Современные проблемы физики / PhysicalReviewpdf / Vinberg

NON-EUCLIDEAN

GEOMETRY

E. B. VINBERG

Non-Euclidean Lobachevski geometry is one of the tools of modern mathematics. In this article, an approach is given making it ossible for the reader to rove theorems of nonEuclidean geometry himself. Moreover, decom ositions of non-Euclideanlane into equal olygons are discussed. Such decom ositions lay a key role in a lications of non-Euclidean geometry.

зВВ‚НОЛ‰У‚‡ „ВУПВЪ Лfl гУ·‡˜В‚ТНУ„У fl‚ОflВЪТfl У‰МЛП ЛБ ‡·У˜Лı ЛМТЪ-ЫПВМЪУ‚ ТУ‚ ВПВММУИ П‡ЪВП‡ЪЛНЛ. З ТЪ‡Ъ¸В Ф Л‚У‰ЛЪТfl ВˆВФЪ, ТОВ- ‰Ыfl НУЪУ УПЫ ˜ЛЪ‡ЪВО¸ ПУКВЪ Т‡П ‰УН‡Б˚‚‡Ъ¸ ЪВУ ВП˚ МВВ‚НОЛ‰У‚УИ „ВУПВЪ ЛЛ. й·ТЫК‰ВМУ‡Б·ЛВМЛВ МВВ‚НОЛ‰У- ‚УИ ФОУТНУТЪЛ М‡ ‡‚- М˚В ПМУ„УЫ„УО¸МЛНЛ, Л„ ‡˛˘ЛВ ˆВМЪ ‡О¸МЫ˛УО¸ ‚ Ф ЛОУКВМЛflı МВ- В‚НОЛ‰У‚УИ „ВУПВЪ ЛЛ.

© ÇË̷„ ù.Å., 1996

104

й зЦЦЗдгаСйЗйв ЙЦйеЦнкаа

щ. Е. ЗазЕЦкЙ

еУТНУ‚ТНЛИ „УТЫ‰‡ ТЪ‚ВММ˚И ЫМЛ‚В ТЛЪВЪ ЛП. е.З. гУПУМУТУ‚‡

йЪН ˚ЪЛВ ЪУ„У, ˜ЪУ В‚НОЛ‰У‚‡ „ВУПВЪ Лfl МВ fl‚- ОflВЪТfl В‰ЛМТЪ‚ВММУ ‚УБПУКМУИ, Т‰ВО‡ММУВ ‚ М‡˜‡ОВ Ф У¯ОУ„У ‚ВН‡ Й‡ЫТТУП, гУ·‡˜В‚ТНЛП Л ЕУО¸flЛ, УН‡Б‡ОУ ‚ОЛflМЛВ М‡ ПЛ У‚УББ ВМЛВ ˜ВОУ‚В˜ВТЪ‚‡, Т ‡‚МЛПУВ Т ‚ОЛflМЛВП Ъ‡НЛı ‚ВОЛНЛı УЪН ˚ЪЛИ ВТЪВТЪ‚ВММ˚ı М‡ЫН, Н‡Н „ВОЛУˆВМЪ Л˜ВТН‡fl ТЛТЪ

ВП‡ дУФВ МЛН‡ ЛОЛ ˝‚УО˛ˆЛУММ‡fl ЪВУ Лfl С‡ - ‚ЛМ‡. й‰М‡НУ П‡ОУ НУПЫ ЛБ МВТФВˆЛ‡ОЛТЪУ‚ ЛБ‚ВТЪМУ, ˜ЪУ М‡˜ЛМ‡fl Т НУМˆ‡ Ф У¯ОУ„У ‚ВН‡ МВВ‚НОЛ‰У‚‡ „ВУПВЪ Лfl, М‡ fl‰Ы Т В‚НОЛ‰У‚УИ, fl‚ОflВЪТfl У‰МЛП ЛБ‡·У˜Лı ЛМТЪ ЫПВМЪУ‚ П‡ЪВП‡ЪЛНЛ, МВТПУЪ fl М‡ ЪУ ˜ЪУ “Ф УТЪ ‡МТЪ‚У, ‚ НУЪУ УП П˚ КЛ‚ВП”, ‚ ‰УТЪЫФ- М˚ı М‡¯ВПЫ ФУМЛП‡МЛ˛ Ф В‰ВО‡ı fl‚ОflВЪТfl ТНУ ВВ В‚НОЛ‰У‚˚П, ˜ВП МВВ‚НОЛ‰У‚˚П.

п‡ ‡НЪВ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛı ЪВУ ЛИ Ъ‡НУ‚, ˜ЪУ,‡БОЛ˜М˚П У· ‡БУП ЛМЪВ Ф ВЪЛ Ыfl Лı УТМУ‚М˚В ФУМflЪЛfl (‚ „ВУПВЪ ЛЛ ˝ЪУ ЪУ˜НЛ, Ф flП˚В, ‰‚ЛКВМЛfl Л Ъ.‰.), П˚ ПУКВП Ф ЛПВМflЪ¸ Лı Н У·˙ВНЪ‡П ‡БОЛ˜- МУ„У У‰‡. З ˜‡ТЪМУТЪЛ, Л „ВУПВЪ Лfl ПУКВЪ Ф ЛПВМflЪ¸Тfl МВ ЪУО¸НУ Н Ф УТЪ ‡МТЪ‚Ы, ‚ НУЪУ УП П˚ КЛ- ‚ВП, МУ Л Н ‰ Ы„ЛП Ф УТЪ ‡МТЪ‚‡П, ‚УБМЛН‡˛˘ЛП ‚ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛı Л ЩЛБЛ˜ВТНЛı ЪВУ Лflı. ЙВУПВЪ ЛЛ ˝ЪЛı Ф УТЪ ‡МТЪ‚ УН‡Б˚‚‡˛ЪТfl ‡БОЛ˜М˚ПЛ; ‚ ˜‡ТЪМУТЪЛ, УМЛ ПУ„ЫЪ МВ ·˚Ъ¸ В‚НОЛ‰У‚˚ПЛ.

ЦТОЛ ФУ‰ МВВ‚НОЛ‰У‚УИ „ВУПВЪ ЛВИ ФУМЛП‡Ъ¸ О˛·Ы˛ „ВУПВЪ Л˛, УЪОЛ˜МЫ˛ УЪ В‚НОЛ‰У‚УИ, ЪУ ЛПВВЪТfl МВУ·УБ ЛПУВ ПМУКВТЪ‚У Ъ‡НЛı „ВУПВЪ ЛИ. Е˚ОУ ·˚ Ъ Ы‰МУ ТН‡Б‡Ъ¸ ˜ЪУ-ОЛ·У У·У ‚ТВı МЛı Т ‡БЫ. З М‡- ТЪУfl˘ВИ ТЪ‡Ъ¸В П˚ ·Ы‰ВП ФУМЛП‡Ъ¸ ЪВ ПЛМ “МВВ‚Н- ОЛ‰У‚‡ „ВУПВЪ Лfl” ‚ ЫБНУП ТП˚ТОВ, ФУ‰ ‡БЫПВ‚‡fl ФУ‰ ˝ЪЛП „ВУПВЪ Л˛ гУ·‡˜В‚ТНУ„У ЛОЛ ‰‚УИТЪ‚ВММЫ˛ ВИ ТЩВ Л˜ВТНЫ˛ „ВУПВЪ Л˛ (У ‰‚УИТЪ‚ВММУТЪЛ ТП. МЛКВ). л В‰Л „ВУПВЪ ЛИ, ‚ НУЪУ ˚ı ЛПВВЪТfl ФУМflЪЛВ ‡ТТЪУflМЛfl ПВК‰Ы ЪУ˜Н‡ПЛ, ˝ЪЛ ‰‚В „ВУПВЪ-ЛЛ ‚ПВТЪВ Т В‚НОЛ‰У‚УИ „ВУПВЪ ЛВИ Б‡МЛП‡˛Ъ УТУ- ·УВ ФУОУКВМЛВ. аı ПУКМУ Уı‡ ‡НЪВ ЛБУ‚‡Ъ¸ Н‡Н „ВУПВЪ ЛЛ П‡НТЛП‡О¸МУИ ФУ‰‚ЛКМУТЪЛ ЛОЛ „ВУПВЪ-ЛЛ ФУТЪУflММУИ Н Л‚ЛБМ˚, УМЛ fl‚Оfl˛ЪТfl ‚ ЛБ‚ВТЪМУП ТП˚ТОВ М‡Л·УОВВ ТУ‚В ¯ВММ˚ПЛ.

