3.2. Производная случайного процесса и ее свойства

В соответствии с классическим определением, производная случайного процесса X(t) должна быть определена как предел разностного отношения при h→0 в смысле соответствующей сходимости. Можно показать, что сходимость по вероятности обладает рядом недостатков, которые делают этот подход практически бесполезным.

Случайный процесс X(t) называется дифференцируемым, если существует случайный процесс такой, что

При этом случайный процесс называется производной случайного процесса X(t) и обозначается следующим образом: .

Теорема 1. Математическое ожидание производной случайного процесса равно производной от математического ожидания самого случайного процесса: .

Следствие. .

Теорема 2. Корреляционная функция производной случайного процесса X(t) равна второй смешанной производной от его корреляционной функции: .

Теорема 3. Взаимная корреляционная функция случайного процесса X(t) и

его производной равна частной производной его корреляционной функции по переменной, соответствующей производной: .

3.3. Интеграл от случайного процесса и его свойства

Интегралом от случайного процесса X(t) на отрезке [0, t] называется предел в среднеквадратичном при λ→0 (n→0)

интегральных сумм где s_i (t_i; t_i+1); λ=max(t_i+1 - t_i), i=0,…,n-1.

Теорема 4. Математическое ожидание интеграла от случайного процесса равно интегралу от его математического ожидания: , .

Теорема 5. Корреляционная функция интеграла от случайного процесса X(t) равна двойному интегралу от его корреляционной функции: .

Теорема 6. Взаимная корреляционная функция случайного процесса X(t) и его интеграла равна интегралу от корреляционной функции случайного процесса X(t):

ТеМа 4. Канонические разложения случайных процессов

4.1. Понятие канонического разложения случайного процесса

Случайная величина V называется центрированной, если ее математическое ожидание равно 0. Элементарным центрированным случайным процессом называется произведение центрированной случайной величины V на неслучайную функцию φ(t): X(t)=V φ(t). Элементарный центрированный случайный процесс имеет следующие характеристики:

Выражение вида , где φ_k(t), k=1;2;…-неслучайные функции; , k=1;2;…-некоррелированные центрированные случайные величины, называется каноническим разложением случайного процесса X(t), при этом случайные величины называются коэффициентами канонического разложения; а неслучайные функции φ_k(t) - координатными функциями канонического разложения.

Рассмотрим характеристики случайного процесса

Так как по условию то

Очевидно, что один и тот же случайный процесс имеет различные виды канонического разложения в зависимости от выбора координатных функций. Более того, даже при состоявшемся выборе координатных функций существует произвол в распределении случайных величин V_к. На практике по итогам экспериментов получают оценки для математического ожидания и корреляционной функции: . После разложения в двойной ряд Фурье по координатным функциям φ_к(t):

получают значения дисперсий случайных величин V_k.