ вырезания узлов, но здесь чертеж компактнее и не содержит повторений, в чем легко убедиться, сравнив чертежи на рис. 5.26 и рис. 5.27.