- •Курс лекций по теории электрических цепей
- •Основные определения, понятия и законы в теории электрических цепей
- •Закон Омадля участка цепи, не содержащего эдс:
- •Законы Кирхгофа
- •Цепи однофазного синусоидального тока
- •Среднее и действующее значение периодической функции
- •Элементы r,l,Cв цепях синусоидального тока
- •Сопротивление (r)
- •Индуктивность (l)
- •Ёмкость (с)
- •Изображение синусоидальных функций времени (напряжение, сила тока, мощности) векторами на комплексной плоскости
- •Основы символического или комплексного расчета цепей синусоидального тока
- •Резонанс напряжений
- •Параллельное соединение элементов r,l,c
- •Проводимости
- •Резонанс токов
- •Частотные характеристики параллельного колебательного контура
- •Мощности
- •Выражение мощности в комплексной форме
- •Передача энергии от активного двухполюсника к пассивному
- •Коэффициент мощности
- •Методы расчета сложных цепей
- •Применение законов Кирхгофа для расчета разветвленных цепей
- •Метод контурных токов
- •Метод узловых потенциалов
- •Метод двух узлов
- •Принцип наложения, метод наложения
- •Входные и взаимные проводимости
- •Свойство взаимности
- •Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и обратное преобразование
- •Метод эквивалентного генератора (активного двухполюсника)
- •Трехфазные цепи
- •Трехфазный генератор
- •Способы соединения фаз генератора и нагрузки звездой и треугольником
- •Соединение фаз генератора и приемника четырехпроводной звездой
- •4.2.2. Соединение фаз генератора и приемника треугольником.
- •Режимы работы трехфазных цепей
- •Соединение «звезда-звезда» с нулевым проводом и без нулевого провода
- •1. Симметричная нагрузка
- •2. Несимметричная нагрузка
- •3) Обрыв фазы
- •4) Короткое замыкание фазы
- •5) Разнородная нагрузка
- •Соединение потребителей «треугольником»
- •Мощность трехфазной цепи
- •Измерение мощности в трехфазных цепях
- •Метод симметричных составляющих
- •Фильтры симметричных составляющих
- •Получение вращающегося Магнитного поля
- •Пульсирующее магнитное поле
- •Вращающееся магнитное поле системы двух катушек
- •Вращающееся магнитное поле системы трёх катушек
- •Цепи со взаимной индуктивностью
- •Эдс взаимоиндукции
- •Расчет цепей при наличии взаимной индуктивности
- •Последовательное согласное соединение катушек
- •Последовательное встречное соединение
- •Параллельное согласное соединение
- •Параллельное встречное соединение
- •Расчет разветвлённых цепей при наличии взаимной индуктивности
- •"Развязывание" магнитосвязанных цепей
- •Линейный (воздушный) трансформатор
- •Вносимое сопротивление трансформатора
- •Несинусоидальные токи
- •Разложение периодической функции в тригонометрический ряд
- •Амплитудное, среднее и действующее значения периодических несинусоидальных функций
- •Коэффициенты, характеризующие форму несинусоидальных периодических функций
- •Мощность периодических несинусоидальных токов
- •Несинусоидальные функции с периодической огибающей
- •Модуляция
- •Резонансные явления в цепях с несинусоидальными источниками
- •Методика расчета цепей с несинусоидальными источниками
- •Высшие гармоники в трехфазных цепях
- •Высшие гармоники при соединении фаз источника и приемника звездой:
- •Высшие гармоники при соединении фаз генератора и приемника треугольником
Изображение синусоидальных функций времени (напряжение, сила тока, мощности) векторами на комплексной плоскости
Расчет сложной разветвленной цепи может быть существенно упрощен, если заменить синусоидальные токи и напряжения векторами, расположенными на комплексной плоскости. Такой метод получил название метода комплексных амплитуд.
В основе данного метода лежит формула Эйлера:
,31(2.24)
где j=.
Умножив обе части на А, получим:
A = A1+A2,
где A=модуль комплексного числа;
аргумент комплексного числа.
Рис.2.17. Изображение векторана комплексной плоскости
( угловая частота вращения вектора)
Поскольку в формуле Эйлера может быть любым, мы сделаем его линейной функцией времени:
= t + .32(2.25)
Тогда:
.33(2.26)
Полученный результат ( 2 .27) показывает, что синусоидальная функция времени есть мнимая часть некоторого комплексного числа:
а = Asin(t +) = ImAej(t+); 34(2.27)
при условии, что t= 0 получим:
=A35(2.28)
Векторная диаграммадиаграмма векторов на комплексной плоскости, построенная с учетом их взаимной ориентации по фазе.
Если вектора вращаются на плоскости с одинаковыми частотами , то их взаимное положение не меняется, это свойство позволяет исключить из рассмотрения сам факт их вращения, то есть приниматьt = 0.
В качестве примера на Рис. 2 .18 изображена операция умножения некоторого вектора на оператор поворотаj.
Пусть модуль =10А. Его положение на комплексной плоскости зависит от значения аргумента. Значениям =0, 900, 900соответствуют комплексные числа:
;;.
По формуле Эйлера:
;
;
;
;
Рис.2.18. Умножение вектора на+jи–j
Основы символического или комплексного расчета цепей синусоидального тока
Этот метод позволяет перейти от дифференциальных уравнений, составленных для мгновенных токов, напряжений и т.д., к алгебраическим уравнениям, составленных для соответствующих им комплексных изображений.
1.Последовательное соединение
Рис.2.19. Последовательное соединениеR, L, C
На основании второго закона Кирхгофа:
u = uR + uL + uC;
u = iR +L+.36(2.29)
Перейдем к комплексным изображениям:
i = Imsin(t+i) . 37(2.30)
Используя полученный комплекс тока, определим комплексы падения напряжения на участках цепи:
Для сопротивления:
, (2.31)
где . 38
Для индуктивности:
.39(2.32)
Для емкости:
.40(2.33)
Найденные комплексы UR,UC,UL, подставим в исходное уравнение:
,41(2.34)
.42(2.35)
закон Ома в комплексной форме.
Выражение в знаменателе представляет собой комплексное сопротивление исходной цепи, которое имеет вещественную и мнимую составляющую.
,43(2.36)
где ; .
Для комплексных амплитуд закон Ома запишется в следующем виде:
,44(2.37)
где Um= Imzамплитуда напряжения;
Рис.2.20. Изображение сопротивления на комплексной плоскости
φU = + i; = U – i; 45(2.38)
u(t) = Umsin(t + U). 46(2.39)
Построим векторную диаграмму цепи.
Рис.2.21. Векторная диаграмма для последовательного колебательного контура
i(t) = Imsin(t + i); i > 0.
Построение векторной диаграммы начинают с вектора тока, т.к. он одинаков на всех участках цепи. Из построенной на комплексной плоскости векторной диаграммы можно выделить векторный треугольник напряжений, представленный на Рис. 2 .22.
Рис.2.22. Векторный треугольник напряжений
Ниже приведен треугольник сопротивлений.
Рис.2.23. Скалярный треугольник сопротивлений
Угол сдвига фаз между током и напряжением можно определить из любого треугольника.
.47(2.40)