Современные проблемы физики / PhysicalReviewpdf / Rubin-2

KINETICS

OF BIOLOGICAL

PROCESSES

A. B. RUBIN

Main features of kinetics of biological processes and methods of their investigation are considered. Several examples and corresponding mathematical models of dynamic behavior of biological systems are analyzed.

к‡ТТП‡Ъ Л‚‡˛ЪТfl УТМУ‚М˚В УТУ·ВММУТЪЛ НЛМВЪЛНЛ ·ЛУОУ„Л˜ВТНЛı Ф УˆВТТУ‚ Л ПВЪУ‰˚ Лı ЛБЫ˜ВМЛfl. з‡ НУМН ВЪ- М˚ı Ф ЛПВ ‡ı ‡М‡ОЛБЛ-Ы˛ЪТfl П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛВ ПУ‰ВОЛ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНУ„У ФУ‚В‰ВМЛfl ·ЛУОУ„Л˜ВТНЛı ТЛТЪВП.

© êÛ·ËÌ Ä.Å., 1998

84

дазЦнадА ЕайгйЙауЦлдап икйсЦллйЗ

Д. Е. кмЕаз

еУТНУ‚ТНЛИ „УТЫ‰‡ ТЪ‚ВММ˚И ЫМЛ‚В ТЛЪВЪ ЛП. е.З. гУПУМУТУ‚‡

ЗЗЦСЦзаЦ

пУ У¯У ЛБ‚ВТЪМУ, ˜ЪУ ·ЛУОУ„Л˜ВТНЛВ ТЛТЪВП˚ У·О‡‰‡˛Ъ Т‚УИТЪ‚‡ПЛ Т‡ПУ В„ЫОflˆЛЛ, ЪУ ВТЪ¸ ТФУТУ·МУТЪ¸˛ ФВ ВТЪ ‡Л‚‡Ъ¸Тfl ‚ Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ УЪ ‚МВ¯- МЛı ‚УБ‰ВИТЪ‚ЛИ Ъ‡Н, ˜ЪУ·˚ ТУı ‡МЛОТfl УФЪЛП‡О¸- М˚И Ы У‚ВМ¸ Лı ЩЫМНˆЛУМЛ У‚‡МЛfl.

лЫ˘ВТЪ‚Ы˛Ъ ‡БОЛ˜М˚В ТФУТУ·˚ В„ЫОflˆЛЛ КЛБМВ‰ВflЪВО¸МУТЪЛ НОВЪНЛ, НУЪУ ˚В ПУКМУ ЫТОУ‚МУ УЪМВТЪЛ Н „ВМВЪЛ˜ВТНУПЫ, ·ЛУıЛПЛ˜ВТНУПЫ Л ЩЛБЛУОУ- „Л˜ВТНУПЫ Ы У‚МflП В„ЫОflˆЛЛ. З Ф В‰ВО‡ı Н‡К‰У„У ЛБ МЛı ‰ВИТЪ‚Ы˛Ъ ПВı‡МЛБП˚, ‚ УТМУ‚В НУЪУ ˚ı ОВКЛЪ ФУТОВ‰У‚‡ЪВО¸МУТЪ¸ НУМН ВЪМ˚ı ПВЪ‡·УОЛ˜ВТНЛı Ф УˆВТТУ‚. иУМflЪ¸ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛВ Т‚УИТЪ‚‡ ˝ЪЛıВ„ЫОflЪУ М˚ı ПВı‡МЛБПУ‚ ПУКМУ ОЛ¯¸ М‡ УТМУ‚В У·˘ВТЛТЪВПМУ„У ФУ‰ıУ‰‡, ‡ТТП‡Ъ Л‚‡˛˘В„У ФУ‚В- ‰ВМЛВ Н‡К‰У„У ЛБ ˝ОВПВМЪУ‚ ТОУКМУИ ТЛТЪВП˚ Н‡НВБЫО¸Ъ‡Ъ В„У ‚Б‡ЛПУ‰ВИТЪ‚Лfl Т УТЪ‡О¸М˚ПЛ ˝ОВПВМЪ‡ПЛ.

й‰МЛП ЛБ М‡Л·УОВВ ‡Б‚ЛЪ˚ı ФУ‰ıУ‰У‚ ‰Оfl В- ¯ВМЛfl ˝ЪУИ Ф У·ОВП˚ ‚ ТУ‚ ВПВММУИ ·ЛУЩЛБЛНВ fl‚ОflВЪТfl П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНУВ ПУ‰ВОЛ У‚‡МЛВ. З ТУУЪ- ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘Лı НЛМВЪЛ˜ВТНЛı ПУ‰ВОflı УЪ ‡КВМ‡ ‰ЛМ‡- ПЛН‡ ЛБПВМВМЛfl НУМˆВМЪ ‡ˆЛИ ‡БОЛ˜М˚ı ТУТЪ‡‚- М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚ ·ЛУОУ„Л˜ВТНУИ ТЛТЪВП˚, НУЪУ ‡fl УФ В‰ВОflВЪТfl ТНУ УТЪflПЛ УЪ‰ВО¸М˚ı ˝ОВПВМЪ‡ М˚ıВ‡НˆЛИ.

ЕайгйЙауЦлдДь дазЦнадД

З УТМУ‚В Ф УˆВТТУ‚ У·ПВМ‡ НОВЪНЛ ТУ Т В‰УИ Л ‚МЫЪ ВММВ„У ПВЪ‡·УОЛБП‡ ОВКЛЪ ТОУКМ‡fl ТВЪ¸ У „‡- МЛБУ‚‡ММ˚ı УФ В‰ВОВММ˚П У· ‡БУП ‚У ‚ ВПВМЛ Л Ф УТЪ ‡МТЪ‚В ‡БОЛ˜М˚ı В‡НˆЛИ. З ВБЫО¸Ъ‡ЪВ ˝ЪЛı Ф УˆВТТУ‚ ЛБПВМfl˛ЪТfl НУМˆВМЪ ‡ˆЛЛ ‡БОЛ˜М˚ı ‚В˘ВТЪ‚, ˜ЛТОВММУТЪ¸ УЪ‰ВО¸М˚ı НОВЪУН, ·ЛУП‡ТТ‡ У „‡МЛБПУ‚, ПУ„ЫЪ ЛБПВМflЪ¸Тfl Л ‰ Ы„ЛВ ‚ВОЛ˜ЛМ˚, М‡Ф ЛПВ ‚ВОЛ˜ЛМ‡ Ъ ‡МТПВП· ‡ММУ„У ФУЪВМˆЛ‡О‡ ‚ НОВЪНВ. аБПВМВМЛfl ‚ТВı ˝ЪЛı ФВ ВПВММ˚ı ‚ВОЛ˜ЛМ ‚У ‚ ВПВМЛ Л ТУТЪ‡‚Оfl˛Ъ НЛМВЪЛНЫ ·ЛУОУ„Л˜ВТНЛı Ф УˆВТТУ‚. йТМУ‚М˚В ЛТıУ‰М˚В Ф В‰ФУТ˚ОНЛ Ф Л УФЛТ‡МЛЛ НЛМВЪЛНЛ ‚ ·ЛУОУ„Л˜ВТНЛı ТЛТЪВП‡ı ‚ У·- ˘ВП Ъ‡НЛВ КВ, Н‡Н Л ‚ ıЛПЛ˜ВТНУИ НЛМВЪЛНВ.

к‡ТТПУЪ ЛП Ф УТЪВИ¯ЛИ Ф ЛПВ Б‡ПНМЫЪУИ ФУФЫОflˆЛЛ НОВЪУН, ‚ НУЪУ УИ У‰МУ‚ ВПВММУ Ф УЛТıУ- ‰flЪ Ф УˆВТТ˚ ‡БПМУКВМЛfl Л „Л·ВОЛ Л ‚ ЛБ·˚ЪНВ ЛПВ˛ЪТfl ФЛЪ‡ЪВО¸М˚В ‚В˘ВТЪ‚‡. ЗУБМЛН‡ВЪ ‚УФ УТ, Н‡Н ПВМflВЪТfl ˜ЛТОВММУТЪ¸ НОВЪУН ‚ Ъ‡НУИ ТЛТЪВПВ ТУ ‚ ВПВМВП Л ПУКВЪ ОЛ ‚ МВИ ‚ НУМˆВ НУМˆУ‚

лйкйлйЗлдав йЕкДбйЗДнЦгъзхв ЬмкзДг, ‹10, 1998

ЫТЪ‡МУ‚ЛЪ¸Тfl ТЪ‡ˆЛУМ‡ МУВ ТУТЪУflМЛВ, НУ„‰‡ ˜ЛТОУ НОВЪУН ПВМflЪ¸Тfl МВ ·Ы‰ВЪ. щЪУ ЪЛФЛ˜М‡fl НЛМВЪЛ˜ВТ- Н‡fl Б‡‰‡˜‡, НУЪУ ‡fl В¯‡ВЪТfl Т ФУПУ˘¸˛ У·˚˜М˚ı ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸М˚ı Ы ‡‚МВМЛИ. иЫТЪ¸ ‚ МВНУЪУ ˚И ПУПВМЪ ‚ ВПВМЛ t НУМˆВМЪ ‡ˆЛfl НОВЪУН ‚ Т В‰В ТУТЪ‡‚ЛЪ N. ëÍÓ ÓÒÚ¸ dN/dt ЛБПВМВМЛfl НУМˆВМЪ ‡ˆЛЛ НОВЪУН ‚ Т В‰В ТНО‡‰˚‚‡ВЪТfl ЛБ ТНУ УТЪЛ Лı ‡БПМУКВМЛfl V ‡ÁÏÌ Ë ÒÍÓ ÓÒÚË „Ë·ÂÎË V„Ë· :

dN

------ = V ‡ÁÏÌ –V„Ë·.

dt

З Ф УТЪУП ТОЫ˜‡В ТНУ УТЪ¸ ‡БПМУКВМЛfl, ЪУ ВТЪ¸ Ы‚ВОЛ˜ВМЛВ НУМˆВМЪ ‡ˆЛЛ НОВЪУН ‚ В‰ЛМЛˆЫ ‚ В- ПВМЛ, Ф УФУ ˆЛУМ‡О¸М‡ Лı ˜ЛТОВММУТЪЛ ‚ Н‡К‰˚И ПУПВМЪ:

V ‡ÁÏÌ = k1N,

„‰Â k1 – НУМТЪ‡МЪ‡ Ф УФУ ˆЛУМ‡О¸МУТЪЛ, Б‡‚ЛТfl˘‡fl УЪ ЫТОУ‚ЛИ Т В‰˚ (ЪВПФВ ‡ЪЫ ‡, М‡ОЛ˜ЛВ ФЛЪ‡ЪВО¸- М˚ı ‚В˘ВТЪ‚ Л ‰ .).

А̇Îӄ˘ÌÓ

V„Ë· = k2N,

„‰Â k2 – НУМТЪ‡МЪ‡ Ф УФУ ˆЛУМ‡О¸МУТЪЛ, УФ В‰ВОfl- ˛˘‡fl ЛМЪВМТЛ‚МУТЪ¸ Ф УˆВТТУ‚ „Л·ВОЛ НОВЪУН. йЪ- Т˛‰‡ ТОВ‰ЫВЪ, ˜ЪУ

„‰Â k = k1 − k2 .

кВ¯Л‚ ˝ЪУ Ы ‡‚МВМЛВ, П˚ М‡И‰ВП, Н‡Н ПВМflВЪТfl НУМˆВМЪ ‡ˆЛfl НОВЪУН ‚ Т В‰В N = N(dt):

„‰Â N0 – НУМˆВМЪ ‡ˆЛfl НОВЪУН ‚ М‡˜‡О¸М˚И ПУПВМЪ ‚ ВПВМЛ t = 0 М‡·О˛‰ВМЛfl Б‡ ТЛТЪВПУИ.

гВ„НУ ‚Л‰ВЪ¸, ˜ЪУ ‚ Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ УЪ ТУТЪУflМЛfl НУМТЪ‡МЪ ТНУ УТЪВИ Ф УˆВТТУ‚ „Л·ВОЛ k2 Л ‡БПМУКВМЛfl k1 ТЫ‰¸·‡ ˝ЪУИ ФУФЫОflˆЛЛ ·Ы‰ВЪ ‡БОЛ˜МУИ. ЦТОЛ k1 > k2 , k > 0, ЪУ Л ‚ ТЛТЪВПВ ·Ы‰ВЪ Ф УЛТıУ‰ЛЪ¸ МВУ„ ‡МЛ˜ВММ˚И УТЪ ˜ЛТО‡ НОВЪУН:

N(t) Ô Ë t ;

ÂÒÎË k1 < k2 , ЪУ ТУ ‚ ВПВМВП ФУФЫОflˆЛfl ·Ы‰ВЪ ‚˚ПЛ-‡Ъ¸:

N(t) 0 Ô Ë t ,

Л ЪУО¸НУ ‚ ˜‡ТЪМУП ТОЫ˜‡В Ф Л k1 = k2 ˜ЛТОУ НОВЪУН ·Ы‰ВЪ УТЪ‡‚‡Ъ¸Тfl ФУТЪУflММ˚П:

N = N0 .

