1.1. Опытные законы идеальных газов

Рассмотрим некоторые свойства идеальных газов.

Идеальным называется газ, между молекулами которого отсутствуют силы взаимного притяжения, при соударениях молекулы газа ведут себя как абсолютно упругие шарики исчезающе малых размеров.

Р.Бойль (1662 г.) и Э.Мариотт (1676 г.) экспериментально установили, что произведение давления газа на занимаемый им объем при постоянной температуре есть величина постоянная:

pV = const при m = const и T = const.

Гей-Люссак (1802 г.) нашел, что объем газа пропорционален его абсолютной температуре (при постоянных m и р), т.е.

= const при m = const и р = const,

давление также пропорционально абсолютной температуре (при постоянных m и V), т.е.

= const при m = const и p = const.

Эти законы справедливы для достаточно разреженных газов, т.е. для газов, в которых средние расстояния между молекулами значительно превышают диаметры молекул.

Рассмотрим следующее соотношение (уравнение Клапейрона):

= const при m = const.

Легко видеть, что оно объединяет законы Бойля-Мариотта и Гей-Люссака.

С помощью уравнения Клапейрона можно рассчитывать процессы, при которых меняются все три величины р, V, Т одновременно, а не только какая-либо их пара.

В дальнейшем мы будем это уравнение, связывающее основные величины, характеризующие газ, – р, V и Т, – называть уравнением состояния.

В 1874 г. Д.И.Менделеев получил уравнение состояния для произвольной массы любого газа называемое уравнением Менделеева–Клапейрона.

pV =  RT = RT,

где R – универсальная газовая постоянная.

2. Молекулярно-кинетическая теория газов

2.1. Скорости молекул газа

Молекулы газа в каждый момент времени отличаются друг от друга своим местоположением и характером своего движения. Каждая молекула будет двигаться со скоростью , отличающейся от скоростей других молекул по величине и по направлению, при этом различные значения скоростей не равновероятны.

В качестве характеристики движения всей совокупности молекул, введем понятия средней квадратичной скорости и средней скорости молекул.

Кинетическая энергия поступательного движения молекул идеального газа Е_пост есть сумма кинетических энергий поступательного движения _{i пост} всех его N молекул:

Введя понятие средней квадратичной скорости

можно записать выражения для кинетической энергии поступательного движения всех молекул

и для средней кинетической энергии поступательного движения одной молекулы

Средняя арифметическая скорость молекул газа определяется из соотношения

1.3. Основное уравнение кинетической теории газов

О пределим давление, возникающее в результате удара молекул о стенки сосуда. Рассмотрим произвольную молекулу массой m_i, имеющую скорость , находящуюся в кубическом сосуде с длиной ребра а и объемом V = a³

При абсолютно упругом ударе о грань куба ABCD изменение импульса молекулы

(m_iu_i) = – 2 m_iu_{xi ,}

при этом импульс силы, действующий на стенку сосуда

f_i t_i = 2 m_iu_xi ,

а сила, действующая на стенку f_i = ,

где t_i – продолжительность удара.

Отскочив от грани ABCD молекула полетит к противоположной грани, отскочив от нее вновь вернется к грани ABCD через время t_i. Средний импульс силы <f_i>t_i, действующий на грань ABCD за время t_i

< f_i>t_i = f_i t_i = 2 m_iu_xi.

Между двумя последовательными соударениями молекула пройдет путь 2а со скоростью u_xi за время

Тогда средняя сила <f_i>, действующая на грань куба со стороны одной молекулы

<f_i> = = ,

а со стороны всех молекул

<F_x> = = = ,

где <u_{кв x}> – проекция средней квадратичной скорости на ось х, N – число молекул в объеме куба.

Давление, оказываемое газом на стенку ABCD сосуда

,

аналогично для граней ABEF и EBCG

Движение молекул газа хаотично, следовательно

р = р_x = р_y = р_z

.

С другой стороны

,

следовательно

,

тогда .

Учитывая, что средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

и концентрация молекул ,

получим .

Данное выражение является основным уравнением кинетической теории газов.

Из уравнения Менделеева–Клапейрона

Тогда ,

.

Тогда средняя энергия поступательного движения одной молекулы

Подставив полученное выражение в основное уравнение кинетической теории газов, получим

p = n k T.

Распределение энергии по степеням свободы

Числом степеней свободы тела называется наименьшее число независимых координат, необходимых для определения положения тела в пространстве.

Одноатомная молекула (ее можно рассматривать как материальную точку) в пространстве обладает тремя степенями свободы (i = 3), т.к. ее положение задается тремя независимыми координатами x, y, z. Тогда кинетическая энергия поступательного движения молекул одноатомного газа

.

При равной вероятности всех направлений скорости по координатным осям

,

т.е. средняя энергия теплового движения одноатомных молекул равномерно распределяется между тремя степенями свободы их поступательного движения, и на каждую степень свободы приходится энергия равная .

Для двухатомных молекул наряду с тремя поступательными степенями свододы возможны вращательные движения молекулы вокруг двух осей, проходящих через центр ее масс и перпендикуляных к оси самой молекулы.

К инетическая энергия вращательного движения молекулы относительно одной из осей равна

.

Момент инерции I молекулы относительно собственной оси молекулы равен 0. Вращение молекулы относительно ее собственной оси не изменяет ее положения в пространстве. Таким образом, двухатомные молекулы обладают пятью (тремя поступательными и двумя вращательными) степенями свободы (i = 5), на каждую из которых, в соответствии с законом равномерного распределения энергии по степеням свободы, приходится энергия равная ¹.

Для трех и более атомных молекул наряду с тремя поступательными степенями свободы возможны вращательные движения молекулы вокруг трех осей, проходящих через центр ее масс, следовательно, трех и более атомные молекулы обладают шестью (тремя поступательными и тремя вращательными) степенями свободы (i = 6)²,. на каждую из которых приходится энергия равная .

Если отдельные атомы в молекуле могут еще и смещаться (колебаться) относительно ее центра масс, то необходимо ввести дополнительно степени свободы колебательного движения³.

Таким образом, если молекула обладает i степенями свободы, то ее средняя кинетическая энергия

.