иВ ‚˚В Ф ЛОУКВМЛfl „ВУПВЪ Лfl гУ·‡˜В‚ТНУ„У ФУОЫ˜ЛО‡ ‚ Ъ Ы‰‡ı Т‡ПУ„У гУ·‡˜В‚ТНУ„У, НУЪУ УПЫ Ы‰‡ОУТ¸ Т ВВ ФУПУ˘¸˛ ‚˚˜ЛТОЛЪ¸ МВНУЪУ ˚В ЛМЪВ- „ ‡О˚. щЪУ ·˚ОЛ ‚ВТ¸П‡ ˜‡ТЪМ˚В ВБЫО¸Ъ‡Ъ˚, МВ ФУОЫ˜Л‚¯ЛВ ‰‡О¸МВИ¯В„У ‡Б‚ЛЪЛfl. нВП МВ ПВМВВ МВНУЪУ ˚В ЛМЪВ„ ‡О˚, М‡И‰ВММ˚В гУ·‡˜В‚ТНЛП, ‰У ТЛı ФУ ЩЛ„Ы Л Ы˛Ъ ‚ Ъ‡·ОЛˆ‡ı ЛМЪВ„ ‡ОУ‚.

З НУМˆВ Ф У¯ОУ„У ‚ВН‡ ‚ ‡·УЪ‡ı иЫ‡МН‡ В Л дОВИМ‡ ·˚О‡ ЫТЪ‡МУ‚ОВМ‡ Ф flП‡fl Т‚flБ¸ „ВУПВЪ ЛЛ гУ·‡˜В‚ТНУ„У Т ЪВУ ЛВИ ЩЫМНˆЛИ НУПФОВНТМУИ ФВ-ВПВММУИ Л Т ЪВУ ЛВИ ˜ЛТВО (ЪУ˜МВВ, ‡ ЛЩПВЪЛНУИ

лйкйлйЗлдав йЕкДбйЗДнЦгъзхв ЬмкзДг, ‹3, 1996

МВУФ В‰ВОВММ˚ı Н‚‡‰ ‡ЪЛ˜М˚ı ЩУ П). л ЪВı ФУ ‡Ф- Ф‡ ‡Ъ „ВУПВЪ ЛЛ гУ·‡˜В‚ТНУ„У ТЪ‡О МВУЪ˙ВПОВП˚П НУПФУМВМЪУП ˝ЪЛı ‡Б‰ВОУ‚ П‡ЪВП‡ЪЛНЛ.

ÇФУТОВ‰МЛВ 15 ОВЪ БМ‡˜ВМЛВ „ВУПВЪ ЛЛ гУ·‡˜В‚- ТНУ„У В˘В ·УОВВ ‚УБ УТОУ ·О‡„У‰‡ fl ‡·УЪ‡П ‡ПВ Л- Н‡МТНУ„У П‡ЪВП‡ЪЛН‡ нfi ТЪУМ‡ (О‡Ы В‡Ъ‡ оЛО‰ТУ‚- ТНУИ ПВ‰‡ОЛ1 1983 „.), ЫТЪ‡МУ‚Л‚¯В„У ВВ Т‚flБ¸ Т ЪУФУОУ„ЛВИ Ъ ВıПВ М˚ı ПМУ„УУ· ‡БЛИ. СВТflЪНЛ ‡- ·УЪ ВКВ„У‰МУ ФЫ·ОЛНЫ˛ЪТfl ‚ ˝ЪУИ У·О‡ТЪЛ. З Т‚flБЛ Т ˝ЪЛП ПУКМУ „У‚У ЛЪ¸ У НУМˆВ УП‡МЪЛ˜ВТНУ„У ФВ Л- У‰‡ ‚ ЛТЪУ ЛЛ „ВУПВЪ ЛЛ гУ·‡˜В‚ТНУ„У, НУ„‰‡ УТМУ‚- МУВ ‚МЛП‡МЛВ ЛТТОВ‰У‚‡ЪВОВИ ·˚ОУ У· ‡˘ВМУ М‡ ВВ УТП˚ТОВМЛВ Т ЪУ˜НЛ Б ВМЛfl УТМУ‚‡МЛИ „ВУПВЪ ЛЛ ‚УУ·˘В. лУ‚ ВПВММ˚В ЛТТОВ‰У‚‡МЛfl ‚ТВ ·УО¸¯В Ъ В- ·Ы˛Ъ ‰ВОУ‚У„У ‚О‡‰ВМЛfl „ВУПВЪ ЛВИ гУ·‡˜В‚ТНУ„У.

Ç˝ЪУИ ТЪ‡Ъ¸В Ф Л‚У‰flЪТfl МВНУЪУ ˚В Ф ЛПВ ˚ ЪВУ ВП МВВ‚НОЛ‰У‚УИ „ВУПВЪ ЛЛ Л ЩУ ПЫОЛ ЫВЪТfl Ф ЛМˆЛФ, ФУБ‚УОfl˛˘ЛИ ФУОЫ˜‡Ъ¸ ЪВУ ВП˚ „ВУПВЪ-ЛЛ гУ·‡˜В‚ТНУ„У ЛБ ЪВУ ВП ТЩВ Л˜ВТНУИ „ВУПВЪ-ЛЛ. б‡ЪВП У·ТЫК‰‡˛ЪТfl МВНУЪУ ˚В Б‡‰‡˜Л МВВ‚НОЛ- ‰У‚УИ „ВУПВЪ ЛЛ, Л„ ‡˛˘ЛВ ˆВМЪ ‡О¸МЫ˛ УО¸ ‚ ВВ Ф ЛОУКВМЛflı. уЛЪ‡ЪВО˛, КВО‡˛˘ВПЫ ·УОВВ ФУ- ‰ У·МУ УБМ‡НУПЛЪ¸Тfl Т Б‡Ъ УМЫЪ˚ПЛ ‚УФ УТ‡ПЛ, ПУКМУ ВНУПВМ‰У‚‡Ъ¸ ТЪ‡Ъ¸Л [1, 2], „‰В Ъ‡НКВ ЛПВВЪТfl ‰У‚УО¸МУ У·¯Л М‡fl ·Л·ОЛУ„ ‡ЩЛfl ФУ ˝ЪУПЫ ‡Б- ‰ВОЫ П‡ЪВП‡ЪЛНЛ.

лоЦкауЦлдав ДзДгйЙ нЦйкЦех иаоДЙйкД

лЩВ Л˜ВТН‡fl „ВУПВЪ Лfl (ФУ Н ‡ИМВИ ПВ В, ‰‚Ы- ПВ М‡fl) ıУ У¯У Ф В‰ТЪ‡‚ОflВЪТfl ‚ ‡ПН‡ı В‚НОЛ‰У- ‚УИ „ВУПВЪ ЛЛ. щЪУ „ВУПВЪ Лfl У·˚˜МУИ ТЩВ ˚, ‚ НУЪУ УИ Ф flП˚ПЛ Т˜ЛЪ‡˛ЪТfl ·УО¸¯ЛВ Н Ы„Л, ‡ ‡Т- ТЪУflМЛflПЛ – ‰ОЛМ˚ ‰Ы„ ·УО¸¯Лı Н Ы„У‚ ЛОЛ, ˜ЪУ ЪУ КВ, ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘ЛВ ˆВМЪ ‡О¸М˚В Ы„О˚, ЫПМУКВМ- М˚В М‡ ‡‰ЛЫТ ТЩВ ˚. и Л ЛБПВМВМЛЛ ‡‰ЛЫТ‡ ТЩВ-˚ ‚ТВ ‡ТТЪУflМЛfl ЫПМУК‡˛ЪТfl М‡ У‰МУ Л ЪУ КВ ˜ЛТОУ. иУ˝ЪУПЫ МВЪ Ф ЛМˆЛФЛ‡О¸МУИ ‡БМЛˆ˚ ПВК‰Ы „ВУПВЪ ЛflПЛ ТЩВ ‡БМ˚ı ‡‰ЛЫТУ‚. м‰У·МУ Т˜ЛЪ‡Ъ¸‡‰ЛЫТ ‡‚М˚П 1. ЗТflНЛИ ‡Б, НУ„‰‡ МВ ·Ы‰ВЪ У„У‚У-ВМУ Ф УЪЛ‚МУВ, П˚ ·Ы‰ВП ЛПВЪ¸ ‚ ‚Л‰Ы ЛПВММУ ˝ЪУ.

