- •Элементы алгебры логики. Использование логических законов при работе с информацией
- •Высказывания. Логика высказываний.
- •Основные логические операции
- •Формулы логики высказываний
- •Тавтология и противоречие.
- •Равносильные функции.
- •10) Законы дистрибутивности
- •11) Законы взаимовыразимости связок
- •Решение логических задач с помощью табличного метода
- •С помощью средств алгебры логики
Тавтология и противоречие.
Формула F(x1, x2, …, xn) называется тавтологией или тождественно истиной формулой, если при любых значения высказываний x1, x2, …, xn значение F=1.
Пример. Рассмотрим формул Аv¬А, соответствующая высказыванию «Этот треугольник прямоугольный или косоугольный». Эта формула истинна и тогда, когда треугольник прямоугольный, и тогда, когда треугольник не прямоугольный.
Тавтологии играют в логике особо важную роль как формулы, отражающие логическую структуру предложений, истинных в силу одной только этой структуры. Для доказательства того, что формула является тавтологией достаточно построить таблицу истинности для нее. В этой таблице столбец под самой формулой должен состоять только из единиц.
Формула F(x1, x2, …, xn) называется противоречием или тождественно ложной формулой, если при любых значения высказываний x1, x2, …, xn значение F=0.
Формула называется выполнимой, если существует такой набор значений переменных, при котором эта формула принимает значение 1. Формула называется опровержимой, если существует такой набор значений переменных, при котором эта формула принимает значение 0.
Примеры. 1) Рассмотрим формулу А&¬А которой соответствует, например, высказывание «Катя самая высокая девочка в классе, и в классе есть девочки выше Кати». Очевидно, что эта формула ложна, так как либо А, либо ¬А обязательно ложно.
2) Выяснить, является ли следующая формула тождественно истинной: F=((А→В)&¬В)→¬А.
Решение: Построим таблицу истинности заданной формулы, используя определения логических операций.
А |
В |
¬А |
¬В |
А→В |
(А→В)&¬В |
((А→В)&¬В)→¬А |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Так как последний столбец состоит только из 1, то формула тождественно истинна.
3) Выяснить, является ли следующая формула выполнимой: F=(¬AÚB)→(A&C).
Решение: Построим таблицу истинности заданной формулы, используя определения логических операций. Имеем:
A |
B |
C |
¬A |
¬AÚB |
A&C |
(¬AÚB)→(A&C) |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Поскольку на трех наборах (достаточно хотя бы на одном) функция принимает значение 1, то формула выполнима.