С Ы„ЛП Ф ЛПВ УП ПУ‰ВОЛ УТЪ‡ ФУФЫОflˆЛЛ ‚ Т В‰В Т У„ ‡МЛ˜ВММ˚П НУОЛ˜ВТЪ‚УП ФЛЪ‡ЪВО¸М˚ı ‚В˘ВТЪ‚ ТОЫКЛЪ ЛБ‚ВТЪМУВ Ы ‡‚МВМЛВ ОУ„ЛТЪЛ˜ВТНУИ Н Л‚УИ. гУ„ЛТЪЛ˜ВТНУВ Ы ‡‚МВМЛВ оВ ıО˛ТЪ‡ ЛПВВЪ ‚Л‰

á‰ÂÒ¸ Nmax – П‡НТЛП‡О¸М‡fl ˜ЛТОВММУТЪ¸ ФУФЫОflˆЛЛ, ‚УБПУКМ‡fl ‚ ‰‡ММ˚ı ЫТОУ‚Лflı. д Л‚‡fl N = = N(t), УФЛТ˚‚‡ВП‡fl ˝ЪЛП Ы ‡‚МВМЛВП, Ф Л‚В‰ВМ‡

̇ ËÒ. 1. Ç Ì‡˜‡Î¸Ì˚È Ô ËÓ‰ ÓÒÚ‡, ÍÓ„‰‡ N ! Nmax , Н Л‚‡fl МУТЛЪ ˝НТФУМВМˆЛ‡О¸М˚И ı‡ ‡НЪВ . б‡ЪВП

ФУТОВ ЪУ˜НЛ ФВ В„Л·‡ М‡НОУМ ФУТЪВФВММУ ЫПВМ¸¯‡- ВЪТfl Л Н Л‚‡fl Ф Л·ОЛК‡ВЪТfl Н ‚В ıМВИ ‡ТЛПФЪУЪВ N = Nmax , ЪУ ВТЪ¸ Н П‡НТЛП‡О¸МУ ‰УТЪЛКЛПУПЫ Ы У‚- М˛ ‚ ‰‡ММ˚ı ЫТОУ‚Лflı.

N

K

t

êËÒ. 1. ãÓ„ËÒÚ˘ÂÒ͇fl Í Ë‚‡fl. N – НУМˆВМЪ ‡ˆЛfl НОВЪУН ‚ Т В‰В, K = Nmax – Ф В‰ВО¸М‡fl НУМˆВМЪ ‡- ˆЛfl НОВЪУН

д‡Н ‚Л‰МУ, ‰ЛМ‡ПЛНЫ ·ЛУОУ„Л˜ВТНЛı Ф УˆВТТУ‚ ПУКМУ УФЛТ˚‚‡Ъ¸ Ы ‡‚МВМЛflПЛ, ‡М‡ОУ„Л˜М˚ПЛ Ы ‡‚МВМЛflП ıЛПЛ˜ВТНУИ НЛМВЪЛНЛ. й‰М‡НУ ФУ Т ‡‚- МВМЛ˛ Т У·˚˜МУИ ıЛПЛ˜ВТНУИ НЛМВЪЛНУИ ·ЛУОУ„Л- ˜ВТН‡fl НЛМВЪЛН‡ ı‡ ‡НЪВ ЛБЫВЪТfl ТОВ‰Ы˛˘ЛПЛ УТУ- ·ВММУТЪflПЛ.

1.З Н‡˜ВТЪ‚В ФВ ВПВММ˚ı ‚˚ТЪЫФ‡˛Ъ МВ ЪУО¸НУ НУМˆВМЪ ‡ˆЛЛ ‚В˘ВТЪ‚, МУ Л ‰ Ы„ЛВ ‚ВОЛ˜ЛМ˚.

2.иВ ВПВММ˚В ЛБПВМfl˛ЪТfl МВ ЪУО¸НУ ‚У ‚ ВПВМЛ, МУ Л ‚ Ф УТЪ ‡МТЪ‚В.

3.ЕЛУОУ„Л˜ВТН‡fl ТЛТЪВП‡ Ф УТЪ ‡МТЪ‚ВММУ „В- ЪВ У„ВММ‡, Л ЫТОУ‚Лfl ‚Б‡ЛПУ‰ВИТЪ‚Лfl В‡„ВМЪУ‚ ПУ- „ЫЪ ·˚Ъ¸ ‡БОЛ˜М˚ ‚ ‡БМ˚ı ЪУ˜Н‡ı ТЛТЪВП˚.

4.ëÛ˘ÂÒÚ‚Û˛Ú ÒÔˆˇθÌ˚ ÏÂı‡ÌËÁÏ˚ Ò‡ÏÓ Â- „ÛÎflˆËË, ‰ÂÈÒÚ‚Û˛˘Ë ÔÓ Ô Ë̈ËÔÛ Ó· ‡ÚÌÓÈ Ò‚flÁË.

йТМУ‚М‡fl Б‡‰‡˜‡ ‚ ·ЛУЩЛБЛНВ ТОУКМ˚ı ТЛТЪВП ТУТЪУЛЪ ‚ ЪУП, ˜ЪУ·˚ ФУОЫ˜ЛЪ¸ ı‡ ‡НЪВ ЛТЪЛНЛ ‡Б- ОЛ˜М˚ı ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛı ВКЛПУ‚ Л ‚˚flТМЛЪ¸ ЫТОУ‚Лfl Л БМ‡˜ВМЛfl Ф‡ ‡ПВЪ У‚, Ф Л НУЪУ ˚ı УМЛ В‡ОЛБЫ- ˛ЪТfl ‚ КЛ‚УИ НОВЪНВ.

икйлнЦвтДь ейСЦгъ йндкхнйв лалнЦех

к‡ТТПУЪ ЛП Ф УТЪВИ¯Ы˛ УЪН ˚ЪЫ˛ ТЛТЪВПЫ, ‚ НУЪУ УИ Ф УЛТıУ‰ЛЪ У·ПВМ ‚В˘ВТЪ‚‡ПЛ “a” Л “b” Т УН ЫК‡˛˘ВИ Т В‰УИ Л, Н УПВ ЪУ„У, У· ‡ЪЛП‡fl В- ‡НˆЛfl ФВ ‚У„У ФУ fl‰Н‡ Ф В‚ ‡˘ВМЛfl a b. ç‡ËÒ. 2 a, b – ФВ ВПВММ˚В НУМˆВМЪ ‡ˆЛЛ ‚МЫЪ Л ТЛТЪВП˚; А, Ç – ФУТЪУflММ˚В НУМˆВМЪ ‡ˆЛЛ ˝ЪЛı КВ ‚В-

˘ÂÒÚ‚ ‚Ó ‚̯ÌËı ÂÁ ‚Û‡ ‡ı; k1 , k+2 , k−2 , k3 – НУМТЪ‡МЪ˚ ТНУ УТЪВИ Ф УˆВТТУ‚.

êËÒ. 2. йЪН ˚Ъ‡fl ТЛТЪВП‡ – ПУ‰ВО¸ У·ПВММ˚ı Ф УˆВТТУ‚ ‚ НОВЪНВ (У·˙flТМВМЛfl ‚ ЪВНТЪВ)

зВТПУЪ fl М‡ Ф УТЪУЪЫ, ПУ‰ВО¸ УЪ ‡К‡ВЪ УТМУ‚- М˚В ˜В Ъ˚ У·ПВММ˚ı Ф УˆВТТУ‚ ‚ НОВЪНВ. иУТЪЫФОВМЛВ ТЫ·ТЪ ‡Ъ‡ Л ‚˚· УТ ПВЪ‡·УОЛЪУ‚ ‚У ‚МВ¯М˛˛ Т В‰Ы Б‡‰‡˛ЪТfl В‡НˆЛflПЛ – А ‡, b З, ‡ Ф УˆВТТ‡П НОВЪУ˜МУ„У ПВЪ‡·УОЛБП‡ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЫВЪ Ф В‚ ‡˘ВМЛВ ‡ b. ç‡Ô ËÏ , ‰Îfl Ô ÓˆÂÒÒ‡ ‰˚- ı‡ÌËfl ̇ ˝Ú‡Ô А ‡ Ф УЛТıУ‰ЛЪ ФУТЪЫФОВМЛВ „О˛НУБ˚ Л НЛТОУ У‰‡, ˝Ъ‡Ф b Ç ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÛÂÚ ‚˚· ÓÒÛ ëé2 Ë ç2й ЛБ НОВЪНЛ, ‡ ‚ВТ¸ ПВЪ‡·УОЛ˜ВТНЛИ ‰˚ı‡ЪВО¸М˚И ˆЛНО Ъ ‡МТЩУ П‡ˆЛЛ ПУОВНЫО˚ „О˛НУБ˚ Ф В‰ТЪ‡‚ОВМ В‡НˆЛВИ a b. бМ‡˜ВМЛfl НУМТЪ‡МЪ ТНУ УТЪВИ МУТflЪ, НУМВ˜МУ, ЩВМУПВМУОУ„Л- ˜ВТНЛИ У·У·˘ВММ˚И ı‡ ‡НЪВ Л МВ ПУ„ЫЪ ·˚Ъ¸ УЪМВТВМ˚ Н Н‡НУИ-ЪУ НУМН ВЪМУИ ·ЛУıЛПЛ˜ВТНУИ ТЪ‡‰ЛЛ. й‰М‡НУ Л Ъ‡Н‡fl, ‰У Ф В‰ВО‡ ЫФ У˘ВММ‡fl, ПУ‰ВО¸ УЪ-‡К‡ВЪ УТМУ‚М˚В ˜В Ъ˚ ТУ‚УНЫФМУТЪЛ ПВЪ‡·УОЛ˜ВТНЛı В‡НˆЛИ НОВЪНЛ Н‡Н УЪН ˚ЪУИ ТЛТЪВП˚.

м ‡‚МВМЛfl НЛМВЪЛНЛ ‰Оfl ˝ЪУИ ТЛТЪВП˚ ЛПВ˛Ъ ‚Л‰

иУТНУО¸НЫ ‚ ТЪ‡ˆЛУМ‡ МУП ТУТЪУflМЛЛ ФВ ВПВМ- М˚В (‡, b) Ф ЛМЛП‡˛Ъ ФУТЪУflММ˚В БМ‡˜ВМЛfl, ЪУ, Ф Л ‡‚Мfl‚ Н МЫО˛ Ф ‡‚˚В ˜‡ТЪЛ (4):

̇ȉÂÏ ÒÚ‡ˆËÓ̇ Ì˚ Á̇˜ÂÌËfl a, b.

ÇÂ΢ËÌ˚ a Ë b Ì Á‡‚ËÒflÚ ÓÚ Ì‡˜‡Î¸Ì˚ı ÛÒÎÓ- ‚ËÈ, ÚÓ ÂÒÚ¸ ÓÚ Ì‡˜‡Î¸Ì˚ı Á̇˜ÂÌËÈ ‡ = ‡0 Ë b = b0 ‚ ПУПВМЪ ‚ ВПВМЛ t = 0, ‡ УФ В‰ВОfl˛ЪТfl ЪУО¸НУ ‚ВОЛ- ˜ЛМ‡ПЛ НУМТЪ‡МЪ Л НУМˆВМЪ ‡ˆЛИ ‚В˘ВТЪ‚ ‚У ‚МВ¯- МЛı ВБВ ‚Ы‡ ‡ı А, Ç. щЪУ УБМ‡˜‡ВЪ, ˜ЪУ, ‚ Н‡НУП ·˚ М‡˜‡О¸МУП ТУТЪУflМЛЛ МЛ М‡ıУ‰ЛО‡Т¸ ТЛТЪВП‡, ‚ МВИ ‚ НУМˆВ НУМˆУ‚ ЫТЪ‡МУ‚ЛЪТfl У‰ËÌ ÒÚ‡ˆËÓ̇ Ì˚È Â- ÊËÏ, Ô Ë ÍÓÚÓ ÓÏ ‡ = a , b = b .

