5.7. Определение реакций упругих опор твердого тела

Если твердое тело опирается на большое число опор, то задача определения реакций может оказаться статически неопределимой. Такова, например, балка, изображенная на рис. 5.20 а.. Очевидно, что трех уравнений равновесия недостаточно для определения пяти реакций, т.е. система статически неопределимая (единственная определимая реакция, горизонтальная реакция левой опоры, равна нулю).

Рис. 5.20.

Задача определения реакций в таких системах, вообще говоря, выходит за рамки курса теоретической механики и чаще всего требует использования методов сопротивления материалов. При этом приходится отказываться от предположения об абсолютной жесткости балки и исследовать ее изгиб под действием заданной нагрузки и неизвестных реакций (рис. 5.20 б).

Однако среди статически неопределимых задач встречаются такие, которые не требуют привлечения сложных соображений. Здесь мы имеем в виду такие системы, которые можно схематизировать в виде абсолютно твердых тел, покоящихся на упругих опорах. Примером может служить та же балка (в предположении ее абсолютной жесткости), лежащая на упругих опорах, показанных на рис. 5.20 в.

В качестве дополнительного условия примем, что реакции опор пропорциональны их осадкам при одинаковом для всех опор коэффициенте жесткости; по-видимому, это условие приемлемо в тех случаях, когда физические свойства всех опор одинаковы. Как мы сейчас убедимся, это условие вместе с уравнениями равновесия позволяет легко найти все опорные реакции независимо от их числа. После приложения нагрузки опоры несколько осядут, а балка займет новое положение. Принимая координатные оси, как показано на рис. 5.20 в, мы можем записать уравнение смещенной оси балки в виде .

Обоснованный выбор расчетной схемы в виде б) или в) определяется конкретными соотношениями жесткости балки и опор. Однако случай б) мы вынуждены оставить в стороне и будем рассматривать только случай в). Обозначим соответственно осадки опор через (рис. 5.21),

Рис. 5.21.

причем

(  – абсцисса j-и опоры). По предположению, величины реакций опор пропорциональны осадкам

,

где  – коэффициент жесткости; для определения реакций значение коэффициента жесткости несущественно. Введем неизвестные параметры и , тогда реакции всех опор будут выражены через эти две неизвестные:

. (5.27)

Для их определения воспользуемся двумя уравнениями равновесия плоской системы параллельных сил (рис. 5.21):

(5.28)

здесь  – число заданных сил,  – число неизвестных реакций. Подставляя выражение (5.27) в систему уравнений (5.28), получим

Отсюда находим

Внося эти значения и в формулу (5.27), получим решение задачи. К той же категории относится и следующая задача.

Задача 5.9. К жесткой плите А, прикрепленной несколькими болтами к основанию В, приложена активная пара сил, действующая в плоскости плиты. Момент пары равен М, координаты центров болтов и известны (рис. 5.22 а). Под действием пары произойдут малые деформации болтов и плита повернется вокруг некоторого центра («центра жесткости») на малый угол.

Найти положение центра жесткости и усилия, действующие на каждый болт, считая, что усилия перпендикулярны радиусам-векторам центров болтов, проведенным из центра жесткости. Усилия можно принять пропорциональными модулям этих радиусов-векторов.

Схема сил, действующих на плиту, представлена на рис. 5.22 б, причем через обозначены реакции болтов. Система сил , вместе с моментом М (рис. 5.22 б) находится в равновесии и должна удовлетворять трем уравнениям равновесия. Очевидно, что этих трех уравнений недостаточно для нахождения всех усилий, так как общее число неизвестных равно (каждое усилие определяется двумя проекциями на координатные оси х и у). Тем не менее, нам удастся решить до конца эту задачу, опираясь на указанные выше дополнительные условия.

Обозначим через и искомые координаты центра жесткости и через  – радиусы-векторы центров болтов, проведенные из центра жесткости (рис. 5.22 в). Усилия , как было сказано, принимаются пропор-

Рис. 5.22.

циональными величинам , т.е.

(5.29)

где  – коэффициент пропорциональности.

Проекции усилий на оси координат, очевидно, будут

Подставляя сюда выражение (5.29), находим

(5.30)

Заметим, что все неизвестные составляющие реакций выражены всего через три числа: координаты центра жесткости , и коэффициент пропорциональности . Для определения этих величин мы располагаем тремя уравнениями равновесия:

(5.31)

Последнее уравнение представляет собой уравнение моментов всей системы сил относительно центра жесткости О_*, причем для момента силы имеем

Из первых двух уравнений системы (5.31) находим координаты центра жесткости

(5.32)

после чего из третьего уравнения следует

. (5.33)

Теперь можно с помощью формул (5.29) найти все усилия .