З˚‚В‰ВП ‡М‡ОУ„ ЪВУ ВП˚ иЛЩ‡„У ‡ М‡ ТЩВ В, Ъ.В. ‚˚ ‡КВМЛВ „ЛФУЪВМЫБ˚ Ф flПУЫ„УО¸МУ„У ТЩВ Л˜ВТНУ„У Ъ ВЫ„УО¸МЛН‡ ˜В ВБ В„У Н‡ЪВЪ˚.

ç‡ ËÒ. 1 ËÁÓ· ‡ÊÂÌ Ô flÏÓÛ„ÓθÌ˚È Ú ÂÛ„Óθ- ÌËÍ ABC (ë – ‚ ¯Ë̇ Ô flÏÓ„Ó Û„Î‡) ̇ ÒÙÂ Â Ò ˆÂÌÚ ÓÏ ‚ ÚӘ͠é. иУОУКЛП

(Б‰ВТ¸ ЛПВ˛ЪТfl ‚ ‚Л‰Ы ‰ОЛМ˚ УЪ ВБНУ‚ ‚ ТП˚ТОВ ТЩВ Л˜ВТНУИ „ВУПВЪ ЛЛ, Ъ.В. ‰ОЛМ˚ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛- ˘Лı ‰Ы„ ·УО¸¯Лı Н Ы„У‚ ТЩВ ˚.)

и У‚В‰ВП ЪВФВ ¸ МВНУЪУ ˚В ФУТЪ УВМЛfl ‚ В‚Н- ОЛ‰У‚УП Ф УТЪ ‡МТЪ‚В, ‚ НУЪУ УП М‡ıУ‰ЛЪТfl М‡¯‡

1 оЛО‰ТУ‚ТН‡fl ПВ‰‡О¸ fl‚ОflВЪТfl Т‡ПУИ Ф ВТЪЛКМУИ П‡ЪВ- П‡ЪЛ˜ВТНУИ М‡„ ‡‰УИ. оЛО‰ТУ‚ТНЛВ ПВ‰‡ОЛ, ‚ НУОЛ˜ВТЪ‚В УЪ ‰‚Ыı ‰У ˜ВЪ˚ Вı, Ф ЛТЫК‰‡˛ЪТfl У‰ЛМ ‡Б ‚ 4 „У‰‡ М‡ ПВК‰ЫМ‡ У‰МУП НУМ„ ВТТВ П‡ЪВП‡ЪЛНУ‚.

ТЩВ ‡. йФЫТЪЛП ЛБ ЪУ˜НЛ A Ô ÔẨËÍÛÎfl AK ̇ ‡- ‰ËÛÒ OC. иУТНУО¸НЫ ФОУТНУТЪЛ AOC Ë BOC Ô ÔÂÌ- ‰ËÍÛÎfl Ì˚, ÓÚ ÂÁÓÍ AK ·Ы‰ВЪ ФВ ФВМ‰ЛНЫОfl ВМ ФОУТНУТЪЛ BOC (ЛБУ· ‡КВММУИ М‡ ЛТ. 1 Н‡Н “˝Н‚‡- ЪУ Л‡О¸М‡fl” ФОУТНУТЪ¸). йФЫТЪЛП ЛБ ЪУ˜НЛ K Ô - ÔẨËÍÛÎfl KL ̇ ‡‰ËÛÒ OB. èÓ ÚÂÓ ÂÏÂ Ó Ú Âı Ô ÔẨËÍÛÎfl ‡ı ÓÚ ÂÁÓÍ AL ·Û‰ÂÚ Ú‡ÍÊ Ô ÔẨË- ÍÛÎfl ÂÌ ‡‰ËÛÒÛ OB. аПВВП

àÁ Ô flÏÓÛ„ÓθÌ˚ı Ú ÂÛ„ÓθÌËÍÓ‚ AOK, AOL Ë KOL ̇ıÓ‰ËÏ:

щЪУ Л ВТЪ¸ ЪВУ ВП‡ иЛЩ‡„У ‡ ‚ ТЩВ Л˜ВТНУИ „ВУПВЪ ЛЛ.

A

K

O C

L

B

êËÒ. 1.

ÑÎfl ÒÙ ˚ Ô ÓËÁ‚ÓθÌÓ„Ó ‡‰ËÛÒ‡ R Ï˚ ÔÓÎÛ˜‡- ÂÏ ÙÓ ÏÛÎÛ

è Ë R ТЩВ ‡ ТЪ‡МУ‚ЛЪТfl ‚ТВ ·УОВВ Л ·УОВВ ФОУТНУИ Л ВВ „ВУПВЪ Лfl ТЪ ВПЛЪТfl Н В‚НОЛ‰У‚УИ. л˜ЛЪ‡fl a Ë b ФУТЪУflММ˚ПЛ Л ФУО¸БЫflТ¸ Ф Л·ОЛКВМ- М˚П ‡‚ВМТЪ‚УП

‚ Ì˚Ï Ô Ë x 0, Ï˚ ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ ËÁ (5):

ÓÚÍÛ‰‡

Ç Ô Â‰ÂÎÂ Ô Ë R ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ, Í‡Í Ë ÒΉӂ‡ÎÓ ÓÊˉ‡Ú¸, Ó·˚˜ÌÛ˛ ÚÂÓ ÂÏÛ èËÙ‡„Ó ‡:

иказсаи СЗйвлнЗЦззйлна. ЙаиЦкЕйгауЦлдав ДзДгйЙ нЦйкЦех иаоДЙйкД

иОУТНУТЪ¸ гУ·‡˜В‚ТНУ„У – ˝ЪУ “ТЩВ ‡ ‡‰ЛЫТ‡ i” („‰Â i – ПМЛП‡fl В‰ЛМЛˆ‡). щЪУ ‚˚ТН‡Б˚‚‡МЛВ ЛПВВЪ ЪУЪ ТП˚ТО, ˜ЪУ ЛБ ‚ТflНУИ ЩУ ПЫО˚ ТЩВ Л˜ВТНУИ „В- УПВЪ ЛЛ ФУОЫ˜‡ВЪТfl ЩУ ПЫО‡ „ВУПВЪ ЛЛ гУ·‡˜В‚- ТНУ„У (ЛОЛ, Н‡Н В˘В „У‚У flЪ, „ЛФВ ·УОЛ˜ВТНУИ „ВУПВЪ ЛЛ), ВТОЛ ‚ТВ ОЛМВИМ˚В ‡БПВ ˚ ‡Б‰ВОЛЪ¸ М‡ i. и Л ˝ЪУП ЩЛ„Ы Л Ы˛˘ЛВ ‚ ЩУ ПЫОВ ЩЫМНˆЛЛ ОЛМВИМ˚ı ‡БПВ У‚ ТОВ‰ЫВЪ Ф В‰ФУО‡„‡Ъ¸ Ф У‰УОКВМ- М˚ПЛ ‰У ‡М‡ОЛЪЛ˜ВТНЛı ЩЫМНˆЛИ ‚ НУПФОВНТМУИ У·О‡ТЪЛ.

