С помощью средств алгебры логики

1. 1) При составлении расписания на понедельник преподаватели просили, чтобы уроки проходили в следующем порядке:

2. а) математика первым или третьим уроком;

3. б) история - первым или вторым;

4. в) литература - вторым или третьим.

5. Можно ли удовлетворить просьбы всех трех преподавателей и каким образом, если это возможно?

6. Введем следующие элементарные высказывания:

7. А - математика – I урок

8. В - математика - III урок

9. С - история - II урок

10. D - история - I урок

11. E - литература - II урок

12. F - литература - III урок

13. Просьбы всех преподавателей выражены высказываниями:

14. S₁=А∨В, S₂=C∨D, S₃=E∨D.

15. Высказывание, удовлетворяющее просьбы всех трех преподавателей, очевидно, есть конъюнкция S₁, S₂, S₃, т.е. S = S₁ & S₂ & S₃ и оно должно быть истинным, т.е. S=1. Применим дистрибутивный закон в преобразованиях S:

16. S=(A∨B)  (C∨D)  (E∨F)=(A&C∨B&C∨A&D∨B&D)  (E∨F)

17. В данном случае конъюнкция AD=0, т.к. первым уроком математика и история одновременно быть не могут.

18. S=ACЕ∨BCЕ∨BDЕ∨ACF∨BCF∨BDF

19. Очевидно АСЕ=0, т.к. СЕ=0: второй урок не может быть одновременно уроком истории и литературы. Аналогично: ВСЕ=0, BCF=0, BDF=0, т.е. S= BDЕ∨ACF=1.

20. Дизъюнкция истинна, если одно из слагаемых истинно: BDЕ=1; ACF=1.

21. Конъюнкция высказываний истинна, если истинны все входящие в нее сомножители. В результате получаем два возможных варианта ответа:

22. а) BDЕ=1, т.е. история – I урок,

23. литература – II урок,

24. математика – III урок.

25. б) ACF=1, т.е. математика – I урок

26. история - II урок,

27. литература - III урок.

2) Мама, прибежавшая на звон разбившейся вазы, застала всех трех своих сыновей в совершенно невинных позах: Саша, Ваня и Коля делали вид, что происшедшее к ним не относится. Однако футбольный мяч среди осколков явно говорил об обратном.

– Кто это сделал? – спросила мама.

– Коля не бил по мячу, – сказал Саша. – Это сделал Ваня.

Ваня ответил: – Разбил Коля, Саша не играл в футбол дома.

– Так я и знала, что вы друг на дружку сваливать будете, рассердилась мама. Ну, а ты что скажешь? – спросила она Колю.

– Не сердись, мамочка! Я знаю, что Ваня не мог этого сделать. А я сегодня еще не сделал уроки, – сказал Коля.

Оказалось, что один из мальчиков оба раза солгал, а двое в каждом из своих заявлений говорили правду. Кто разбил вазу?

Решение: Введем простые высказывания:

С - вазу разбил Саша

В - вазу разбил Ваня

К - вазу разбил Коля

Запишем с помощью этих обозначений утверждения мальчиков:

Саша: 1. ¬К 2. В

Ваня: 1. К 2. ¬С

Коля: 1. ¬В

Читаем условие: «один из мальчиков оба раза солгал, а двое в каждом из своих заявлений говорили правду»;

Как записать «Саша два раза солгал»? В этом случае оба его утверждения неверны, поэтому ¬К=0 и В=0, что равносильно К & ¬В=1.

«Саша два раза сказал правду»? в этом случае оба его утверждения неверны, поэтому ¬К=1 и В=1, что равносильно ¬К &В=1.

Если Коля солгал, а Саша и Ваня сказали правду, то ¬К &В=1 и К & ¬С=1 и В=1.

Заменив «И» на умножение, получаем ¬К&В&К&¬С&В=1, учитывая, что К&¬К=0, получаем в левой части равенства ноль; так как в правой части – единица, этого не может быть (равенство ложно при любых значениях К, С, В).

Если Ваня солгал, а Саша и Коля сказали правду, то ¬К&В=1 и ¬К &С=1 и ¬В=1, заменив «И» на умножение, получаем ¬К&В&¬К&С&¬В=1, учитывая, что В&¬В=0, получаем, что это равенство ложно при любых значениях К, С, В (этого не может быть).

Остается последний возможный вариант: если Саша оба раза солгал, а Ваня и Коля сказали правду, то К&¬В=1 и К&¬С=1 и ¬В=1, заменив «И» на умножение, получаем К&¬В&К&¬С&¬В=1, упростив это выражение с учетом равенств К&К=К и ¬В&¬В=¬В, получим К&¬В&¬С=1, то есть, при этом предположении вазу разбил Коля, а не Ваня и не Саша. Таким образом, вазу разбил Коля.

3) Пытаясь вспомнить победителей прошлогоднего турнира, пять бывших зрителей турнира заявили:

1. Антон был вторым, а Борис пятым.

2. Виктор был вторым, а Денис третьим.

3. Григорий был первым, а Борис третьим.

4. Антон был третьим, а Евгений шестым.