З ˝ЪУП ТУТЪУЛЪ Т‚УИТЪ‚У ˝Н‚ЛЩЛМ‡О¸МУТЪЛ ТЪ‡- ˆЛУМ‡ М˚ı ТУТЪУflМЛИ, НУЪУ УВ Ф ЛТЫ˘В УЪН ˚Ъ˚П ТЛТЪВП‡П Л ˜‡ТЪУ М‡·О˛‰‡ВЪТfl Ф Л ЛБЫ˜ВМЛЛ ·ЛУОУ- „Л˜ВТНЛı Ф УˆВТТУ‚. пУЪfl М‡˜‡О¸М˚В ЫТОУ‚Лfl МВ ‚ОЛfl˛Ъ М‡ БМ‡˜ВМЛfl a Ë b , УМЛ ЪВП МВ ПВМВВ УФ В- ‰ВОfl˛Ъ НУМН ВЪМ˚И ı‡ ‡НЪВ Н Л‚˚ı ЛБПВМВМЛfl

‡(t) Ë b(t) Л НЛМВЪЛНЫ ФВ ВıУ‰‡ ТЛТЪВП˚ УЪ М‡˜‡О¸- МУИ ЪУ˜НЛ ‡ = ‡0 , b = b0 ‚ ÏУПВМЪ t = 0 ‚ ТЪ‡ˆЛУМ‡ - МУВ ТУТЪУflМЛВ ‡ = a , b = b Ô Ë t .

з‡ ЛТ. 3 Ф Л‚В‰ВМ˚ МВТНУО¸НУ ‚Л‰У‚ ФВ ВıУ‰- М˚ı Н Л‚˚ı ‡(t) Ë b(t). лıУ‰М˚В ФУ ЩУ ПВ Н Л‚˚В М‡·О˛‰‡ОЛТ¸, М‡Ф ЛПВ , ‚ ЩЛБЛУОУ„Л˜ВТНЛı ЛТТОВ- ‰У‚‡МЛflı ТНУ УТЪЛ ‰˚ı‡МЛfl Ф Л ‡БОЛ˜М˚ı М‡˜‡О¸- М˚ı ЫТОУ‚Лflı. щЪЛ ТОЫ˜‡Л ФУОЫ˜ЛОЛ ТФВˆЛ‡О¸М˚В М‡Б‚‡МЛfl, У·УБМ‡˜ВММ˚В М‡ ЛТ. 3. С‡КВ ЛБ ‡М‡ОЛБ‡ Ф УТЪУИ ТЛТЪВП˚ (4) ‚Л‰МУ, ˜ЪУ ‡М‡ОЛЪЛ˜ВТНЛВ В- ¯ВМЛfl ЛПВ˛Ъ ‰У‚УО¸МУ „ УПУБ‰НЛИ ‚Л‰ Л Б‡‚ЛТflЪ УЪ ·УО¸¯У„У ˜ЛТО‡ Ф‡ ‡ПВЪ У‚.

ьТМУ, ˜ЪУ Ф Л ·УО¸¯УП ˜ЛТОВ ФВ ВПВММ˚ı Ъ‡НЛВВ¯ВМЛfl МВ ЪУО¸НУ Ъ Ы‰МУ ФУОЫ˜ЛЪ¸, МУ ФУ МЛП ЫКВ ТОУКМУ ‚˚flТМЛЪ¸ Б‡‚ЛТЛПУТЪ¸ НЛМВЪЛ˜ВТНУ„У ФУ‚В- ‰ВМЛfl ТЛТЪВП˚ УЪ Ф‡ ‡ПВЪ У‚. й· ‡ЪЛП ‚МЛП‡МЛВ М‡ ЪУ, ˜ЪУ Ы ‡‚МВМЛfl (4) ТУ‰В К‡Ъ ‚ Ф ‡‚˚ı ˜‡ТЪflı ЪУО¸НУ ОЛМВИМ˚В ˜ОВМ˚, НЫ‰‡ МВЛБ‚ВТЪМ˚В ФВ ВПВМ- М˚В ‚ıУ‰flЪ ‚ ФВ ‚УИ ТЪВФВМЛ. й‰М‡НУ ‚ ·ЛУОУ„Л˜ВТНЛı ТЛТЪВП‡ı Ф УˆВТТ˚, Н‡Н Ф ‡‚ЛОУ, ТЫ˘ВТЪ‚ВММУ МВОЛМВИМ˚. н‡Н, ТНУ УТЪ¸ Ф УТЪВИ¯ВИ ·ЛПУОВНЫОfl МУИ В‡НˆЛЛ ‚ЪУ У„У ФУ fl‰Н‡ УФЛТ˚‚‡ВЪТfl П‡ЪВ- П‡ЪЛ˜ВТНЛ ‚ ‚Л‰В Ф УЛБ‚В‰ВМЛfl НУМˆВМЪ ‡ˆЛИ В‡- „ВМЪУ‚, ЪУ ВТЪ¸ ‚ ПУ‰ВОЛ Ъ‡НУИ В‡НˆЛЛ Ф ‡‚˚В ˜‡ТЪЛ Ы ‡‚МВМЛИ ТУ‰В К‡Ъ МВОЛМВИМ˚В ˜ОВМ˚. З ˝ЪУП ТОЫ˜‡В М‡ıУК‰ВМЛВ ЪУ˜М˚ı ‡М‡ОЛЪЛ˜ВТНЛı В- ¯ВМЛИ ‚ТЪ В˜‡ВЪТfl Т ТВ ¸ВБМ˚ПЛ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛПЛ Ъ Ы‰МУТЪflПЛ Л ФУ‰˜‡Т ‚УУ·˘В МВ‚УБПУКМУ. иУ˝ЪУПЫ УТМУ‚МУИ ФУ‰ıУ‰ ‚ ТУ‚ ВПВММУИ НЛМВЪЛНВ Л П‡- ЪВП‡ЪЛ˜ВТНУП ПУ‰ВОЛ У‚‡МЛЛ ·ЛУОУ„Л˜ВТНЛı Ф У- ˆВТТУ‚ Б‡НО˛˜‡ВЪТfl ‚ УЪН‡БВ УЪ М‡ıУК‰ВМЛfl ЪУ˜М˚ı ‡М‡ОЛЪЛ˜ВТНЛı В¯ВМЛИ ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸М˚ı Ы ‡‚- МВМЛИ. а‰Вfl ТУТЪУЛЪ ‚ ФУОЫ˜ВМЛЛ Н‡˜ВТЪ‚ВММ˚ı ı‡-‡НЪВ ЛТЪЛН ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНУ„У ФУ‚В‰ВМЛfl ТЛТЪВП˚: ЫТЪУИ˜Л‚˚В Л МВЫТЪУИ˜Л‚˚В ТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚В ТУТЪУflМЛfl, ФВ ВıУ‰˚ ПВК‰Ы МЛПЛ, НУОВ·‡ЪВО¸М˚В ВКЛ- П˚, Н‡˜ВТЪ‚ВММ‡fl Б‡‚ЛТЛПУТЪ¸ ФУ‚В‰ВМЛfl ТЛТЪВП˚ УЪ Н ЛЪЛ˜ВТНЛı БМ‡˜ВМЛИ Ф‡ ‡ПВЪ У‚. з‡Л·УОВВ ‚‡КМ˚П Т‚УИТЪ‚УП ТЪ‡ˆЛУМ‡ МУ„У ТУТЪУflМЛfl fl‚- ОflВЪТfl В„У ЫТЪУИ˜Л‚УТЪ¸. щЪ‡ ЫТЪУИ˜Л‚УТЪ¸ УФ В- ‰ВОflВЪТfl ТФУТУ·МУТЪ¸˛ ТЛТЪВП˚ Т‡ПУФ УЛБ‚УО¸МУ ‚УБ‚ ‡˘‡Ъ¸Тfl ‚ ТЪ‡ˆЛУМ‡ МУВ ТУТЪУflМЛВ ФУТОВ ‚МВ-

a

1

a

2

3

t

êËÒ. 3. è ÂıÓ‰Ì˚Â Í Ë‚˚ a(t): 1 – Ó‚Â ¯ÛÚ, 2 – ПУМУЪУММ‡fl, 3 – ÎÓÊÌ˚È ÒÚ‡ Ú

ТВМЛfl ‚МВ¯МЛı ‚УБПЫ˘ВМЛИ, УЪНОУМfl˛˘Лı ТЛТЪВПЫ УЪ ЛТıУ‰МУИ ТЪ‡ˆЛУМ‡ МУИ ЪУ˜НЛ.

лЫ˘ВТЪ‚ЫВЪ Ф УТЪУИ ПВЪУ‰ УФ В‰ВОВМЛfl ЫТЪУИ˜Л- ‚УТЪЛ ТЪ‡ˆЛУМ‡ МУ„У ТУТЪУflМЛfl, НУЪУ ˚П П˚ ‚УТФУО¸БЫВПТfl ·ВБ ‰УН‡Б‡ЪВО¸ТЪ‚‡ Ф Л ЛТТОВ‰У‚‡МЛЛ ПУ- ‰ВОВИ ·ЛУОУ„Л˜ВТНЛı Ф УˆВТТУ‚. бМ‡Н Ф УЛБ‚У‰МУИ Ф ‡‚УИ ˜‡ТЪЛ ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸МУ„У НЛМВЪЛ˜ВТНУ„У Ы ‡‚МВМЛfl ‚ ТЪ‡ˆЛУМ‡ МУИ ЪУ˜НВ ЫН‡Б˚‚‡ВЪ М‡ ı‡ ‡Н- ЪВ ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ ˝ЪУ„У ТЪ‡ˆЛУМ‡ МУ„У ТУТЪУflМЛfl.

З ТОУКМУИ ТЛТЪВПВ ПУ„ЫЪ Ф УЪВН‡Ъ¸ В‡НˆЛЛ ‚ЪУ У„У Л ·УОВВ ‚˚ТУНЛı ФУ fl‰НУ‚. щЪУ ТУУЪ‚ВЪТЪ- ‚ЫВЪ ЪУПЫ, ˜ЪУ М‡¯‡ ТЛТЪВП‡ ПУКВЪ У·О‡‰‡Ъ¸ МВТНУО¸НЛПЛ ТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚ПЛ ТУТЪУflМЛflПЛ.

иказсаи мбдйЙй еЦлнД

зВНУЪУ ˚В ‚‡КМ˚В Т‚УИТЪ‚‡ ТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚ı ТУТЪУflМЛИ ПУКМУ ‚˚fl‚ЛЪ¸ ЛБЫ˜‡fl Т‚УИТЪ‚‡ Ф ‡‚˚ı ˜‡ТЪВИ ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸М˚ı Ы ‡‚МВМЛИ (М‡ıУК‰ВМЛВ БМ‡Н‡ Ф УЛБ‚У‰МУИ) Л МВ Ф Л·В„‡fl Н Лı ЪУ˜МУПЫ ‡М‡- ОЛЪЛ˜ВТНУПЫ В¯ВМЛ˛. й‰М‡НУ Ъ‡НУИ ФУ‰ıУ‰ ‰‡ВЪ ıУ У¯ЛВ ВБЫО¸Ъ‡Ъ˚ Ф Л ЛТТОВ‰У‚‡МЛЛ ПУ‰ВОВИ, ТУТЪУfl˘Лı ЛБ МВ·УО¸¯У„У ˜ЛТО‡, ˜‡˘В ‚ТВ„У ЛБ ‰‚Ыı, Ы ‡‚МВМЛИ. ьТМУ, ˜ЪУ, ВТОЛ П˚ ıУЪЛП Ы˜ВТЪ¸ ‚ТВ ФВ-ВПВММ˚В НУМˆВМЪ ‡ˆЛЛ Ф УПВКЫЪУ˜М˚ı ‚В˘ВТЪ‚, Ф ЛМЛП‡˛˘Лı Ы˜‡ТЪЛВ ‰‡КВ ‚ Ф УТЪ˚ı ·ЛУıЛПЛ˜В- ТНЛı ˆЛНО‡ı, ˜ЛТОУ Ы ‡‚МВМЛИ ‚ ПУ‰ВОЛ УН‡КВЪТfl ‚ВТ¸П‡ ·УО¸¯ЛП. иУ˝ЪУПЫ ‰Оfl ЫТФВ¯МУ„У ‡М‡ОЛБ‡ МВУ·ıУ‰ЛПУ ·Ы‰ВЪ Ф У‚ВТЪЛ В‰ЫНˆЛ˛ ˜ЛТО‡ Ы ‡‚- МВМЛИ ‚ ЛТıУ‰МУИ ПУ‰ВОЛ Л Т‚В‰ВМЛВ ВВ Н ПУ‰ВОЛ, ТУТЪУfl˘ВИ ЛБ МВ·УО¸¯У„У ˜ЛТО‡ Ы ‡‚МВМЛИ, НУЪУ-˚В ЪВП МВ ПВМВВ УЪ ‡К‡˛Ъ М‡Л·УОВВ ‚‡КМ˚В ‰ЛМ‡- ПЛ˜ВТНЛВ Т‚УИТЪ‚‡ ТЛТЪВП˚. щЪУ ЫПВМ¸¯ВМЛВ ˜ЛТО‡ Ы ‡‚МВМЛИ МВ ПУКВЪ Ф УЛТıУ‰ЛЪ¸ Ф УЛБ‚УО¸МУ, ‡ В„У УТЫ˘ВТЪ‚ОВМЛВ ‰УОКМУ ФУ‰˜ЛМflЪ¸Тfl У·˙ВНЪЛ‚- М˚П Б‡НУМ‡П Л Ф ‡‚ЛО‡П. З Ф УЪЛ‚МУП ТОЫ˜‡В П˚ЛТНЫВП ФУЪВ flЪ¸ Н‡НЛВ-ОЛ·У ТЫ˘ВТЪ‚ВММ˚В Т‚УИТЪ‚‡ У·˙ВНЪ‡, ˜ЪУ МВ ЪУО¸НУ У·В‰МЛЪ М‡¯Ы ПУ‰ВО¸, МУ Л Т‰ВО‡ВЪ ВВ ‚УУ·˘В МВ‡‰ВН‚‡ЪМУИ ПУ‰ВОЛ ЫВПУИ ·ЛУОУ„Л˜ВТНУИ ТЛТЪВПВ.

