9.2. Метод ведущих факторов
В экономической жизни все взаимосвязано, но есть факторы, которые влияют сразу на все показатели. Таких факторов может быть несколько. Например, цены на энергоносители, недвижимость, кредиты и т. д. Рассмотрим один из таких ведущих факторов, не определяя пока его природу.
Пусть R
- эффективность i-ой ценной
бумаги, F-ведущий фактор
фондового рынка. Будем считать, что
эффективность всех вложений зависит
от него. Простейшая зависимость линейна
(см. рис. 9.1.). Примем гипотезу:
+εi,
(9.1)
где εi - случайные погрешности линейного представления эффективности i-ой ценной бумаги R через ведущий фактор F. Предполагается, что математические ожидания погрешностей равно нулю E(εi) = 0. и погрешности εi и εj попарно взаимно некорелированы E(εi · εj) = 0 и некорелированы с ведущим фактором E(εi · F) = 0.
Рис.9.1.
Определить
постоянные значения
и
можно по синхронным измерениям
эффективностей R1,
R2, … Rn,
и ведущего фактора F
методом наименьших квадратов, т. е.
построить линейную парную регрессию
(см. приложение).
Тогда, из (9.1) при
известных
,
,
известном математическом ожидании mF
и дисперсии
ведущего фактора F и
известной дисперсии погрешности
могут быть получены оценки для
математических ожиданий эффективностей
ценных бумаг:
(9.2)
Вычитая из (9.1) формулу (9.2) получим:
Следовательно, дисперсия эффективности ценной бумаги будет равна:
(9.3)
Для ковариаций соответственно получим:
(9.4)
Таким образом, полученные математические ожидания эффективностей ценных бумаг (9.2) и элементы ковариационной матрицы (9.3) и (9.4) могут быть использованы для построения оптимальных портфелей ценных бумаг.
Заключение
В заключении отметим, что в СЗАГС разработаны и используются в учебном процессе специализированные программы для финансовых расчетов и оценок финансовых рисков. Кроме того, в СЗАГС имеются методики, позволяющие решать указанные выше задачи универсальными программными математическими средствами Matcad, Matlab и Maple.
Приложение Элементы теории вероятностей и математической статистики
Для построения портфеля ценных бумаг требуются оценки математических ожиданий эффективности ценных бумаг и ковариационная матрица эффективностей ценных бумаг. Воспользуемся методами эконометрики для оценки математического ожидания и ковариационной матрицы.
Пусть X – случайная величина, в том числе может быть и эффективность какой-либо ценной бумаги. В статистике и в эконометрике, в частности, удобно использовать понятие генеральной совокупности и выборки.
Генеральная совокупность – это множество всех возможных значений случайных величин X.
Из генеральной
совокупности X
последовательно выбирается n
значений случайных величин
.
Множество значений случайных величин
называется выборкой объема n
случайной величины X.
Имея выборку, можно построить оценку математического ожидания или выборочное математическое ожидание в виде среднего арифметического:
(П.1)
или 
(П.2)
Как связаны выборочное математическое ожидание и истинное математическое ожидание генеральной совокупности?
Пусть генеральная
совокупность имеет математическое
ожидание
и дисперсию
.
Если предполагать, что производится
оценка математического ожидания по
формуле (П.1) для всевозможных выборок
длины n из генеральной
совокупности, то оценка
становится случайной величиной. Можно
доказать, что математическое ожидание
совпадает с истинным математическим
ожиданием генеральной совокупности,
т. е.:
(П.3)
Действительно, в
(П.1)
будут случайными величинами с
математическим ожиданием
.
,
где i=1,2…,n
Тогда имеем:
ч.
т. д.
Свойство (П.3) называют несмещенностью оценки математического ожидания.
Оценка дисперсии может быть произведена по формуле:
(П.4)
или
(П.5)
Расчет удобно производить по формулам:
(П.6)
Оценки (П.4) и (П.6) являются смещенными.
Для дисперсии случайной величины несмещенной оценкой будет:
(П.7)
или 
(П.8)
Точнее, можно
доказать, что
,
что и означает несмещенность оценки
дисперсии (П.7), (П.8). Доказательство этого
факта достаточно громоздко и опущено
в данном изложении.
Несмещенные оценки необходимо использовать при небольшом объеме выборки.
1) Свойства математического ожидания:
1.
,
где С – постоянная;
2.
,
где k постоянный коэффициент;
3.
,
в частности,
.
2) Свойства дисперсии:
1.
,
где c – постоянная;
2.
,
где k - постоянный
коэффициент;
3.
, где c – постоянная;
4.
,где
vxy
– ковариация случайных величин x и
y.