СОfl Ф У‰УОКВМЛИ Ъ Л„УМУПВЪ Л˜ВТНЛı ЩЫМНˆЛИ ‚ НУПФОВНТМЫ˛ У·О‡ТЪ¸ ТФ ‡‚В‰ОЛ‚˚ ‡‚ВМТЪ‚‡

иВ ВФЛТ˚‚‡fl ˝ЪЛ ‡‚ВМТЪ‚‡ МВТНУО¸НУ ФУ-‰ Ы„УПЫ, ФУОЫ˜‡ВП

н‡НЛП У· ‡БУП, Ф Л ФВ ВıУ‰В УЪ ЩУ ПЫО ТЩВ Л- ˜ВТНУИ „ВУПВЪ ЛЛ Н ЩУ ПЫО‡П „ЛФВ ·УОЛ˜ВТНУИ „В- УПВЪ ЛЛ ТОВ‰ЫВЪ Ъ Л„УМУПВЪ Л˜ВТНЛВ ЩЫМНˆЛЛ ‚ТВı ОЛМВИМ˚ı ‚ВОЛ˜ЛМ Б‡ПВМЛЪ¸ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘ЛПЛ „Л- ФВ ·УОЛ˜ВТНЛПЛ ЩЫМНˆЛflПЛ. (еМЛП˚В В‰ЛМЛˆ˚, ‚УБМЛН‡˛˘ЛВ УЪ ТЛМЫТУ‚, ‰УОКМ˚ ‡‚ЪУП‡ЪЛ˜ВТНЛ ТУН ‡ЪЛЪ¸Тfl.) уЛЪ‡ЪВО¸, МВ БМ‡НУП˚И Т ЪВУ ЛВИ ЩЫМНˆЛИ НУПФОВНТМУИ ФВ ВПВММУИ, ПУКВЪ Ф ЛМflЪ¸ ˝ЪУЪ ФУТОВ‰МЛИ ВˆВФЪ (Т МВНУЪУ ˚ПЛ ‰УФУОМВМЛflПЛ, НУЪУ ˚В ·Ы‰ЫЪ Т‰ВО‡М˚ МЛКВ) Б‡ ЩУ ПЫОЛ У‚НЫ Ф ЛМˆЛФ‡ ‰‚УИТЪ‚ВММУТЪЛ.

З ˜‡ТЪМУТЪЛ, ЛБ ЩУ ПЫО˚ (4) ТЩВ Л˜ВТНУИ „ВУПВ- Ъ ЛЛ Ъ‡НЛП У· ‡БУП ФУОЫ˜‡ВЪТfl ТОВ‰Ы˛˘ЛИ ‡М‡ОУ„ ЪВУ ВП˚ иЛЩ‡„У ‡ ‚ „ЛФВ ·УОЛ˜ВТНУИ „ВУПВЪ ЛЛ:

ç‡ “ÒÙ  ‡‰ËÛÒ‡ iR” ÙÓ ÏÛ· (13) Ô Â‚ ‡˘‡ÂÚÒfl ‚ ÙÓ ÏÛÎÛ

ÓÚÍÛ‰‡ Ô Ë R ‡Ì‡Îӄ˘ÌÓ ÚÓÏÛ, Í‡Í ˝ÚÓ ·˚ÎÓ Ò‰Â·ÌÓ ‚˚¯Â ‰Îfl Ó·˚˜ÌÓÈ ÒÙ ˚, ÔÓÎÛ˜‡ÂÚÒfl Ó·˚˜Ì‡fl ÚÂÓ Âχ èËÙ‡„Ó ‡.

СгазД йдкмЬзйлна

йН ЫКМУТЪ¸ ‡‰ЛЫТ‡ r ‚ МВВ‚НОЛ‰У‚УИ ФОУТНУТЪЛ, Ъ‡Н КВ Н‡Н Л ‚ В‚НОЛ‰У‚УИ, УФ В‰ВОflВЪТfl Н‡Н „В- УПВЪ Л˜ВТНУВ ПВТЪУ ЪУ˜ВН, М‡ıУ‰fl˘ЛıТfl М‡ ‡ТТЪУflМЛЛ r УЪ Б‡‰‡ММУИ ЪУ˜НЛ, М‡Б˚‚‡ВПУИ ˆВМЪ УП УН ЫКМУТЪЛ.

д‡Н ОВ„НУ ‚Л‰ВЪ¸, УН ЫКМУТЪ¸ ‡‰ЛЫТ‡ r М‡ ТЩВ В Ф В‰ТЪ‡‚ОflВЪ ТУ·УИ В‚НОЛ‰У‚Ы УН ЫКМУТЪ¸ ‡‰ЛЫТ‡ sinr. èÓ˝ÚÓÏÛ Â ‰ÎË̇ L ‰‡ВЪТfl ЩУ ПЫОУИ

и ЛПВМflfl ТЩУ ПЫОЛ У‚‡ММ˚И ‚˚¯В Ф ЛМˆЛФ ‰‚УИТЪ‚ВММУТЪЛ, ФУОЫ˜‡ВП УЪТ˛‰‡ ЩУ ПЫОЫ ‰Оfl ‰ОЛМ˚ УН ЫКМУТЪЛ ‡‰ЛЫТ‡ r М‡ ФОУТНУТЪЛ гУ·‡- ˜В‚ТНУ„У:

е˚ ‚Л‰ЛП, ˜ЪУ ‰ОЛМ‡ УН ЫКМУТЪЛ ‚ „ВУПВЪ ЛЛ гУ- ·‡˜В‚ТНУ„У МВ Ф flПУ Ф УФУ ˆЛУМ‡О¸М‡ ВВ ‡‰ЛЫТЫ, Н‡Н ‚ В‚НОЛ‰У‚УИ „ВУПВЪ ЛЛ, ‡ ‡ТЪВЪ „У ‡Б‰У ·˚ТЪ-ВВ. лУУЪ‚ВЪТЪ‚ВММУ ˝ЪУПЫ ‚ Н Ы„В М‡ ФОУТНУТЪЛ гУ- ·‡˜В‚ТНУ„У „У ‡Б‰У ·УО¸¯В ПВТЪ‡, ˜ВП ‚ Н Ы„В Ъ‡НУ„У КВ ‡‰ЛЫТ‡ М‡ В‚НОЛ‰У‚УИ ФОУТНУТЪЛ. нУ КВ Т‡ПУВ ПУКМУ ТН‡Б‡Ъ¸ Л У ¯‡ В ‚ Ф УТЪ ‡МТЪ‚В.

игйфДСъ нкЦмЙйгъзадД

З ‡ТТПУЪ ВММ˚ı ‚˚¯В ‰‚Ыı Ф ЛПВ ‡ı ЩУ ПЫО˚ МВВ‚НОЛ‰У‚УИ „ВУПВЪ ЛЛ Ф УТЪУ ЛПВОЛ ЛМУИ ‚Л‰, МВКВОЛ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘ЛВ ЩУ ПЫО˚ В‚НОЛ‰У‚УИ „ВУПВЪ ЛЛ. й‰М‡НУ ЛПВ˛ЪТfl Ъ‡НЛВ ЩУ ПЫО˚ МВВ‚НОЛ- ‰У‚УИ „ВУПВЪ ЛЛ, ‰Оfl НУЪУ ˚ı МВЪ МЛН‡НУ„У В‚НОЛ- ‰У‚‡ ‡М‡ОУ„‡. д Лı ˜ЛТОЫ УЪМУТЛЪТfl ЩУ ПЫО‡, ‚˚ ‡К‡˛˘‡fl ФОУ˘‡‰¸ Ъ ВЫ„УО¸МЛН‡ ˜В ВБ В„У Ы„О˚.