кВ‰ЫНˆЛfl ˜ЛТО‡ Ы ‡‚МВМЛИ УТМУ‚‡М‡ М‡ ЛБ‚ВТЪМУП ‚ ·ЛУОУ„ЛЛ Ф ЛМˆЛФВ ЫБНУ„У ПВТЪ‡, ЛОЛ Ф ЛМˆЛФВ ‡Б‰ВОВМЛfl ‚ТВı ФВ ВПВММ˚ı ‚ ТОУКМ˚ı ТЛТЪВ- П‡ı М‡ ·˚ТЪ ˚В Л ПВ‰ОВММ˚В. иУТПУЪ ЛП, ‚ ˜ВП ТУТЪУЛЪ ˝ЪУЪ Ф ЛМˆЛФ. ЙВЪВ У„ВММ˚И ı‡ ‡НЪВ У „‡- МЛБ‡ˆЛЛ ·ЛУОУ„Л˜ВТНЛı ТЛТЪВП Ф Уfl‚ОflВЪТfl Н‡Н ‚ ТЪ ЫНЪЫ МУП, Ъ‡Н Л ‚ ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНУП УЪМУ¯ВМЛЛ. к‡БОЛ˜М˚В ЩЫМНˆЛУМ‡О¸М˚В Ф УˆВТТ˚, УЪ‰ВО¸М˚В ПВЪ‡·УОЛ˜ВТНЛВ ˆЛНО˚ ТЛО¸МУ УЪОЛ˜‡˛ЪТfl ‰ Ы„ УЪ ‰ Ы„‡ ФУ Лı ı‡ ‡НЪВ М˚П ‚ ВПВМ‡П τ Л ТНУ УТЪflП. З ˆВОУТЪМУИ ·ЛУОУ„Л˜ВТНУИ ТЛТЪВПВ У‰МУ‚ ВПВММУ Ф УЪВН‡˛Ъ ·˚ТЪ ˚В Ф УˆВТТ˚ ЩВ ПВМЪ‡ЪЛ‚МУ„У Н‡- Ъ‡ОЛБ‡ (τ ≈ 10−1–106 Т), ЩЛБЛУОУ„Л˜ВТНУИ ‡‰‡ФЪ‡ˆЛЛ (τ ТВНЫМ‰˚ Л ПЛМЫЪ˚), ВФ У‰ЫНˆЛЛ (τ УЪ МВТНУО¸- НЛı ПЛМЫЪ Л ·УО¸¯В). С‡КВ ‚ Ф В‰ВО‡ı У‰МУИ УЪ- ‰ВО¸МУИ ˆВФЛ ‚Б‡ЛПУТ‚flБ‡ММ˚ı В‡НˆЛИ ‚ТВ„‰‡ ЛПВ˛ЪТfl М‡Л·УОВВ ПВ‰ОВММ˚В Л М‡Л·УОВВ ·˚ТЪ ˚В ТЪ‡‰ЛЛ. щЪУ Л fl‚ОflВЪТfl УТМУ‚УИ ‰Оfl УТЫ˘ВТЪ‚ОВМЛfl Ф ЛМˆЛФ‡ ЫБНУ„У ПВТЪ‡, ТУ„О‡ТМУ НУЪУ УПЫ У·˘‡fl

ТНУ УТЪ¸ Ф В‚ ‡˘ВМЛfl ‚В˘ВТЪ‚‡ ‚У ‚ТВИ ˆВФЛ В‡Н- ˆЛИ УФ В‰ВОflВЪТfl М‡Л·УОВВ ПВ‰ОВММУИ ТЪ‡‰ЛВИ (ЫБНЛП ПВТЪУП). щЪ‡ ПВ‰ОВММ‡fl ТЪ‡‰Лfl У·О‡‰‡ВЪ Т‡П˚П ·УО¸¯ЛП ı‡ ‡НЪВ М˚П ‚ ВПВМВП (Т‡ПУИ П‡ОУИ ТНУ-УТЪ¸˛) ФУ Т ‡‚МВМЛ˛ ТУ ‚ТВПЛ ı‡ ‡НЪВ М˚ПЛ ‚ В- ПВМ‡ПЛ ‰ Ы„Лı УЪ‰ВО¸М˚ı ТЪ‡‰ЛИ. й·˘ВВ ‚ ВПfl Ф УˆВТТ‡ Ф ‡НЪЛ˜ВТНЛ ТУ‚Ф‡‰‡ВЪ Т ı‡ ‡НЪВ М˚П ‚ ВПВМВП ˝ЪУ„У ЫБНУ„У ПВТЪ‡. л‡ПУВ ПВ‰ОВММУВ Б‚В- МУ Л fl‚ОflВЪТfl ЫФ ‡‚Оfl˛˘ЛП, ФУТНУО¸НЫ ‚УБ‰ВИТЪ- ‚ЛВ ЛПВММУ М‡ МВ„У, ‡ МВ М‡ ·УОВВ ·˚ТЪ ˚В ТЪ‡‰ЛЛ ПУКВЪ ФУ‚ОЛflЪ¸ Л М‡ ТНУ УТЪ¸ Ф УЪВН‡МЛfl ‚ТВ„У Ф УˆВТТ‡. н‡НЛП У· ‡БУП, ıУЪfl ТОУКМ˚В ·ЛУОУ„Л˜В- ТНЛВ Ф УˆВТТ˚ Л ‚НО˛˜‡˛Ъ У˜ВМ¸ ·УО¸¯УВ ˜ЛТОУ Ф УПВКЫЪУ˜М˚ı ТЪ‡‰ЛИ, Лı ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛВ Т‚УИТЪ‚‡ УФ В‰ВОfl˛ЪТfl Т ‡‚МЛЪВО¸МУ МВ·УО¸¯ЛП ˜ЛТОУП УЪ- ‰ВО¸М˚ı М‡Л·УОВВ ПВ‰ОВММ˚ı Б‚ВМ¸В‚. щЪУ Л УБМ‡- ˜‡ВЪ, ˜ЪУ ЛТТОВ‰У‚‡МЛВ ПУКМУ Ф У‚У‰ЛЪ¸ М‡ ПУ‰В- Оflı, НУЪУ ˚В ТУ‰В К‡Ъ ТЫ˘ВТЪ‚ВММУ ПВМ¸¯ВВ ˜ЛТОУ Ы ‡‚МВМЛИ. з‡Л·УОВВ ПВ‰ОВММ˚П ТЪ‡‰ЛflП ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛Ъ ПВ‰ОВММУ ПВМfl˛˘ЛВТfl, ‡ ·˚ТЪ ˚П ТЪ‡‰ЛflП – ·˚ТЪ У ПВМfl˛˘ЛВТfl ФВ ВПВММ˚В ‚ВОЛ˜ЛМ˚. щЪУ ЛПВВЪ „ОЫ·УНЛИ ТП˚ТО. ЦТОЛ П˚ ‚УБ‰ВИТЪ‚ЫВП Н‡- НЛП-ЪУ У· ‡БУП М‡ Ъ‡НЫ˛ ТЛТЪВПЫ (‚МВТВП ‚ МВВ Н‡- НУВ-ЪУ ‚УБПЫ˘ВМЛВ), ЪУ ‚ УЪ‚ВЪ ‚ТВ ФВ ВПВММ˚В НУМˆВМЪ ‡ˆЛЛ ‚Б‡ЛПУ‰ВИТЪ‚Ы˛˘Лı ‚В˘ВТЪ‚ М‡˜МЫЪ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ВММУ Л ЛБПВМflЪ¸Тfl. й‰М‡НУ ˝ЪУ ·Ы‰ВЪ Ф УЛТıУ‰ЛЪ¸ Т ТЫ˘ВТЪ‚ВММУ ‡БМ˚ПЛ ТНУ УТЪflПЛ ‰Оfl ‡БМ˚ı ‚В˘ВТЪ‚.

ÇЫТЪУИ˜Л‚УИ ТЛТЪВПВ ·˚ТЪ ˚В ФВ ВПВММ˚В ·˚- ТЪ У УЪНОУМflЪТfl, МУ Б‡ЪУ Л ·˚ТЪ У ‚В МЫЪТfl Б‡ЪВП Н Т‚УЛП ФВ ‚УМ‡˜‡О¸М˚П БМ‡˜ВМЛflП. з‡У·У УЪ, ПВ‰- ОВММ˚В ФВ ВПВММ˚В ·Ы‰ЫЪ ‰УО„У ЛБПВМflЪ¸Тfl ‚ ıУ‰В ФВ ВıУ‰М˚ı Ф УˆВТТУ‚, НУЪУ ˚В Л УФ В‰ВОflЪ ‰ЛМ‡- ПЛНЫ ЛБПВМВМЛИ ‚У ‚ТВИ ТЛТЪВПВ. З В‡О¸М˚ı ЫТОУ- ‚Лflı ТЛТЪВП‡ ЛТФ˚Ъ˚‚‡ВЪ ‚МВ¯МЛВ ЪУО˜НЛ, НУЪУ ˚В Ф Л‚У‰flЪ Н ‚Л‰ЛП˚П ЛБПВМВМЛflП ПВ‰ОВММ˚ı ФВ В- ПВММ˚ı, У‰М‡НУ ·˚ТЪ ˚В ФВ ВПВММ˚В ·Ы‰ЫЪ ‚ УТМУ‚МУП Ф В·˚‚‡Ъ¸ УНУОУ ТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚ı БМ‡˜ВМЛИ. нУ„‰‡ ‰Оfl ·˚ТЪ ˚ı ФВ ВПВММ˚ı ‚ПВТЪУ ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸М˚ı НЛМВЪЛ˜ВТНЛı Ы ‡‚МВМЛИ, УФЛТ˚‚‡˛˘Лı Лı ФУ‚В‰ВМЛВ ‚У ‚ ВПВМЛ, ПУКМУ Б‡ФЛТ‡Ъ¸ Ф УТЪ˚В ‡О„В· ‡Л˜ВТНЛВ Ы ‡‚МВМЛfl, УФ В‰ВОfl˛˘ЛВ Лı ТЪ‡- ˆЛУМ‡ М˚В БМ‡˜ВМЛfl. н‡НЛП ФЫЪВП УТЫ˘ВТЪ‚ОflВЪТflВ‰ЫНˆЛfl ˜ЛТО‡ ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸М˚ı Ы ‡‚МВМЛИ ФУОМУИ ТЛТЪВП˚, НУЪУ ˚В ЪВФВ ¸ ·Ы‰ЫЪ ‚НО˛˜‡Ъ¸ ОЛ¯¸ ПВ‰ОВММ˚В ФВ ВПВММ˚В, Б‡‚ЛТfl˘ЛВ УЪ ‚ ВПВМЛ.

