- •Глава 14. Двойной интеграл
- •Глава 15. Криволинейный интеграл
- •Глава 16. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Глава 17. Дифференциальные уравнения в частных производных
- •Глава 18. Ряды
- •Глава 19. Гармонический анализ
- •Глава 20. Теория поля
- •Глава 21. Теория функции комплексного переменного
- •Глава 22. Интерполирование
- •Глава 23. Численные методы
- •Глава 24. Дискретная математика
- •Глава 25. Теория вероятностей
Глава 14. Двойной интеграл
1. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат |
|
а)
|
б)
|
Задача. Пусть . Тогда область интегрирования данного интеграла имеет вид… Варианты ответов: 1) прямоугольной трапеции 2) произвольной трапеции 3) треугольника 4) равнобокой трапеции Решение.
Построим фигуру, ограниченную линиями , , ,
Область интегрирования данного интеграла имеет вид треугольника. Ответ. №3.
Задача. Вычислить , где область - прямоугольник Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) 4 Р ешение. Область - прямоугольник, изображенный на рисунке. . Ответ. №5. |
2. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат |
|
Переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная функция имеет вид или область есть круг, кольцо или часть таковых
|
Задача. Дан интеграл , где - кольцо . Тогда повторный интеграл в полярной системе координат по этой области примет вид… Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение. Так как , , , , то кольцо в полярной системе координат будет иметь вид , , . Тогда
т.е. Ответ. №4. |
3. Приложения двойного интеграла |
|
Площадь плоской фигуры в декартовой системе координат
|
Площадь плоской фигуры в полярной системе координат
|
Объем тела
, где - уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху. |
Масса плоской фигуры , где - плотность |
Задача. Площадь области, ограниченная линиями , , , , вычисляется как повторный интеграл… Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) Решение. Построим фигуру, ограниченную данными линиями.
Ответ. №3. |
Глава 15. Криволинейный интеграл
|
Кривая задана уравнением |
|
1. Вычисление криволинейного интеграла I рода в декартовой системе координат |
, |
|
, |
|
|
2. Вычисление криволинейного интеграла I рода в полярной системе координат |
, |
|
3. Вычисление криволинейного интеграла I рода в параметрическом виде |
, , |
|
4. Вычисление криволинейного интеграла II рода в декартовой системе координат |
, |
|
, |
|
|
5. Вычисление криволинейного интеграла II рода в параметрическом виде |
, , |
|
6. Формула Грина
|
|
Если функции и непрерывны вместе со своими частными производными и в области D, то , где - граница области D и интегрирование вдоль кривой производится в положительном направлении (при движении вдоль кривой область D остается слева). |
||||
7. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования
|
|
Пусть А и В – произвольные точки области D, и - два произвольных пути, соединяющих эти точки. Тогда следующие условия равносильны: 1) (условие Грина). 2) (криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования). 3) (выражение представляет собой полный дифференциал некоторой функции ) 4) (криволинейный интеграл по замкнутому контуру равен 0). |
||||
8. Связь между криволинейными интегралами I и II рода |
|
|
||||
9. Приложения криволинейного интеграла |
Первого рода |
Второго рода |
||||
Длина кривой |
|
Работа под воздействием силы на криволинейном участке |
|
|||
Масса кривой с плотностью |
|
Площадь плоской фигуры, расположенной в плоскости и ограниченной замкнутой линией |
|
|||
Задача. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру равен… Варианты ответов: 1) 2 2) 0 3) 4 4) 5 Решение. ;
Значит, . Ответ. №2.
|