6.2. Оценка доходности и риска портфеля ценных бумаг

Предположим, что портфель инвестора содержит n ценных бумаг с эффективностями R₁, R₂, , R_n. На приобретение ценных бумаг истрачена сумма, которую удобно принять за единицу. Пусть x₁, x₂, , x_n – суммы, потраченные на приобретение 1, 2, , n-ой бумаги. Тогда:

х₁+х₂++х_n=1 или . (6.1)

Эффективность портфеля будет равна:

или . (6.2)

Используя свойства линейности математического ожидания, для ожидаемой (средней) эффективности портфеля m получим:

,

или окончательно:

. (6.3)

Отклонение эффективности портфеля R от ожидаемой эффективности равно:

.

Математическое ожидание квадрата отклонения (R-m)² является дисперсией (вариацией). Оно определяет меру риска для портфеля и равно в силу линейности математического ожидания величине:

Окончательно:

, (6.4)

где – ковариация случайных величин R_i и R_j.

Она связана с коэффициентами корреляции k_ij случайных величин R_i и R_j формулой:

, (6.5)

где

– дисперсия R_i;

– дисперсия R_j.

Таким образом, риск портфеля инвестора определяется дисперсией, являющейся квадратичной формой относительно x₁, x₂, , x_n и заданной симметричной матрицей:

(6.6)

где .

В развернутом виде (6.4) запишется:

. (6.7)

Выпишем основные уравнения, характеризующие портфель:

(6.8)

Далее рассмотрим частные случаи.

6.3. Портфель из независимых ценных бумаг. Диверсификация портфеля

Предположим, что портфель инвестора состоит из попарно некоррелированных ценных бумаг. Тогда ковариация _ij=0 при ij. Используя уже введенное ранее обозначение , получим для дисперсии (6.4) или (6.7):

. (6.9)

Предположим, что инвестор вложил свои деньги равными порциями во все ценные бумаги. Тогда и из (6.9) получаем для ожидаемого эффекта:

, (6.10)

для риска:

. (6.11)

Пусть равна максимальной дисперсии из . Тогда, для меры риска может быть получена оценка:

.

Очевидно, при росте числа независимых ценных бумаг, включенных в портфель, риск портфеля стремится к нулю, т. е. .

Этот результат в теории финансового рынка известен как эффект диверсификации портфеля.

6.4. Портфель из коррелированных ценных бумаг

В отличие от предыдущего пункта предположим, что эффективности ценных бумаг попарно коррелированны, т. е. для i и j бумаги (ij) коэффициент корреляции равен 1. Тогда, k_ij=1 (ij), из (6.5) _ij=_i_j и риск из (6.4) равен:

.

Произведем простую диверсификацию, вложив деньги в равных долях , тогда:

.

Для среднеквадратического отклонения, оценивающего риск, получаем:

. (6.12)

Отсюда, риск будет меняться в пределах:

,

где _{min (max)} – минимальное (максимальное) значение среднеквадратического отклонения для всех купленных ценных бумаг, т.е. min (max) из ₁, ₂, , _n.

Диверсификация портфеля при полной корреляции не дает положительного эффекта. Риск портфеля равен среднему арифметическому рисков отдельных бумаг и не стремится к нулю при увеличении количества бумаг (n).

6.5. Портфель из антикоррелированных ценных бумаг

Рассмотрим упрощенный модельный случай, отражающий, впрочем, суть проблемы. Пусть портфель инвестора состоит из двух ценных бумаг, находящихся в состоянии обратной корреляции (или антикорреляции). Тогда, коэффициент корреляции между эффективностями 1-ой и 2-ой ценной бумагой равен

-1: . Отсюда, дисперсия, оценивающая риск портфеля, равна:

.

Очевидно, если деньги инвестора разделены в пропорции , то риск портфеля равен нулю.

Учитывая, что х₁+х₂=1, получим:

.

Эффективность портфеля равна:

и будет лежать в пределах от min (m₁, m₂) до mах (m₁, m₂).

Таким образом, при наличии антикорреляции возможен портфель инвестора с нулевым риском.