ÇУ‰МУИ Л ЪУИ КВ ·ЛУОУ„Л˜ВТНУИ ТЛТЪВПВ УО¸ ЫБНУ„У ПВТЪ‡ Л ПВ‰ОВММУИ ТЪ‡‰ЛЛ ПУ„ЫЪ ‚˚ФУОМflЪ¸‡БМ˚В Б‚ВМ¸fl ˆВФЛ ‚ Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ УЪ ‚МВ¯МЛı ЫТОУ- ‚Лflı. к‡ТТПУЪ ЛП, М‡Ф ЛПВ , ı‡ ‡НЪВ Т‚ВЪУ‚УИ Н Л‚УИ ЩУЪУТЛМЪВБ‡ – Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ ТНУ УТЪЛ ‚˚- ‰ВОВМЛfl НЛТОУ У‰‡ УЪ ЛМЪВМТЛ‚МУТЪЛ УТ‚В˘ВМЛfl I ( ËÒ. 4). ç‡ Û˜‡ÒÚÍ éА ˝ЪУИ Н Л‚УИ Ф Л МВ‰УТЪ‡ЪНВ Т‚ВЪ‡ ЫБНЛП ПВТЪУП ‚ТВ„У Ф УˆВТТ‡ ЩУЪУТЛМЪВЪЛ˜В-

ТНУ„У ‚˚‰ВОВМЛfl й2 fl‚Оfl˛ЪТfl М‡˜‡О¸М˚В ЩУЪУıЛПЛ˜ВТНЛВ ТЪ‡‰ЛЛ ФУ„ОУ˘ВМЛfl Л Ъ ‡МТЩУ П‡ˆЛЛ ˝МВ „ЛЛ Т‚ВЪ‡ ‚ ФЛ„ПВМЪМУП ‡ФФ‡ ‡ЪВ. йЪПВЪЛП, ˜ЪУ Т‡ПЛ ˝ЪЛ Ф УˆВТТ˚ УЪ ЪВПФВ ‡ЪЫ ˚ Ф ‡НЪЛ˜ВТНЛ МВ Б‡‚ЛТflЪ. аПВММУ ФУ˝ЪУПЫ Ф Л МЛБНЛı УТ‚В˘ВММУТ-

vO2

B

A

O I

êËÒ. 4. ᇂЛТЛПУТЪ¸ ТНУ УТЪЛ ‚˚‰ВОВМЛfl НЛТОУ-У‰‡ vO2 УЪ ЛМЪВМТЛ‚МУТЪЛ УТ‚В˘ВМЛfl I

Ъflı У·˘‡fl ТНУ УТЪ¸ ЩУЪУТЛМЪВБ‡ ЛОЛ ТНУ УТЪ¸ ‚˚- ‰ВОВМЛfl й2 , Н‡Н ЛБ‚ВТЪМУ, У˜ВМ¸ П‡ОУ ЛБПВМflВЪТfl Т ЪВПФВ ‡ЪЫ УИ ‚ ЩЛБЛУОУ„Л˜ВТНУП ‰Л‡Ф‡БУМВ УЪ +5 ‰У +30°C. з‡ ˝ЪУП Ы˜‡ТЪНВ Т‚ВЪУ‚УИ Н Л‚УИ УО¸ ·˚ТЪ УИ ФВ ВПВММУИ Л„ ‡˛Ъ ЪВПМУ‚˚В Ф УˆВТТ˚ Ъ ‡МТФУ Ъ‡ ˝ОВНЪ УМУ‚, НУЪУ ˚В ОВ„НУ В‡„Л Ы˛Ъ М‡ О˛·˚В ЛБПВМВМЛfl ЫТОУ‚ЛИ УТ‚В˘ВМЛfl Л ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ВММУ ˝ОВНЪ УММУ„У ФУЪУН‡ УЪ В‡НˆЛУММ˚ı ˆВМЪ-У‚ ЩУЪУТЛМЪВЪЛ˜ВТНУ„У ‡ФФ‡ ‡Ъ‡ Ф Л МЛБНЛı УТ‚В- ˘ВММУТЪflı.

й‰М‡НУ Ф Л ·УОВВ ‚˚ТУНЛı ЛМЪВМТЛ‚МУТЪflı М‡ Ы˜‡ТЪНВ АÇ Т‚ВЪУ‚УИ Н Л‚УИ У„ ‡МЛ˜Л‚‡˛˘ЛПЛ ТЪ‡- МУ‚flЪТfl ЫКВ ЪВПМУ‚˚В ·ЛУıЛПЛ˜ВТНЛВ Ф УˆВТТ˚ ФВ ВМУТ‡ ˝ОВНЪ УМ‡ Л ‡БОУКВМЛfl ‚У‰˚. З ˝ЪЛı ЫТОУ‚Лflı Ф Л ·УО¸¯Лı I ЪВПМУ‚˚В Ф УˆВТТ˚ ТЪ‡МУ- ‚flЪТfl ЫБНЛП ПВТЪУП. йМЛ МВ ТФ ‡‚Оfl˛ЪТfl Т ПУ˘М˚П ФУЪУНУП ˝ОВНЪ УМУ‚, Л‰Ы˘ЛП УЪ ФЛ„ПВМЪМУ„У ‡ФФ‡-‡Ъ‡ Ф Л ·УО¸¯Лı УТ‚В˘ВММУТЪflı, ˜ЪУ Л Ф Л‚У‰ЛЪ Н Т‚ВЪУ‚УПЫ М‡Т˚˘ВМЛ˛ ЩУЪУТЛМЪВБ‡. з‡ ˝ЪУП ˝Ъ‡ФВ ‚ ТЛОЫ ЩВ ПВМЪ‡ЪЛ‚МУИ Ф Л У‰˚ ЪВПМУ‚˚ı Ф УˆВТТУ‚ ФУ‚˚¯ВМЛВ ЪВПФВ ‡ЪЫ ˚ ‚˚Б˚‚‡ВЪ Лı ЫТНУ В- МЛВ Л ЪВП Т‡П˚П ЫКВ Ы‚ВОЛ˜Л‚‡ВЪ У·˘Ы˛ ТНУ УТЪ¸ ЩУЪУТЛМЪВБ‡ (‚˚‰ВОВМЛfl НЛТОУ У‰‡) ‚ ЫТОУ‚Лflı Т‚В- ЪУ‚У„У М‡Т˚˘ВМЛfl ЩУЪУТЛМЪВБ‡. б‰ВТ¸ УО¸ ЫФ ‡‚- Оfl˛˘ВИ ПВ‰ОВММУИ ТЪ‡‰ЛЛ ‚˚ФУОМfl˛Ъ ЪВПМУ‚˚В Ф УˆВТТ˚, ‡ ·˚ТЪ УИ ТЪ‡‰ЛЛ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛Ъ Ф УˆВТ- Т˚ ПЛ„ ‡ˆЛЛ ˝МВ „ЛЛ Л ВВ Ъ ‡МТЩУ П‡ˆЛЛ ‚ В‡Н- ˆЛУММ˚ı ˆВМЪ ‡ı.

наих СазДеауЦлдйЙй ийЗЦСЦзаь ЕайгйЙауЦлдап лалнЦе

лУ‚ ВПВММ‡fl Ф ‡НЪЛН‡ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНУ„У ПУ‰В- ОЛ У‚‡МЛfl ФУН‡Б‡О‡, ˜ЪУ М‡Л·УОВВ ТУ‰В К‡ЪВО¸М˚В Л ‚ПВТЪВ Т ЪВП МВ ТОЛ¯НУП ФВ В„ ЫКВММ˚В ‰ВЪ‡ОflПЛ ПУ‰ВОЛ ТУ‰В К‡Ъ, Н‡Н Ф ‡‚ЛОУ, ‰‚‡ Ы ‡‚МВМЛfl. аПВММУ ‚ ЪУП ТОЫ˜‡В, НУ„‰‡, ФУО¸БЫflТ¸ ‡Б‰ВОВМЛВП ФВ ВПВММ˚ı М‡ ·˚ТЪ ˚В Л ПВ‰ОВММ˚В, ПУКМУ Т‚ВТЪЛ ЛТıУ‰МЫ˛ ТЛТЪВПЫ Н ‚Л‰Ы

Ы‰‡ВЪТfl ЫТФВ¯МУ ЛТФУО¸БУ‚‡Ъ¸ Н‡˜ВТЪ‚ВММ˚В ПВЪУ- ‰˚ ЛТТОВ‰У‚‡МЛfl ФУ‰У·М˚ı ТЛТЪВП. З Ф УˆВТТВ ЛБПВМВМЛfl ТУТЪУflМЛfl ТЛТЪВП˚ ‚У ‚ ВПВМЛ ФВ ВПВМ- М˚В x, y ЛБПВМfl˛ЪТfl ТУ„О‡ТМУ Ы ‡‚МВМЛflП Ъ‡Н, ˜ЪУ Н‡К‰УПЫ ТУТЪУflМЛ˛ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЫВЪ Ф‡ ‡ БМ‡˜ВМЛИ (x, y). аМ˚ПЛ ТОУ‚‡ПЛ, ЛБПВ flfl ‚ ФУТОВ‰У‚‡ЪВО¸М˚В ПУПВМЪ˚ ‚ ВПВМЛ t1, t2, …, tn БМ‡˜ВМЛfl ФВ ВПВММ˚ı x, y, П˚ Ф В‰ТЪ‡‚ОflВП ТУТЪУflМЛВ ТЛТЪВП˚ ‚ ‚Л‰В ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘Лı Ф‡ (x1 , y1), (x2 , y2), …, (xn , yn), ÍÓÚÓ-˚ fl‚Îfl˛ÚÒfl ÍÓÓ ‰Ë̇ڇÏË ÚÓ˜ÂÍ å1 , å2 , …, ån , ЛБУ· ‡К‡˛˘Лı ‰‚ЛКВМЛВ ТЛТЪВП˚.

З Н‡К‰˚И ПУПВМЪ ‚ ВПВМЛ t ЛБУ· ‡К‡˛˘‡fl ЪУ˜Н‡ ·Ы‰ВЪ ‰‚Л„‡Ъ¸Тfl ‚ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЛЛ Т ТЛТЪВПУИ Ы ‡‚МВМЛИ (6) Л Н‡К‰˚И ‡Б Ф ЛМЛП‡Ъ¸ ФУОУКВМЛВ å(x, y) ‚ Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ УЪ БМ‡˜ВМЛИ x(t), y(t). лУ‚УНЫФМУТЪ¸ ˝ЪЛı ЪУ˜ВН М‡Б˚‚‡ВЪТfl Щ‡БУ‚УИ Ъ ‡ВНЪУ ЛВИ.

п‡ ‡НЪВ Щ‡БУ‚˚ı Ъ ‡ВНЪУ ЛИ УЪ ‡К‡ВЪ У·˘ЛВ Н‡˜ВТЪ‚ВММ˚В ˜В Ъ˚ ФУ‚В‰ВМЛfl ТЛТЪВП˚ ‚У ‚ ВПВМЛ ЛОЛ, Н‡Н „У‚У flЪ, ‰‡ВЪ Щ‡БУ‚˚И ФУ Ъ ВЪ ТЛТЪВП˚. з‡Т ·Ы‰ВЪ ЛМЪВ ВТУ‚‡Ъ¸ Щ‡БУ‚˚И ФУ Ъ ВЪ ТЛТЪВП˚ ‚·ОЛБЛ ТЪ‡ˆЛУМ‡ МУИ ЛОЛ УТУ·УИ ЪУ˜НЛ Т НУУ ‰Л- М‡Ъ‡ПЛ x, y Ô Ë P(x, y) = 0 Ë Q(x, y) = 0, ÍÓ„‰‡ x = x , y = y .

ьТМУ, ˜ЪУ ‚ УН ВТЪМУТЪЛ ЫТЪУИ˜Л‚УИ УТУ·УИ ЪУ˜- НЛ x, y ËÁÓ· ‡Ê‡˛˘‡fl ÚӘ͇ å(x, y) ·Ы‰ВЪ Н МВИ Ф Л·ОЛК‡Ъ¸Тfl ФУ Щ‡БУ‚˚П Ъ ‡ВНЪУ ЛflП Л, М‡У·У УЪ, Ы‰‡ОflЪ¸Тfl УЪ МВВ ‚ ТОЫ˜‡В МВЫТЪУИ˜Л‚У„У ВКЛП‡.

е˚ МВ ·Ы‰ВП Ф Л‚У‰ЛЪ¸ Б‰ВТ¸ ‚ТВ ЪЛФ˚ УТУ·˚ı ЪУ˜ВН, ı‡ ‡НЪВ НУЪУ ˚ı Б‡‚ЛТЛЪ УЪ Т‚УИТЪ‚ Ф ‡‚˚ı ˜‡ТЪВИ НЛМВЪЛ˜ВТНЛı Ы ‡‚МВМЛИ, ‡ ‡ТТПУЪ ЛП М‡Л- ·УОВВ ‚‡КМ˚В ·ЛУОУ„Л˜ВТНЛВ Ф ЛПВ ˚.