5. Виктор был третьим, а Евгений четвертым.

Впоследствии выяснилось, что каждый зритель ошибся в одном из двух своих высказываний. Каково было истинное распределение мест в турнире?

Решение: Обозначим высказывания зрителей символом Ху, где Х- первая буква имени участника турнира, а у - номер места, которое он занял в турнире. Так как в паре высказываний каждого зрителя одно истинно, а второе ложно, то будут истинными дизъюнкции этих высказываний: А₂vБ₅; В₂vД₃; Г₁vБ₃; А₃vЕ₆; В₃vЕ₄. Но тогда будет истинной и формула

F = (А₂vБ₅)&(В₂vД₃)&(Г₁vБ₃)&(А₃vЕ₆)&(В₃vЕ₄).

Путем простых равносильных преобразований легко показать, что F=Б₅&В₂&Г₁&А₃&Е₄=1, и значит Б₅=1; В₂=1; Г₁=1; А₃=1; Е₄=1, что и дает ответ на вопрос задачи. Автоматически получаем, что Денис был шестым.

Задания для самостоятельного решения.

Задание 1. Даны простые высказывания:

А = {5>3}, В = {2=3} и С = {4<2}. Определите истинность составных высказываний:

a)(AvB)&C => (A&C)v(B&C);

б) (A&B)vC ↔ (AvC)&(A&B)).

Задание 2. Составьте таблицы истинности и определите истинность формул:

а) ((С v В)В)А ВВ;

б) (¬А v В Ù С) Ù А Ù ¬С;

в) (АvВ) Ù (СvА)Ù (СvВ);

г) (АvВ)(¬ВvС)С.

Задание . Аня, Саша, Лена, Вася и Миша стали победителями олимпиад по физике, математике, астрономии, литературе и географии. Известно, что:

1. Победитель олимпиады по астрономии учит Аню и Сашу разбираться в звездах;

2. Лена и Вася тоже заинтересованы астрономией;

3. Саша не очень любит физику;

4. Лена, Саша и победитель по литературе занимаются плаванием;

5. Саша и Лена поздравили победителя по математике;

6. Аня сожалеет о том, что у нее мало времени на литературу.

Победителем, какой олимпиады стал каждый участник?

Задание . В школьном первенстве по настольному теннису в четверку лучших вошли девушки: Наташа, Маша, Люда и Рита. Самые горячие болельщики высказали свои предположения о распределении мест в дальнейших состязаниях. Один считает, что первой будет Наташа, а Маша будет второй. Другой болельщик на второе место прочит Люду, а Рита, по его мнению, займет четвертое место. Третий любитель тенниса с ними не согласился. Он считает, что Рита займет третье место, а Наташа будет второй. Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Какое место на чемпионате заняли Наташа, Маша, Люда, Рита?

Задание . В первом туре школьного конкурса «Эрудит» в четверку лучших вошли: Дима, Катя, Миша и Нина. И конечно, болельщики высказывали свои предположения о распределении мест во втором, финальном туре. Один считал, что первым будет Дима, а Миша будет вторым. Другой болельщик выразил надежду на то, что Катя займет четвертое место, а второе место достанется Нине. Третий же был уверен в том, что Катя займет третье место, а на втором месте будет Дима. В результате оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Какие места заняли Дима, Катя, Миша, Нина?

Задание . Алеша, Витя и Игорь после уроков нашли на полу в кабинете физики маленькую гирьку. Каждый из них, рассматривая находку, высказал два предположения. Алеша сказал: «Это гирька из латуни, и весит она, скорей всего, 5 г», Витя предположил, что гирька сделана из меди и весит 3 г. Игорь же считал, что гирька не из латуни и вес ее – 4 г. Учитель физики обрадовался, что пропажа нашлась, и сказал ребятам, что каждый из них прав только наполовину. Из какого металла – латуни (Л) или меди (М) – изготовлена гирька, и каков ее вес?

Задание . На олимпиаде по информатике участвовало пятеро учеников: Вася, Гриша, Иван, Саша и Юра. Об итогах олимпиады имеется 5 высказываний:

• Выиграл Вася, а Юра поднялся на второе место.

• Саша занял только второе место, а Вася был последним.

• Второе место занял Иван, а Гриша оказался третьим.

• На первом месте был Гриша, а Юра был четвертым.

• Юра был четвертым, а Иван вторым.

Известно, что в каждом высказывании одно утверждение верно, а второе – нет. Определите, кто занял второе место и на каком месте был Иван.

Задание . Пять человек (Артур, Максим, Настя, Олег и Рита) убирались в кабинете. Когда учитель их спросила, кто догадался протереть подоконники, ученики ответили следующее:

Максим: «Ни я, ни Олег подоконники не мыли».

Артур: «Их помыли Максим или Настя».

Рита: «Один из ребят сказал правду, а другой обманул».

Олег: «Нет, Рита, ты не права».

Настя: «Это был Олег».

Учитель знает, что трое учеников всегда говорят правду, а двое лгут. Кто протер подоконники?

стр. 24 из 24 Глотова М.Ю., Самохвалова Е.А.