Ç˚‚‰ÂÏ ÙÓ ÏÛÎÛ ‰Îfl ÔÎÓ˘‡‰Ë ÒÙ ˘ÂÒÍÓ„Ó Ú ÂÛ„ÓθÌË͇ ABC ( ËÒ. 2). í ÂÛ„ÓθÌËÍ ABC fl‚ОflВЪТfl ФВ ВТВ˜ВМЛВП Ъ Вı ФУОЫТЩВ ê, Q, R, „ ‡МЛ˜М˚В УН ЫКМУТЪЛ НУЪУ ˚ı ТУ‰В К‡Ъ ТЪУ УМ˚ BC, CA, AB ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ. (ç‡ ËÒ. 3 ê – “‚В ıМflfl” ФУОЫТЩВ-‡, Q – “ФВ В‰Мflfl” ФУОЫТЩВ ‡, R – “Ф ‡‚‡fl” ФУОЫТЩВ ‡.)

A

B'

α

β

B

A'

êËÒ. 2.

иОУ˘‡‰¸ О˛·УИ ФУОЫТЩВ ˚ ‡‚М‡, Н‡Н ЛБ‚ВТЪМУ, 2π. иОУ˘‡‰¸ ФВ ВТВ˜ВМЛfl ‰‚Ыı ФУОЫТЩВ – “ФУ‚В ı- МУТЪ¸ ‡ ·ЫБМУИ ‰УО¸НЛ” – Ф flПУ Ф УФУ ˆЛУМ‡О¸М‡ Ы„ОЫ ПВК‰Ы У„ ‡МЛ˜Л‚‡˛˘ЛПЛ Лı УН ЫКМУТЪflПЛ. ЦТОЛ ˝ЪУЪ Ы„УО ‡‚ВМ π, ЪУ ФВ ВТВ˜ВМЛВ Т‡ПУ ВТЪ¸ ФУОЫТЩВ ‡ Л В„У ФОУ˘‡‰¸ – “ФУ‚В ıМУТЪ¸ ФУОУ‚ЛМ˚

‡ ·ЫБ‡” – ‡‚М‡ 2π. лОВ‰У‚‡ЪВО¸МУ, НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪ Ф УФУ ˆЛУМ‡О¸МУТЪЛ ‡‚ВМ 2. бМ‡˜ЛЪ, ФВ ВТВ˜ВМЛfl Q c R, R c ê, ê c Q ËÏÂ˛Ú ÔÎÓ˘‡‰Ë 2α, 2β, 2γ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ („‰Â α, β, γ – Û„Î˚ ̇¯Â„Ó Ú ÂÛ„ÓθÌË͇, Í‡Í ËÁÓ· ‡ÊÂÌÓ Ì‡ ËÒ. 2).

й·˙В‰ЛМВМЛВ ФУОЫТЩВ ê, Q, R ВТЪ¸ ‚Тfl ТЩВ ‡ ПЛМЫТ Ъ ВЫ„УО¸МЛН A'B'C' – ‡МЪЛФУ‰ Ъ ВЫ„УО¸МЛН‡ ABC. é·ÓÁ̇˜ËÏ ÔÎÓ˘‡‰¸ Ú ÂÛ„ÓθÌË͇ ABC ˜Â ÂÁ S. íÓ„‰‡ ÔÎÓ˘‡‰¸ Ú ÂÛ„ÓθÌË͇ A'B'C' Ú‡ÍÊ ‡‚̇ S Л, ТОВ‰У‚‡ЪВО¸МУ, ФОУ˘‡‰¸ У·˙В‰ЛМВМЛfl ФУОЫТЩВ ê, Q, R ‡‚̇ 4π − S.

л ‰ Ы„УИ ТЪУ УМ˚, ФОУ˘‡‰¸ У·˙В‰ЛМВМЛfl ПУКВЪ ·˚Ъ¸ ФУ‰Т˜ЛЪ‡М‡ Н‡Н ТЫПП‡ ФОУ˘‡‰ВИ ФУОЫТЩВ ê, Q, R ПЛМЫТ ТЫПП‡ ФОУ˘‡‰ВИ Лı ФУФ‡ М˚ı ФВ ВТВ˜В- МЛИ, НУЪУ ˚В ·˚ОЛ Ы˜ЪВМ˚ ‰‚‡К‰˚, ФО˛Т ФОУ˘‡‰¸ Ъ ВЫ„УО¸МЛН‡ ABC, НУЪУ ‡fl ‚ ВБЫО¸Ъ‡ЪВ МВ ·˚О‡ Ы˜- ЪВМ‡ ‚У‚ТВ (П˚ ВВ Ы˜ОЛ Ъ ЛК‰˚, НУ„‰‡ ТЫППЛ У‚‡ОЛ ФОУ˘‡‰Л ФУОЫТЩВ ê, Q, R, МУ Б‡ЪВП Ъ ЛК‰˚ ‚˚˜ОЛ, НУ„‰‡ ‚˚˜ЛЪ‡ОЛ ФОУ˘‡‰Л ФУФ‡ М˚ı ФВ ВТВ˜ВМЛИ ˝ЪЛı ФУОЫТЩВ ). З ВБЫО¸Ъ‡ЪВ ФУОЫ˜‡ВП:

4π − S = 2π + 2π + 2π − 2α − 2β − 2γ + S, (17)

ÓÚÍÛ‰‡

å˚ ‚ˉËÏ, Ú‡ÍËÏ Ó· ‡ÁÓÏ, ˜ÚÓ ÒÛÏχ Û„ÎÓ‚ ÒÙÂ-˘ÂÒÍÓ„Ó Ú ÂÛ„ÓθÌË͇ ‚Ò„‰‡ ·Óθ¯Â π, Ô Ë˜ÂÏ ËÁ·˚ÚÓÍ ‡‚ÂÌ ÔÎÓ˘‡‰Ë Ú ÂÛ„ÓθÌË͇. ÑÎfl Ó˜Â̸ χÎÂ̸ÍÓ„Ó ÒÙ ˘ÂÒÍÓ„Ó Ú ÂÛ„ÓθÌË͇ ÒÛÏχ Â„Ó Û„ÎÓ‚ ÔÓ˜ÚË ‡‚̇ π. ùÚÓ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÛÂÚ ÚÓÏÛ, ˜ÚÓ Ú‡- ÍÓÈ Ú ÂÛ„ÓθÌËÍ ÔÓ˜ÚË Â‚ÍÎˉӂ.

лУ„О‡ТМУ Ф ЛМˆЛФЫ ‰‚УИТЪ‚ВММУТЪЛ, ˜ЪУ·˚ ФУОЫ˜ЛЪ¸ ЩУ ПЫОЫ ‰Оfl ФОУ˘‡‰Л Ъ ВЫ„УО¸МЛН‡ М‡ ФОУТНУТЪЛ гУ·‡˜В‚ТНУ„У, М‡‰У ‚ ЩУ ПЫОВ (18) ‚ТВ ОЛМВИМ˚В ‡БПВ ˚ ‡Б‰ВОЛЪ¸ М‡ i. и Л ˝ЪУП Ф ‡‚‡fl ˜‡ТЪ¸, МВ ТУ‰В К‡˘‡fl ОЛМВИМ˚ı ‡БПВ У‚, МВ ЛБПВМЛЪТfl, ‡ ФОУ˘‡‰¸ ‡Б‰ВОЛЪТfl М‡ i i = −1. иУТОВ ЫПМУКВМЛfl У·ВЛı ˜‡ТЪВИ М‡ −1 П˚ ФУОЫ˜ЛП ЩУ ПЫОЫ

í‡ÍËÏ Ó· ‡ÁÓÏ, ÒÛÏχ Û„ÎÓ‚ „ËÔ ·Ó΢ÂÒÍÓ„Ó Ú ÂÛ„ÓθÌË͇, Ì‡Ó·Ó ÓÚ, ‚Ò„‰‡ ÏÂ̸¯Â π, Ô Ë˜ÂÏ Ì‰ÓÒÚ‡ÚÓÍ ‡‚ÂÌ ÔÎÓ˘‡‰Ë Ú ÂÛ„ÓθÌË͇. ëÛÏχ Û„- ÎÓ‚ Ó˜Â̸ χÎÂ̸ÍÓ„Ó „ËÔ ·Ó΢ÂÒÍÓ„Ó Ú ÂÛ„Óθ- ÌË͇ ÔÓ˜ÚË ‡‚̇ π.