åÓ‰Âθ ÇÓθÚ ‡ ıˢÌËÍ–Ê ڂ‡

щЪ‡ ПУ‰ВО¸ УЪ ‡К‡ВЪ ˜ЛТОВММУТЪЛ ФУФЫОflˆЛИ КВ Ъ‚ (x) Ë ıˢÌËÍÓ‚ (y), ‚Б‡ЛПУ‰ВИТЪ‚Ы˛˘Лı ‰ Ы„ Т ‰ Ы„УП ФУ ПВı‡МЛБПЫ Т‚У·У‰М˚ı ТУЫ‰‡ ВМЛИ. щЪУ БМ‡˜ЛЪ, ˜ЪУ ˜ЛТОВММУТЪ¸ КВ Ъ‚ Ф УФУ ˆЛУМ‡О¸М‡ ‚В УflЪМУТЪЛ ‚ТЪ В˜Л Лı Т ıЛ˘МЛН‡ПЛ, ЪУ ВТЪ¸ Ф У- ФУ ˆЛУМ‡О¸М‡ Ф УЛБ‚В‰ВМЛ˛ xy. иУ Ъ‡НУПЫ КВ Б‡НУМЫ Ы‚ВОЛ˜Л‚‡ВЪТfl Л ˜ЛТОВММУТЪ¸ ıЛ˘МЛНУ‚ ‚ ВБЫО¸- Ъ‡ЪВ Лı ‚ТЪ В˜ Т КВ Ъ‚‡ПЛ. З Ы ‡‚МВМЛflı НЛМВЪЛНЛ ˝ЪУ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЫВЪ ·ЛПУОВНЫОfl МУИ В‡НˆЛЛ (ЪЛФ‡ kxy). д УПВ ЪУ„У, Ф УЛТıУ‰ЛЪ Ф УˆВТТ ВТЪВТЪ‚ВММУИ ТПВ ЪМУТЪЛ ıЛ˘МЛНУ‚ ТУ ТНУ УТЪ¸˛, Ф УФУ ˆЛУ- М‡О¸МУИ Лı НУОЛ˜ВТЪ‚Ы, ЪУ ВТЪ¸ ФУ В‡НˆЛЛ ФВ ‚У„У ФУ fl‰Н‡ (−ky). ЬВ Ъ‚˚ ‡БПМУК‡˛ЪТfl ТУ ТНУ УТЪ¸˛, Ъ‡НКВ Ф УФУ ˆЛУМ‡О¸МУИ Лı ˜ЛТОВММУТЪЛ ‚ ЫТОУ‚Л- flı, НУ„‰‡ НУОЛ˜ВТЪ‚У ФЛ˘Л ‰Оfl МЛı МВУ„ ‡МЛ˜ВММУ.

З ˝ЪЛı ЫФ У˘ВММ˚ı Ф В‰ФУОУКВМЛflı ТУУЪ‚ВЪТЪ- ‚Ы˛˘ЛВ Ы ‡‚МВМЛfl ЛПВ˛Ъ ‚Л‰

γ1 , ε1 , γ2 , ε2 – ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘ЛВ НУМТЪ‡МЪ˚ ТНУ У- ТЪВИ ЛОЛ НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪ˚ Ф УФУ ˆЛУМ‡О¸МУТЪЛ.

АМ‡ОЛБ ФУН‡Б˚‚‡ВЪ, ˜ЪУ ТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚В БМ‡˜ВМЛfl НУУ ‰ЛМ‡Ъ ТЪ‡ˆЛУМ‡ МУИ ТЛТЪВП˚ (7)

ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛Ъ УТУ·УИ ЪУ˜НВ ЪЛФ‡ “ˆВМЪ ” ( ЛТ. 5), НУЪУ ‡fl УЪ ‡К‡ВЪ НУОВ·‡МЛfl ˜ЛТОВММУТЪЛ ФУФЫОflˆЛИ.

аТЪУ Л˜ВТНЛ ТЛТЪВП‡ ЗУО¸ЪВ ‡ (7) ·˚О‡ ФВ ‚УИ ПУ‰ВО¸˛, „‰В ·˚ОУ Н‡˜ВТЪ‚ВММУ У·˙flТМВМУ М‡·О˛‰‡- ВПУВ ‚ Ф Л У‰В ФВ ЛУ‰Л˜ВТНУВ ЛБПВМВМЛВ ˜ЛТОВММУТЪЛ ФУФЫОflˆЛЛ ‚Л‰У‚, МВ Б‡‚ЛТfl˘ВВ УЪ ‚МВ¯МЛı ‚УБ‰ВИТЪ‚ЛИ. й‰М‡НУ ˝Ъ‡ ПУ‰ВО¸ ТОЛ¯НУП Ф УТЪ‡fl Л МВ УЪ ‡К‡ВЪ ‚Б‡ЛПУ‰ВИТЪ‚Лfl ‚Л‰У‚ ‚ ВТЪВТЪ‚ВММ˚ı ЫТОУ‚Лflı.

СОfl ЫОЫ˜¯ВМЛfl ПУ‰ВОЛ Ф В‰О‡„‡ВЪТfl, М‡Ф ЛПВ , Ы˜ВТЪ¸ Т‡ПУУ„ ‡МЛ˜ВМЛfl ‚ ВТЪВТЪ‚ВММ˚ı ЫТОУ‚ЛflıУТЪ‡ У·ВЛı ФУФЫОflˆЛИ ФЫЪВП ‰У·‡‚ОВМЛfl ‚ Ф ‡‚˚В ˜‡ТЪЛ Ы ‡‚МВМЛИ ˜ОВМУ‚ ‚ЪУ У„У ФУ fl‰Н‡ (− γ3x 2, −γ4y2), УЪ ‡К‡˛˘Лı ˝ЩЩВНЪ ЪВТМУЪ˚ Л НУМНЫ ВМˆЛЛ ‚МЫЪ Л ФУФЫОflˆЛЛ.

y

x

êËÒ. 5. йТУ·‡fl ЪУ˜Н‡ ЪЛФ‡ “ˆВМЪ ” М‡ Щ‡БУ‚УИ ФОУТНУТЪЛ (x, y)

дУОВ·‡ЪВО¸М˚В Ф УˆВТТ˚. дУОВ·‡МЛfl ‚ „ОЛНУОЛБВ

ЗУ ПМУ„Лı ·ЛУОУ„Л˜ВТНЛı ТЛТЪВП‡ı М‡·О˛‰‡˛ЪТfl ФВ ЛУ‰Л˜ВТНЛВ Ф УˆВТТ˚: НУОВ·‡МЛfl НУМˆВМЪ ‡ˆЛИ Ф УПВКЫЪУ˜М˚ı Ф У‰ЫНЪУ‚ ‚ „ОЛНУОЛБВ Л ЩУЪУТЛМЪВБВ, НУОВ·‡МЛfl ˜ЛТОВММУТЪЛ ‚Л‰У‚, ФВ ЛУ‰Л˜ВТНЛВ ·ЛУıЛПЛ˜ВТНЛВ В‡НˆЛЛ. аМЪВ ВТ Н НУОВ·‡ЪВО¸М˚П ·ЛУОУ„Л˜ВТНЛП Ф УˆВТТ‡П УТУ·ВММУ ‚УБ УТ ‚ Т‚flБЛ Т ЛБЫ˜ВМЛВП ·ЛУОУ„Л˜ВТНЛı ˜‡ТУ‚, ‚ УТМУ‚В НУЪУ ˚ı ОВКЛЪ ‡‚ЪУНУОВ·‡ЪВО¸М‡fl ТЛТЪВП‡ ‚МЫЪ ЛНОВЪУ˜М˚ı ·ЛУıЛПЛ˜ВТНЛı В‡НˆЛИ.

ЗУ ‚ТВı ˝ЪЛı ТОЫ˜‡flı ЛПВММУ ‚МЫЪ ВММЛВ ‰ЛМ‡- ПЛ˜ВТНЛВ Т‚УИТЪ‚‡ ТЛТЪВП˚, ‡ МВ Н‡НЛВ-ОЛ·У ‚МВ¯- МЛВ ‚УБ‰ВИТЪ‚Лfl fl‚Оfl˛ЪТfl Ф Л˜ЛМУИ НУОВ·‡ЪВО¸М˚ı ЛБПВМВМЛИ. н‡НЛВ ТЛТЪВП˚ М‡Б˚‚‡˛ЪТfl ‡‚ЪУНУОВ·‡- ЪВО¸М˚ПЛ. иВ ЛУ‰Л˜ВТНУПЫ ‰‚ЛКВМЛ˛ ТУУЪ‚ВЪТЪ-

‚ЫВЪ Б‡ПНМЫЪ‡fl Н Л‚‡fl М‡ Щ‡БУ‚УИ ФОУТНУТЪЛ. ЦТОЛ ˝Ъ‡ Б‡ПНМЫЪ‡fl Н Л‚‡fl ЛБУОЛ У‚‡М‡, ‡ Н МВИ Т ‚МВ¯- МВИ Л ‚МЫЪ ВММВИ ТЪУ УМ ФУ ТФЛ ‡ОflП Ф Л·ОЛК‡˛Ъ- Тfl ТУТВ‰МЛВ Ъ ‡ВНЪУ ЛЛ, ЪУ ˝Ъ‡ ЛБУОЛ У‚‡ММ‡fl Ъ ‡- ВНЪУ Лfl ·Ы‰ВЪ ЫТЪУИ˜Л‚˚П Ф В‰ВО¸М˚П ˆЛНОУП ( ЛТ. 6). иУТОВ МВ·УО¸¯Лı ‚УБПЫ˘ВМЛИ ТЛТЪВП‡ ‚МУ‚¸ ‚УБ‚ ‡˘‡ВЪТfl М‡ Ъ ‡ВНЪУ Л˛ ЫТЪУИ˜Л‚У„У Ф В‰ВО¸МУ„У ˆЛНО‡. З ˝ЪУП ВВ УЪОЛ˜ЛВ УЪ Ъ ‡ВНЪУ-ЛИ ‚УН Ы„ УТУ·УИ ЪУ˜НЛ “ˆВМЪ ”, НУЪУ ‡fl ˝ЪЛП Т‚УИТЪ‚УП МВ У·О‡‰‡ВЪ Л ФУ˝ЪУПЫ ‚ ˆВОУП МВЫТЪУИ- ˜Л‚‡. иВ ЛУ‰ Л ‡ПФОЛЪЫ‰‡ ‰‚ЛКВМЛИ ‚‰УО¸ Ъ ‡ВНЪУ-ЛЛ Ф В‰ВО¸МУ„У ˆЛНО‡ МВ Б‡‚ЛТflЪ УЪ М‡˜‡О¸М˚ı ЫТОУ‚ЛИ.

дО‡ТТЛ˜ВТНЛП Ф ЛПВ УП НУОВ·‡ЪВО¸МУИ ·ЛУıЛПЛ˜ВТНУИ ТЛТЪВП˚ fl‚ОflВЪТfl „ОЛНУОЛЪЛ˜ВТН‡fl ˆВФ¸. З‚В‰ВМЛВ ‚ Ф ‡НЪЛНЫ ·ЛУЩЛБЛ˜ВТНЛı ЛТТОВ‰У‚‡МЛИ ˜Ы‚ТЪ‚ЛЪВО¸М˚ı ПВЪУ‰У‚ ТФВНЪ УЩУЪУПВЪ ЛЛ ФУБ- ‚УОЛОУ М‡·О˛‰‡Ъ¸ Б‡ ЛБПВМВМЛflПЛ НУМˆВМЪ ‡ˆЛИ Ф УПВКЫЪУ˜М˚ı ‚В˘ВТЪ‚ МВФУТ В‰ТЪ‚ВММУ ‚ ЛМ- Ъ‡НЪМУИ НОВЪНВ. и УˆВТТ˚ „ОЛНУОЛБ‡ ТУФ У‚УК‰‡- ˛ЪТfl ФВ ЛУ‰Л˜ВТНЛПЛ ЛБПВМВМЛflПЛ НУМˆВМЪ ‡- ˆЛИ Ф УПВКЫЪУ˜М˚ı ‚В˘ВТЪ‚ Щ ЫНЪУБУ-6-ЩУТЩ‡Ъ‡ (о6о), Щ ЫНЪУБУ-1,6-‰ЛЩУТЩ‡Ъ‡ (оСо) Л ‚УТТЪ‡- МУ‚ОВММУ„У зАС. йТУ·ВММУ УЪ˜ВЪОЛ‚У НУОВ·‡МЛfl НУМˆВМЪ ‡ˆЛИ М‡·О˛‰‡ОЛТ¸ М‡ „УОУ‰‡˛˘Лı НОВЪ- Н‡ı, НУ„‰‡ ТНУ УТЪ¸ ФУЪ В·ОВМЛfl ТЫ·ТЪ ‡Ъ‡-„О˛НУ- Б˚ П‡О‡. иУТОВ Ф ЛПВМВМЛfl Ф ЛМˆЛФ‡ ЫБНУ„У ПВТЪ‡ Л ‡Б‰ВОВМЛfl ФВ ВПВММ˚ı М‡ ·˚ТЪ ˚В Л ПВ‰ОВММ˚В ‚ ЫФ У˘ВММУИ ПУ‰ВОЛ УТЪ‡ОЛТ¸ ЪУО¸НУ ТЪ‡‰Лfl Ф В- ‚ ‡˘ВМЛfl „О˛НУБ˚ (ЙО) ‚ о6о Л ТЪ‡‰Лfl ФВ ВıУ‰‡ о6о ‚ оСо ФУ‰ ‚ОЛflМЛВП ЩВ ПВМЪ‡ ЩУТЩУЩ ЫНЪУНЛМ‡Б˚ (оод), ЪУ ВТЪ¸

ÉÎ î6î îÑî

y

x

êËÒ. 6. мТЪУИ˜Л‚˚И Ф В‰ВО¸М˚И ˆЛНО М‡ Щ‡БУ‚УИ ФОУТНУТЪЛ x, y – Щ‡БУ‚˚И ФУ Ъ ВЪ НУОВ·‡МЛИ ‚ ТЛТЪВПВ „ОЛНУОЛБ‡

е˚ ЫКВ ‚Л‰ВОЛ, ˜ЪУ УТУ·˚В ‰ЛМ‡ПЛ˜ВТНЛВ Т‚УИТЪ‚‡, ‚ ЪУП ˜ЛТОВ ‡‚ЪУНУОВ·‡ЪВО¸М˚В, Ф Уfl‚Оfl˛ЪТfl, НУ„‰‡ ‚ ПУ‰ВОЛ Ф ЛТЫЪТЪ‚Ы˛Ъ МВОЛМВИМ˚В ˜ОВМ˚. щЪУПЫ Ъ В·У‚‡МЛ˛ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚У‚‡ОУ Ф В‰ФУОУКВМЛВ У ЪУП, ˜ЪУ ЩВ ПВМЪ оод ‡НЪЛ‚Л ЫВЪТfl Ф У‰ЫНЪУП Ф В‚ ‡˘ВМЛfl Щ ЫНЪУБУ‰ЛЩУТЩ‡ЪУП, ЪУ ВТЪ¸

îîä

(‡ÍÚ)

З ТЛТЪВПВ ‚УБПУКМУ У· ‡БУ‚‡МЛВ Ф В‰ВО¸МУ„У ˆЛН- О‡ ( ЛТ. 6), Л ТЛТЪВП‡ ТЪ‡МУ‚ЛЪТfl ‡‚ЪУНУОВ·‡ЪВО¸МУИ ( ЛТ. 7).

лЫ˘ВТЪ‚Ы˛Ъ Л ‰ Ы„ЛВ Ф ЛПВ ˚ ‡‚ЪУНУОВ·‡ЪВО¸- М˚ı ·ЛУОУ„Л˜ВТНЛı Ф УˆВТТУ‚, ‰Оfl НУЪУ ˚ı ‡Б ‡- ·УЪ‡М˚ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘ЛВ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛВ ПУ‰ВОЛ Л М‡И‰ВМ˚ У·О‡ТЪЛ БМ‡˜ВМЛИ Ф‡ ‡ПВЪ У‚, УФ В‰ВОfl˛- ˘Лı ‚УБМЛНМУ‚ВМЛВ ‡‚ЪУНУОВ·‡ЪВО¸МУ„У ВКЛП‡. й‰МЛП ЛБ М‡Л·УОВВ ЛМЪВ ВТМ˚ı ·ЛУОУ„Л˜ВТНЛı ФВ-ЛУ‰Л˜ВТНЛı Ф УˆВТТУ‚ fl‚Оfl˛ЪТfl ТЫЪУ˜М˚В ЛЪП˚, ЛОЛ ·ЛУОУ„Л˜ВТНЛВ ˜‡Т˚. сЛНОЛ˜МУТЪ¸ Б‰ВТ¸ УФ В- ‰ВОflВЪТfl ‡‚ЪУНУОВ·‡ЪВО¸М˚ПЛ ·ЛУıЛПЛ˜ВТНЛПЛ В- ‡НˆЛflПЛ, ‚ НУЪУ ˚ı Ф УЛТıУ‰flЪ ФВ ЛУ‰Л˜ВТНЛВ ЛБПВМВМЛfl НУМˆВМЪ ‡ˆЛИ МВНУЪУ ˚ı ·ЛУОУ„Л˜ВТНЛ ‡НЪЛ‚М˚ı ‚В˘ВТЪ‚.

к‡ТФ В‰ВОВММ˚В ·ЛУОУ„Л˜ВТНЛВ ТЛТЪВП˚

СУ ТЛı ФУ П˚ ‡ТТП‡Ъ Л‚‡ОЛ ЛБПВМВМЛfl ЪУО¸НУ ‚У ‚ ВПВМЛ ‡БОЛ˜М˚ı ФВ ВПВММ˚ı, Т˜ЛЪ‡fl, ˜ЪУ ‚‡БОЛ˜М˚ı ЪУ˜Н‡ı ·ЛУОУ„Л˜ВТНУИ ТЛТЪВП˚ Ф УˆВТ- Т˚ Ф УЪВН‡˛Ъ У‰ЛМ‡НУ‚У. кВ˜¸ ¯О‡, Ъ‡НЛП У· ‡БУП, У ЪУ˜В˜М˚ı ПУ‰ВОflı, „‰В П˚ Ф ВМВ· В„‡ОЛ Ф УТЪ ‡М- ТЪ‚ВММУИ МВУ‰МУ У‰МУТЪ¸˛ ·ЛУОУ„Л˜ВТНЛı ТЛТЪВП.

з‡ Т‡ПУП ‰ВОВ ФВ ВПВММ˚В ‚ ·ЛУОУ„Л˜ВТНЛı ТЛТЪВП‡ı ЛБПВМfl˛ЪТfl МВ ЪУО¸НУ ‚У ‚ ВПВМЛ, МУ Л ‚ Ф УТЪ ‡МТЪ‚В. З УЪОЛ˜ЛВ УЪ ЪУ˜В˜М˚ı Ъ‡НЛВ ПУ‰ВОЛ М‡Б˚‚‡˛ЪТfl ‡ТФ В‰ВОВММ˚ПЛ (‚ Ф УТЪ ‡МТЪ‚В). З‡ТФ В‰ВОВММ˚ı ТЛТЪВП‡ı ПУ„ЫЪ Ф УЪВН‡Ъ¸ ‚ УЪ‰ВО¸- М˚ı ЪУ˜Н‡ı Ф УТЪ ‡МТЪ‚‡ ıЛПЛ˜ВТНЛВ Ф В‚ ‡˘ВМЛfl

‚В˘ВТЪ‚ Л У‰МУ‚ ВПВММУ Ф УЛТıУ‰ЛЪ¸ ‰ЛЩЩЫБЛfl УЪ‰ВО¸М˚ı ‚В˘ВТЪ‚ ЛБ У·˙ВПУ‚ Т ‚˚ТУНУИ НУМˆВМЪ-‡ˆЛВИ ‚ У·˙ВП˚ Т ПВМ¸¯ВИ НУМˆВМЪ ‡ˆЛВИ. н‡НЛП У· ‡БУП, Т‚flБ¸ ПВК‰Ы ТУТВ‰МЛПЛ ˝ОВПВМЪ‡ М˚ПЛ У·˙ВП‡ПЛ УТЫ˘ВТЪ‚ОflВЪТfl Б‡ Т˜ВЪ Ф УˆВТТУ‚ ФВ В- МУТ‡. д УПВ ЪУ„У, ‚ ·ЛУОУ„Л˜ВТНЛı ТЛТЪВП‡ı (‡НЪЛ‚- М˚В ПВП· ‡М˚, ЪН‡МЛ, ТУУ·˘ВТЪ‚‡ У „‡МЛБПУ‚) ТЫ- ˘ВТЪ‚Ы˛Ъ Л ‡ТФ В‰ВОВММ˚В ЛТЪУ˜МЛНЛ ˝МВ „ЛЛ. н‡НЛВ ТЛТЪВП˚ УЪМУТflЪТfl Н ‡НЪЛ‚М˚П ‡ТФ В‰ВОВМ- М˚П ТЛТЪВП‡П.

и ЛПВ УП ·ЛУОУ„Л˜ВТНУ„У Ф УˆВТТ‡, Ф УЪВН‡˛- ˘В„У ‚ ‡ТФ В‰ВОВММУИ ТЛТЪВПВ, ТОЫКЛЪ У· ‡БУ‚‡- МЛВ ТЪ ЫНЪЫ ‚ ПУ ЩУ„ВМВБВ ЛБ Ф У‰ЫНЪУ‚ ·ЛУТЛМЪВ- Б‡. йМУ Ф УЛТıУ‰ЛЪ МВ Б‡ Т˜ВЪ ‚МВ¯МЛı ЪУО˜НУ‚, ‡ Т‡ПУФ УЛБ‚УО¸МУ М‡ УТМУ‚В ЛМЩУ П‡ˆЛЛ, Б‡НО˛- ˜ВММУИ ‚ УФОУ‰УЪ‚У ВММУИ flИˆВНОВЪНВ, ‚ ЛТıУ‰МУ Ф УТЪ ‡МТЪ‚ВММУ-У‰МУ У‰МУИ Т В‰В. кВ˜¸ Л‰ВЪ ‚ ‰‡М- МУП ТОЫ˜‡В У ‚УБМЛНМУ‚ВМЛЛ ‚ ‡НЪЛ‚МУИ ‡ТФ В‰В- ОВММУИ ТЛТЪВПВ ТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚ı Ф УТЪ ‡МТЪ‚ВММУМВУ‰МУ У‰М˚ı ТЪ ЫНЪЫ . С Ы„УИ Ф ЛПВ – ‡ТФ У- ТЪ ‡МВМЛВ ‚УОМ ‚УБ·ЫК‰ВМЛfl ‚ МВ ‚МУП ЛОЛ П˚- ¯В˜МУП ‚УОУНМВ.

аТТОВ‰У‚‡МЛВ Ф УТЪВИ¯Лı ПУ‰ВОВИ ФУН‡Б‡ОУ, ˜ЪУ ‡БОЛ˜М˚В ЪЛФ˚ ФУ‚В‰ВМЛfl ‡НЪЛ‚М˚ı ‡ТФ В‰В- ОВММ˚ı ТЛТЪВП ПУ„ЫЪ ·˚Ъ¸ УФЛТ‡М˚ МВОЛМВИМ˚ПЛ ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸М˚ПЛ Ы ‡‚МВМЛflПЛ ‚ ˜‡ТЪМ˚ı Ф У- ЛБ‚У‰М˚ı, „‰В Ы˜ЛЪ˚‚‡˛ЪТfl ıЛПЛ˜ВТНЛВ В‡НˆЛЛ Л ‰ЛЩЩЫБЛfl В‡„ВМЪУ‚.

и Л ФУПУ˘Л У‰МУ„У Ы ‡‚МВМЛfl МВО¸Бfl УФЛТ‡Ъ¸ ТОУКМУВ ФУ‚В‰ВМЛВ ФВ ВПВММ˚ı, М‡Ф ЛПВ НУОВ·‡- ЪВО¸МУВ ТУТЪУflМЛВ ТЛТЪВП˚. йТМУ‚М˚В ВБЫО¸Ъ‡Ъ˚ ‚ ЛТТОВ‰У‚‡МЛЛ Т‚УИТЪ‚ ‡ТФ В‰ВОВММ˚ı ТЛТЪВП ФУОЫ˜ВМ˚ М‡ ·‡БУ‚˚ı ПУ‰ВОflı Т ‰‚ЫПfl ФВ ВПВММ˚ПЛ:

„‰Â r – Ô ÓÒÚ ‡ÌÒÚ‚ÂÌ̇fl ÍÓÓ ‰Ë̇ڇ, Dx ∂2x/∂r2 Ë Dy ∂2y/∂r2 УФЛТ˚‚‡˛Ъ ‰ЛЩЩЫБЛ˛ ‚В˘ВТЪ‚ ı Ë Û ‚‰УО¸ ˝ЪУИ НУУ ‰ЛМ‡Ъ˚. дУ„‰‡ ‰ЛЩЩЫБЛfl УЪТЫЪТЪ‚ЫВЪ, ЪУ Dx = Dy = 0 Л ТЛТЪВП‡ ТЪ‡МУ‚ЛЪТfl ЪУ˜В˜МУИ.