ЗУУ·˘В ‚ П‡ОУИ ˜‡ТЪЛ Ф УТЪ ‡МТЪ‚‡ МВВ‚НОЛ‰У- ‚‡ „ВУПВЪ Лfl ·ОЛБН‡ Н В‚НОЛ‰У‚УИ, Ф Л˜ВП ˜ВП ПВМ¸¯В ˝Ъ‡ ˜‡ТЪ¸, ЪВП ·ОЛКВ Н В‚НОЛ‰У‚УИ ВВ „ВУПВ- Ъ Лfl. иУ˝ЪУПЫ ВТОЛ “Ф УТЪ ‡МТЪ‚У, ‚ НУЪУ УП П˚ КЛ‚ВП”, fl‚ОflВЪТfl В‚НОЛ‰У‚˚П, П˚ МЛНУ„‰‡ МВ ТПУКВП ˝ЪУ ЫТЪ‡МУ‚ЛЪ¸. З Т‡ПУП ‰ВОВ, П˚ ‚ТВ„‰‡ ЛПВВП ‰ВОУ Т У„ ‡МЛ˜ВММУИ ˜‡ТЪ¸˛ Ф УТЪ ‡МТЪ‚‡ (ФЫТЪ¸ Л У˜ВМ¸ ·УО¸¯УИ ФУ М‡¯ЛП П‡Т¯Ъ‡·‡П) Л ЪУ˜МУТЪ¸

М‡¯Лı ЛБПВ ВМЛИ ‚ТВ„‰‡ У„ ‡МЛ˜ВМ‡. ЦТОЛ ‚ Ф В‰В- О‡ı ˝ЪУИ ˜‡ТЪЛ Ф УТЪ ‡МТЪ‚‡ П˚ МВ У·М‡ ЫКЛ‚‡ВП УЪНОУМВМЛИ УЪ В‚НОЛ‰У‚УИ „ВУПВЪ ЛЛ, ЪУ ‚ТВ„‰‡ ПУКМУ Ф В‰ФУОУКЛЪ¸, ˜ЪУ М‡ Т‡ПУП ‰ВОВ Ф УТЪ ‡М- ТЪ‚У МВВ‚НОЛ‰У‚У, МУ У·ТОВ‰У‚‡ММ‡fl М‡ПЛ В„У ˜‡ТЪ¸ ТОЛ¯НУП П‡О‡ ‚ П‡Т¯Ъ‡·‡ı ЗТВОВММУИ, ˜ЪУ·˚ ˝Ъ‡ МВВ‚НОЛ‰У‚УТЪ¸ Ф Уfl‚ЛО‡Т¸ Ф Л М‡¯ВИ ЪУ˜МУТЪЛ ЛБПВ ВМЛИ.

(З ‰ВИТЪ‚ЛЪВО¸МУТЪЛ ‚ТВ У·ТЪУЛЪ В˘В ТОУКМВВ. лУ„О‡ТМУ ЪВУ ЛЛ УЪМУТЛЪВО¸МУТЪЛ, Ф УТЪ ‡МТЪ‚У МВО¸Бfl ‡ТТП‡Ъ Л‚‡Ъ¸ УЪ‰ВО¸МУ УЪ ‚ ВПВМЛ. иУ˝ЪУПЫ Т‡П‡ ФУТЪ‡МУ‚Н‡ ‚УФ УТ‡ У В‚НОЛ‰У‚УТЪЛ Ф УТЪ-‡МТЪ‚‡ МЫК‰‡ВЪТfl ‚ ЫЪУ˜МВМЛЛ.)

иДкДггЦгъзхЦ икьехЦ З ЙЦйеЦнкаа гйЕДуЦЗлдйЙй

уЪУ·˚ ФУМflЪ¸ ТЛЪЫ‡ˆЛ˛ Т Ф‡ ‡ООВО¸М˚ПЛ Ф fl- П˚ПЛ М‡ ФОУТНУТЪЛ гУ·‡˜В‚ТНУ„У, ‡ТТПУЪ ЛП ‚М‡- ˜‡ОВ ФУ‰ У·МУ, Н‡Н Т ˝ЪЛП У·ТЪУЛЪ ‰ВОУ М‡ В‚НОЛ‰У- ‚УИ ФОУТНУТЪЛ, ıУЪfl ˜ЛЪ‡ЪВО˛ ˝ЪУ Л ПУКВЪ ФУН‡Б‡Ъ¸Тfl Ъ Л‚Л‡О¸М˚П.

С‚В Ф flП˚В В‚НОЛ‰У‚УИ ФОУТНУТЪЛ М‡Б˚‚‡˛ЪТfl Ф‡ ‡ООВО¸М˚ПЛ, ВТОЛ УМЛ МВ ФВ ВТВН‡˛ЪТfl. д‡Н ЛБ- ‚ВТЪМУ, ˜В ВБ О˛·Ы˛ ЪУ˜НЫ A В‚НОЛ‰У‚УИ ФОУТНУТЪЛ, МВ Ф ЛМ‡‰ОВК‡˘Ы˛ Ф flПУИ l, Ô ÓıÓ‰ËÚ Ó‚ÌÓ Ó‰Ì‡ Ô flχfl m, Ô‡ ‡ÎÎÂθ̇fl l. щЪУ Ъ‡Н М‡Б˚‚‡ВП˚И иfl- Ъ˚И ФУТЪЫО‡Ъ Ц‚НОЛ‰‡.

è flχfl m ПУКВЪ ·˚Ъ¸ ФУОЫ˜ВМ‡ Н‡Н Ф В‰ВО¸МУВ ФУОУКВМЛВ Ф flПУИ AB, ÒÓ‰ËÌfl˛˘ÂÈ ÚÓ˜ÍÛ A Ò ÚÓ˜- ÍÓÈ B Ô flÏÓÈ l, ЫıУ‰fl˘ВИ ‚ ·ВТНУМВ˜МУТЪ¸ ‚ Н‡НУПОЛ·У ЩЛНТЛ У‚‡ММУП М‡Ф ‡‚ОВМЛЛ. З Т‡ПУП ‰ВОВ, УФЫТЪЛП ФВ ФВМ‰ЛНЫОfl AC ËÁ ÚÓ˜ÍË A ̇ Ô flÏÛ˛ l Л Ф УТОВ‰ЛП Б‡ ЛБПВМВМЛВП Ы„ОУ‚ ABC Ë BAC. èÛÒÚ¸ ÚӘ͇ B, Û‰‡ÎflflÒ¸ ÓÚ C, Б‡МЛП‡ВЪ МУ‚УВ ФУОУКВМЛВ B' ( ËÒ. 3). ì„ÓÎ ABC, fl‚ÎflflÒ¸ ‚̯ÌËÏ Û„ÎÓÏ Ú ÂÛ- „ÓθÌË͇ ABB', ‡‚ВМ ТЫППВ Ы„ОУ‚ BAB' Ë AB'B (˝ЪУ‡‚МУТЛО¸МУ ЫЪ‚В К‰ВМЛ˛ У ЪУП, ˜ЪУ ТЫПП‡ Ы„ОУ‚ Ъ ВЫ„УО¸МЛН‡ ABB' ‡‚̇ π). ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ,

ЕУОВВ ЪУ„У, ВТОЛ |BB'| = |AB|, Ú.Â. Ú ÂÛ„ÓθÌËÍ ABB'‡‚Ìӷ‰ ÂÌÌ˚È, ÚÓ BAB' = AB'B Ë, ÒΉӂ‡- ÚÂθÌÓ,

ÇÒ ˝ÚÓ ÔÓ͇Á˚‚‡ÂÚ, ˜ÚÓ ÍÓ„‰‡ ÚӘ͇ B Ы‰‡ОflВЪТfl ‚ ·ВТНУМВ˜МУТЪ¸, Ы„УО ABC ПУМУЪУММУ ТЪ ВПЛЪТfl Н МЫО˛.

A

m

l

êËÒ. 3.

чÎÂÂ, Ú‡Í Í‡Í ÒÛÏχ Û„ÎÓ‚ Ú ÂÛ„ÓθÌË͇ ABC‡‚̇ π, ÚÓ

Ë, ÒΉӂ‡ÚÂθÌÓ, Û„ÓÎ BAC ТЪ ВПЛЪТfl Н π/2. щЪУ УБ- М‡˜‡ВЪ, ˜ЪУ Ф В‰ВО¸МУВ ФУОУКВМЛВ Ф flПУИ AB ÂÒÚ¸ Ô flχfl m, Ô ÔẨËÍÛÎfl ̇fl AC. íÛ ÊÂ Ô flÏÛ˛ Ï˚ ÔÓÎÛ˜ËÏ, ÂÒÎË ÚӘ͇ B ·Ы‰ВЪ Ы‰‡ОflЪ¸Тfl ‚ ·ВТНУМВ˜- МУТЪ¸ ‚ Ф УЪЛ‚УФУОУКМУП М‡Ф ‡‚ОВМЛЛ. и flП‡fl m Ë ÂÒÚ¸ Ú‡ ‰ËÌÒÚ‚ÂÌ̇fl Ô flχfl, Ô‡ ‡ÎÎÂθ̇fl l, ÍÓÚÓ ‡fl Ô ÓıÓ‰ËÚ ˜Â ÂÁ ÚÓ˜ÍÛ A.

и У‰ВО‡ВП ЪВФВ ¸ ‡М‡ОУ„Л˜М˚В ФУТЪ УВМЛfl М‡ ФОУТНУТЪЛ гУ·‡˜В‚ТНУ„У, „‰В, Н‡Н П˚ ЫКВ БМ‡ВП, ТЫПП‡ Ы„ОУ‚ Ъ ВЫ„УО¸МЛН‡ ПВМ¸¯В π. зВ ‡‚ВМТЪ‚У (20) ОЛ¯¸ ЫТЛОЛЪТfl, ‡ ‡‚ВМТЪ‚У (21) Ф В‚ ‡ЪЛЪТfl ‚ МВ ‡‚ВМТЪ‚У

иУ˝ЪУПЫ УНУМ˜‡ЪВО¸М˚И ‚˚‚У‰ УЪМУТЛЪВО¸МУ ı‡-‡НЪВ ‡ ЛБПВМВМЛfl Ы„О‡ ABC УТЪ‡МВЪТfl ‚ ТЛОВ: УМ ПУМУЪУММУ ТЪ ВПЛЪТfl Н МЫО˛.

н‡НЛП У· ‡БУП, М‡ ФОУТНУТЪЛ гУ·‡˜В‚ТНУ„У ˜В-ВБ ЪУ˜НЫ A, Ì ÎÂʇ˘Û˛ ̇ Ô flÏÓÈ l, Ô ÓıÓ‰ËÚ Ó‚- ÌÓ ‰‚Â Ô flÏ˚Â, Ô‡ ‡ÎÎÂθÌ˚ l. ÇÒÂ Ô ÓıÓ‰fl˘Ë ˜Â-ÂÁ ÚÓ˜ÍÛ A Ô flÏ˚Â, ÎÂʇ˘Ë ÏÂÊ‰Û ÌËÏË, Ú‡ÍÊ Ì Ô ÂÒÂ͇˛Ú l (ÌÓ Ì ̇Á˚‚‡˛ÚÒfl Ô‡ ‡ÎÎÂθÌ˚ÏË).

м„УО δ М‡Б˚‚‡ВЪТfl Ы„ОУП Ф‡ ‡ООВО¸МУТЪЛ. йМ Б‡- ‚ЛТЛЪ ОЛ¯¸ УЪ ‡ТТЪУflМЛfl |AC| = d. ЕУОВВ ЪУ˜МУ,

уЛЪ‡ЪВО¸ ПУКВЪ ФУФ˚Ъ‡Ъ¸Тfl ‚˚‚ВТЪЛ ˝ЪЫ ЩУ ПЫОЫ Т‡ПУТЪУflЪВО¸МУ. СОfl ˝ЪУ„У М‡‰У ТМ‡˜‡О‡, ФУ‰У·МУ ЪУПЫ Н‡Н ·˚О ‰УН‡Б‡М ТЩВ Л˜ВТНЛИ ‡М‡ОУ„ ЪВУ ВП˚ иЛЩ‡„У ‡, ‚˚‚ВТЪЛ МВУ·ıУ‰ЛП˚В ТУУЪМУ¯ВМЛfl ПВК- ‰Ы ТЪУ УМ‡ПЛ Л Ы„О‡ПЛ ТЩВ Л˜ВТНУ„У Ф flПУЫ„УО¸- МУ„У Ъ ВЫ„УО¸МЛН‡, Б‡ЪВП Т ФУПУ˘¸˛ Ф ЛМˆЛФ‡ ‰‚УИТЪ‚ВММУТЪЛ ФУОЫ˜ЛЪ¸ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘ЛВ ТУУЪМУ¯ВМЛfl ПВК‰Ы ТЪУ УМ‡ПЛ Л Ы„О‡ПЛ „ЛФВ ·УОЛ˜ВТНУ„У Ъ ВЫ„УО¸МЛН‡ ABC (‚ У·УБМ‡˜ВМЛflı ЛТ. 3) Л ТУ- ‚В ¯ЛЪ¸ Ф В‰ВО¸М˚И ФВ ВıУ‰. ЦТОЛ ‚˚ ТЫПВВЪВ ˝ЪУ Т‰ВО‡Ъ¸, ЪУ ‚˚ ıУ У¯У ЫТ‚УЛОЛ П‡ЪВ Л‡О М‡ТЪУfl˘ВИ ТЪ‡Ъ¸Л.

кДбЕаЦзаь игйлдйлна зД кДЗзхЦ икДЗагъзхЦ езйЙймЙйгъзада

ꇂÂÌÒÚ‚Ó (22) Ô Â‚ ‡ÚËÚÒfl ‚ Ì ‡‚ÂÌÒÚ‚Ó

BAC < π ,

-- – ABC

2

дОВЪ˜‡Ъ‡fl ·ЫП‡„‡ Л ТУЪ˚ Ф В‰ТЪ‡‚Оfl˛Ъ ТУ·УИ‡Б·ЛВМЛfl В‚НОЛ‰У‚УИ ФОУТНУТЪЛ М‡ ‡‚М˚В Ф ‡-

(24)‚ËθÌ˚ ÏÌÓ„ÓÛ„ÓθÌËÍË (‚ Ô ‚ÓÏ ÒÎÛ˜‡Â ̇ Н‚‡‰-‡Ъ˚, ‚У ‚ЪУ УП – М‡ ¯ВТЪЛЫ„УО¸МЛНЛ).

Ф Л˜ВП ‡БМУТЪ¸ ПВК‰Ы В„У Ф ‡‚УИ Л ОВ‚УИ ˜‡ТЪflПЛ,‡‚М‡fl ФОУ˘‡‰Л Ъ ВЫ„УО¸МЛН‡ ABC, ·Û‰ÂÚ Î˯¸ ‚ÓÁ-‡ÒÚ‡Ú¸. ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ, Û„ÓÎ BAC ТЪ ВПЛЪТfl Н МВНУЪУ УПЫ УТЪ УПЫ Ы„ОЫ δ. и В‰ВО¸М‡fl Ф flП‡fl m, Ó· ‡- ÁÛ˛˘‡fl Û„ÓÎ δ Ò Ô ÔẨËÍÛÎfl ÓÏ AC, Ì Ô ÂÒÂ͇ÂÚ Ô flÏÛ˛ l. З ЪВ ПЛМУОУ„ЛЛ, Ф ЛМflЪУИ ‚ „ВУПВЪ ЛЛ гУ·‡˜В‚ТНУ„У, ЛПВММУ ˝Ъ‡ Ф flП‡fl (‡ МВ Ф УТЪУ ‚Тfl- Н‡fl Ф flП‡fl, МВ ФВ ВТВН‡˛˘‡fl l) ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl Ô‡ ‡Î- ÎÂθÌÓÈ l.