йН‡Б‡ОУТ¸, ˜ЪУ ˝Ъ‡ Ф УТЪ‡fl ПУ‰ВО¸ (10) ПУКВЪ Н‡˜ВТЪ‚ВММУ УФЛТ‡Ъ¸ Ф УˆВТТ˚ Т‡ПУФ УЛБ‚УО¸МУ„У ‚УБМЛНМУ‚ВМЛfl ‚УОМ Л ТЪ ЫНЪЫ ‚ ‡ТФ В‰ВОВММ˚ı ТЛТЪВП‡ı, ЪУ ВТЪ¸ Ф УˆВТТ˚ Т‡ПУУ „‡МЛБ‡ˆЛЛ. йМЛ УТЫ˘ВТЪ‚Оfl˛ЪТfl, НУ„‰‡ ‚ ТЛТЪВПВ ‚УБМЛН‡˛Ъ МВЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ, Ф Л‚У‰fl˘ЛВ Н ФУЪВ В ЛТıУ‰МУ„У ‡Т- Ф В‰ВОВМЛfl ‚В˘ВТЪ‚ ‚У ‚ ВПВМЛ Л Ф УТЪ ‡МТЪ‚В. ЗПВТЪУ ˝ЪУ„У ЫТЪ‡М‡‚ОЛ‚‡ВЪТfl МУ‚˚И ЪЛФ ‡ТФ В‰В- ОВМЛfl ‚В˘ВТЪ‚ ‚У ‚ ВПВМЛ Л Ф УТЪ ‡МТЪ‚В, ЪУ ВТЪ¸ Ф УЛТıУ‰ЛЪ Т‡ПУУ „‡МЛБ‡ˆЛfl ТЛТЪВП˚. з‡Ф ЛПВ , ФУЪВ fl ЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ ТЪ‡ˆЛУМ‡ МУ„У Ф УТЪ ‡МТЪ- ‚ВММУ-У‰МУ У‰МУ„У ‡ТФ В‰ВОВМЛfl ‚В˘ВТЪ‚ ‚ ıЛПЛ- ˜ВТНУИ В‡НˆЛЛ ПУКВЪ Ф Л‚ВТЪЛ Н ЪУПЫ, ˜ЪУ ‚ПВТЪУ МВ„У ‚ ТЛТЪВПВ ФУfl‚Оfl˛ЪТfl ‡‚ЪУНУОВ·‡МЛfl – ФВ ЛУ- ‰Л˜ВТНЛВ Т‡ПУФУ‰‰В КЛ‚‡˛˘ЛВТfl ‚УОМ˚ ıЛПЛ˜ВТНУИ ‡НЪЛ‚МУТЪЛ.

ÇБ‡‚ЛТЛПУТЪЛ УЪ ‚Л‰‡ ЩЫМНˆЛЛ P(x, y) Ë Q(x, y)

ËНУ˝ЩЩЛˆЛВМЪ‡ ‰ЛЩЩЫБЛЛ Di ‚ ТЛТЪВП‡ı ПУ„ЫЪ ‚УБМЛН‡Ъ¸ ‡БОЛ˜М˚В МВЪ Л‚Л‡О¸М˚В ЪЛФ˚ ФУ‚В‰ВМЛfl ФВ ВПВММ˚ı ЛОЛ ‚Л‰˚ Т‡ПУУ „‡МЛБ‡ˆЛЛ, М‡Ф ЛПВ :

1)‡ТФ УТЪ ‡Мfl˛˘ЛВТfl ‚УБПЫ˘ВМЛfl ‚ ‚Л‰В ·В- „Ы˘В„У ЛПФЫО¸Т‡;

2)ÒÚÓfl˜Ë ‚ÓÎÌ˚;

3)ТЛМı УММ˚В ‡‚ЪУНУОВ·‡МЛfl ‡БМ˚ı ˝ОВПВМЪУ‚ ‚У ‚ТВП Ф УТЪ ‡МТЪ‚В;

4)Н‚‡БЛТЪУı‡ТЪЛ˜ВТНЛВ ‚УОМ˚, НУЪУ ˚В ФУОЫ˜‡- ˛ЪТfl Ф Л ТОЫ˜‡ИМУП ‚УБПЫ˘ВМЛЛ ‡БМУТЪЛ Щ‡Б ‡‚- ЪУНУОВ·‡МЛИ ‚ ‰‚Ыı ЪУ˜Н‡ı Ф УТЪ ‡МТЪ‚‡;

5)ТЪ‡ˆЛУМ‡ М˚В МВУ‰МУ У‰М˚В ‡ТФ В‰ВОВМЛfl ФВ ВПВММ˚ı ‚ Ф УТЪ ‡МТЪ‚В – ‰ЛТТЛФ‡ЪЛ‚М˚В ТЪ ЫНЪЫ ˚.

й·˘ЛП ЫТОУ‚ЛВП ‡Б‚ЛЪЛfl Ф УˆВТТУ‚ Т‡ПУУ „‡- МЛБ‡ˆЛЛ fl‚ОflВЪТfl ФУfl‚ОВМЛВ МВЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ ‚ ЛТıУ‰МУИ ‡ТФ В‰ВОВММУИ ТЛТЪВПВ, НУЪУ ‡fl ‚˚Б˚‚‡ВЪ ФУfl‚ОВМЛВ ‰ЛТТЛФ‡ЪЛ‚М˚ı ТЪ ЫНЪЫ , ЛОЛ ‚УБМЛНМУ- ‚ВМЛВ ·В„Ы˘Лı ‚УОМ НУМВ˜МУИ ‡ПФОЛЪЫ‰˚ ЛОЛ ТЪУfl- ˜Лı ‚УОМ. СЛТТЛФ‡ЪЛ‚М‡fl ТЪ ЫНЪЫ ‡, ‚УБМЛН‡˛˘‡fl ‚ВБЫО¸Ъ‡ЪВ МВЫТЪУИ˜Л‚УТЪЛ ‚ ‡ТФ В‰ВОВММУИ ТЛТЪВПВ, ФУ‰‰В КЛ‚‡ВЪТfl Б‡ Т˜ВЪ ФУТЪУflММУ„У Ф ЛЪУН‡ ˝МВ „ЛЛ Л ‚В˘ВТЪ‚‡ Л ПУКВЪ М‡·О˛‰‡Ъ¸Тfl ЪУО¸НУ ‚ УЪН ˚Ъ˚ı ТЛТЪВП‡ı. З ˝ЪУП ВВ УЪОЛ˜ЛВ УЪ У·˚˜М˚ı‡‚МУ‚ВТМ˚ı ТЪ ЫНЪЫ . й· ‡БУ‚‡МЛВ Ъ‡НУ„У У‰‡ ‰ЛТТЛФ‡ЪЛ‚М˚ı ТЪ ЫНЪЫ ОВКЛЪ ‚ УТМУ‚В ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ У‚НЛ ЪН‡МВИ Ф Л ПУ ЩУ„ВМВБВ. лН‡˜НУУ· ‡БМ˚И ФВ ВıУ‰ ПВК‰Ы ‰ЛТТЛФ‡ЪЛ‚М˚ПЛ ТЪ ЫНЪЫ ‡ПЛ ‡Б- ОЛ˜МУИ ЩУ П˚, НУЪУ ˚И ЛМ‰ЫˆЛ ЫВЪТfl Ф Л Ы‚ВОЛ- ˜ВМЛЛ ‰ОЛМ˚ В‡НˆЛУММУ„У ТУТЫ‰‡, УЪ ‡К‡ВЪ Ф ЛМˆЛФЛ‡О¸МЫ˛ УТУ·ВММУТЪ¸ Ф УˆВТТ‡ ‰ВОВМЛfl НОВЪНЛ.

ЗУОМУ‚˚В Ф УˆВТТ˚ ПУКМУ М‡·О˛‰‡Ъ¸ ‚ Ф flП˚ı ˝НТФВ ЛПВМЪ‡ı М‡ Ф ЛПВ В УНЛТОЛЪВО¸МУ-‚УТТЪ‡- МУ‚ЛЪВО¸МУИ В‡НˆЛЛ ЕВОУЫТУ‚‡–Ь‡·УЪЛМТНУ„У Т Ы˜‡ТЪЛВП · УПП‡ОУМУ‚УИ НЛТОУЪ˚ Т Н‡Ъ‡ОЛБ‡ЪУ ‡- ПЛ – ЛУМ‡ПЛ ˆВ Лfl ЛОЛ П‡ „‡Мˆ‡. и У‰ЫНЪ˚ ˝ЪУИ ıЛПЛ˜ВТНУИ В‡НˆЛЛ, УН ‡¯ВММ˚В ‚ Н ‡ТМ˚И Л ТЛМЛИ ˆ‚ВЪ‡, Т‡ПУФ УЛБ‚УО¸МУ ‡ТФ В‰ВОfl˛ЪТfl ‚ Ф У- ·Л НВ ‚ ‚Л‰В ТОУЛТЪУ„У ФЛ У„‡, ТУТЪУfl˘В„У ЛБ ˆ‚ВЪ- М˚ı ФУОУТ.

бДдгыуЦзаЦ

е˚ ФУБМ‡НУПЛОЛТ¸ Т МВНУЪУ ˚ПЛ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛПЛ ПУ‰ВОflПЛ, УЪ ‡К‡˛˘ЛПЛ Т‚УВУ· ‡БМЫ˛ ‰Л- М‡ПЛНЫ ·ЛУОУ„Л˜ВТНЛı Ф УˆВТТУ‚. щЪ‡ У·О‡ТЪ¸ ТВИ- ˜‡Т ·˚ТЪ У ‡Б‚Л‚‡ВЪТfl, УТУ·ВММУ Т ‚МВ‰ ВМЛВП НУПФ¸˛ЪВ МУИ ЪВıМЛНЛ. ЗУБМЛНОУ МУ‚УВ М‡Ф ‡‚ОВМЛВ – ЛБЫ˜ВМЛВ ТУТЪУflМЛfl ı‡УТ‡ Л В„У УОЛ ‚ ·ЛУОУ- „Л˜ВТНЛı ТЛТЪВП‡ı.

З‡КМУ ФУ‰˜В НМЫЪ¸, ˜ЪУ ‰ЛМ‡ПЛН‡ ·ЛУОУ„Л˜ВТНУИ Т‡ПУУ „‡МЛБ‡ˆЛЛ Л В„ЫОflˆЛЛ М‡ТЪУО¸НУ Т‚УВ- У· ‡БМ‡, ˜ЪУ ˝ЪЛ Ф УˆВТТ˚ ТОЫК‡Ъ ‚‡КМ˚П Т‡ПУТЪУflЪВО¸М˚П ЛТЪУ˜МЛНУП ЛМЩУ П‡ˆЛЛ ‰Оfl ‡Б‚ЛЪЛfl ТПВКМ˚ı У·О‡ТЪВИ ЩЛБЛНЛ Л П‡ЪВП‡ЪЛНЛ.

кЦдйеЦзСмЦеДь ганЦкДнмкД

1.êÛ·ËÌ А.Å. ЕЛУЩЛБЛН‡. е.: З˚Т¯. ¯Н., 1987. н. 1–2.

2.êÛ·ËÌ А.Å., è˚ڸ‚‡ ç.î., кЛБМЛ˜ВМНУ Й.ы. дЛМВЪЛ- Н‡ ·ЛУОУ„Л˜ВТНЛı Ф УˆВТТУ‚. е.: àÁ‰-‚Ó åÉì, 1987.

300Ò.

3.кЛБМЛ˜ВМНУ з.о., êÛ·ËÌ А.Å. е‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛВ ПУ‰В- ОЛ ·ЛУОУ„Л˜ВТНЛı Ф У‰ЫНˆЛУММ˚ı Ф УˆВТТУ‚. е.: аБ‰-‚У еЙм, 1993. 300 Т.

4.зЛНУОЛТ Й., è Ë„ÓÊËÌ à. л‡ПУУ „‡МЛБ‡ˆЛfl ‚ МВ ‡‚- МУ‚ВТМ˚ı ТЛТЪВП‡ı. е: еЛ , 1979. 512 Т.

5.êÓχÌÓ‚ÒÍËÈ û.å., ëÚÂÔ‡ÌÓ‚‡ ç.Ç., ó ̇‚ÒÍËÈ Ñ.ë. е‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНУВ ПУ‰ВОЛ У‚‡МЛВ ‚ ·ЛУЩЛБЛНВ. е.: àÁ‰-‚Ó åÉì, 1975.

6.òÌÓθ ë.ù. ЕЛУОУ„Л˜ВТНЛВ ˜‡Т˚ // лУ УТУ‚ТНЛИ й· ‡БУ‚‡ЪВО¸М˚И ЬЫ М‡О. 1996. ‹ 7. л. 26–32.

* * *

АМ‰ ВИ ЕУ ЛТУ‚Л˜ кЫ·ЛМ, ‰УНЪУ ·ЛУОУ„Л˜ВТНЛı М‡ЫН, Ф УЩВТТУ , Б‡‚. Н‡ЩВ‰ УИ ·ЛУЩЛБЛНЛ ·ЛУОУ„Л˜ВТНУ„У Щ‡НЫО¸ЪВЪ‡ еЙм, ˜ОВМ-НУ ВТФУМ- ‰ВМЪ кАз. й·О‡ТЪ¸ М‡Ы˜М˚ı ЛМЪВ ВТУ‚: ·ЛУЩЛБЛН‡ ЩУЪУ·ЛУОУ„Л˜ВТНЛı Ф УˆВТТУ‚, ФВ ВМУТ ˝ОВНЪ УМ‡ ‚ ·ЛУПВП· ‡М‡ı, НЛМВЪЛН‡ ·ЛУОУ„Л˜ВТНЛı Ф УˆВТТУ‚. А‚ЪУ Л ТУ‡‚ЪУ 11 ПУМУ„ ‡ЩЛИ, ·УОВВ 300 М‡- Ы˜М˚ı ТЪ‡ЪВИ, Ы˜В·МЛН‡ ФУ ·ЛУЩЛБЛНВ.