ÖÒÎË ÚӘ͇ B ‰‚Л„‡ВЪТfl ‚ Ф УЪЛ‚УФУОУКМУП М‡- Ф ‡‚ОВМЛЛ, ЪУ Ф flП‡fl AB ТЪ ВПЛЪТfl Н ‰ Ы„УИ Ф fl- ПУИ m', Ú‡ÍÊ ӷ ‡ÁÛ˛˘ÂÈ Û„ÓÎ δ Ò Ô ÔẨËÍÛÎfl-ÓÏ AC, МУ УЪОУКВММ˚И ‚ ‰ Ы„Ы˛ ТЪУ УМЫ УЪ ˝ЪУ„У ФВ ФВМ‰ЛНЫОfl ‡. и flП‡fl m' Ú‡ÍÊ ҘËÚ‡ÂÚÒfl Ô‡ ‡Î- ÎÂθÌÓÈ l (МУ “‚ ‰ Ы„УП М‡Ф ‡‚ОВМЛЛ”). щЪ‡ ТЛЪЫ‡- ˆЛfl ЫТОУ‚МУ ЛБУ· ‡КВМ‡ М‡ ЛТ. 4 (ЫТОУ‚МУ, ФУЪУПЫ ˜ЪУ МВ‚УБПУКМУ ЪУ˜МУВ ЛБУ· ‡КВМЛВ МВВ‚НОЛ‰У‚УИ ЩЛ„Ы ˚ М‡ В‚НОЛ‰У‚УИ ФОУТНУТЪЛ, Н‡НУ‚УИ fl‚ОflВЪТfl ФОУТНУТЪ¸ ЛТЫМН‡).

êËÒ. 4.

н‡Н Н‡Н ТЫПП‡ Ы„ОУ‚ В‚НОЛ‰У‚‡ -Ы„УО¸МЛН‡ ‡‚- М‡ ( − 2)π, ЪУ Н‡К‰˚И Ы„УО Ф ‡‚ЛО¸МУ„У -Ы„УО¸МЛ- Н‡ ‡‚ВМ (1 − 2/ )π. ЦТОЛ ‚ ‡Б·ЛВМЛЛ ФОУТНУТЪЛ М‡‡‚М˚В Ф ‡‚ЛО¸М˚В -Ы„УО¸МЛНЛ ‚ Н‡К‰УИ ‚В ¯ЛМВ ТıУ‰ЛЪТfl q ПМУ„УЫ„УО¸МЛНУ‚, ЪУ ‰УОКМУ ·˚Ъ¸

щЪУ Ы ‡‚МВМЛВ ЛПВВЪ Ъ Л В¯ВМЛfl:

иУТОВ‰МЛП ‰‚ЫП В¯ВМЛflП ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛Ъ ЫКВ ЫФУПflМЫЪ˚В ‡Б·ЛВМЛfl М‡ Н‚‡‰ ‡Ъ˚ Л М‡ Ф ‡‚ЛО¸М˚В ¯ВТЪЛЫ„УО¸МЛНЛ. иВ ‚УПЫ В¯ВМЛ˛ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЫВЪ‡Б·ЛВМЛВ М‡ Ф ‡‚ЛО¸М˚В Ъ ВЫ„УО¸МЛНЛ.

оУ ПЫО‡ ‰Оfl ТЫПП˚ Ы„ОУ‚ -Ы„УО¸МЛН‡ ‚ В‚НОЛ- ‰У‚УИ „ВУПВЪ ЛЛ ‚˚‚У‰ЛЪТfl ЛБ ЩУ ПЫО˚ ‰Оfl ТЫПП˚ Ы„ОУ‚ Ъ ВЫ„УО¸МЛН‡ ФЫЪВП ‡Б·ЛВМЛfl -Ы„УО¸МЛН‡ М‡− 2 Ъ ВЫ„УО¸МЛН‡ ‰Л‡„УМ‡ОflПЛ, Ф У‚В‰ВММ˚ПЛ ЛБ Н‡НУИ-ОЛ·У В„У ‚В ¯ЛМ˚. н‡НЛП КВ ТФУТУ·УП ‰УН‡Б˚- ‚‡ВЪТfl, ˜ЪУ ТЫПП‡ Ы„ОУ‚ ТЩВ Л˜ВТНУ„У (ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ВММУ „ЛФВ ·УОЛ˜ВТНУ„У) -Ы„УО¸МЛН‡ ‡‚М‡ ( − 2)π ФО˛Т (ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ВММУ ПЛМЫТ) ФОУ˘‡‰¸ ˝ЪУ„У -Ы„УО¸МЛН‡.

éÚÒ˛‰‡ ÒΉÛÂÚ, ˜ÚÓ Û„ÓÎ Ô ‡‚ËθÌÓ„Ó ÒÙ ˘ÂÒÍÓ„Ó -Û„ÓθÌË͇ ·Óθ¯Â, ˜ÂÏ (1 − 2/ )π, Ô Ë˜ÂÏ ‚ ÓÚ΢ˠÓÚ Â‚ÍÎˉӂ‡ ÒÎÛ˜‡fl ÓÌ Á‡‚ËÒËÚ ÓÚ ‡‰ËÛÒ‡

ПМУ„УЫ„УО¸МЛН‡. ЦТОЛ ‡‰ЛЫТ П‡О, ЪУ ПМУ„УЫ„УО¸- МЛН ·ОЛБУН Н В‚НОЛ‰У‚Ы Л В„У Ы„УО ОЛ¯¸ МВМ‡ПМУ„У ·УО¸¯В (1 − 2/ )π. дУ„‰‡ ‡‰ЛЫТ Ф Л·ОЛК‡ВЪТfl Н П‡НТЛП‡О¸МУ ‚УБПУКМУПЫ БМ‡˜ВМЛ˛ π/2, ЪУ Т‡П ПМУ„УЫ„УО¸МЛН Ф Л·ОЛК‡ВЪТfl Н ФУОЫТЩВ В, ‡ В„У Ы„УО Ф Л·ОЛК‡ВЪТfl Н π. н‡НЛП У· ‡БУП, Ы„УО Ф ‡- ‚ЛО¸МУ„У ТЩВ Л˜ВТНУ„У -Ы„УО¸МЛН‡ ПУКВЪ ·˚Ъ¸ О˛·˚П ˜ЛТОУП, ОВК‡˘ЛП ПВК‰Ы (1 − 2/ )π Л π.

иУ˝ЪУПЫ ‡Б·ЛВМЛВ ТЩВ ˚ М‡ ‡‚М˚В Ф ‡‚ЛО¸- М˚В -Ы„УО¸МЛНЛ, ТıУ‰fl˘ЛВТfl ФУ q ‚ Н‡К‰УИ ‚В ¯Л- МВ, ‚УБПУКМУ ЪУ„‰‡ Л ЪУО¸НУ ЪУ„‰‡, НУ„‰‡

щЪУ МВ ‡‚ВМТЪ‚У ЛПВВЪ ТОВ‰Ы˛˘ЛВ В¯ВМЛfl:

( , q)=(3, 3); (3, 4); (3, 5); (4, 3); (5, 3). (30)

н‡НЛП У· ‡БУП, ЛПВВЪТfl У‚МУ ФflЪ¸ ‡Б·ЛВМЛИ ТЩВ-˚ М‡ ‡‚М˚В Ф ‡‚ЛО¸М˚В ПМУ„УЫ„УО¸МЛНЛ.

щЪЛ ‡Б·ЛВМЛfl ‚Б‡ЛПМУ У‰МУБМ‡˜МУ ТУУЪ‚ВЪТЪ- ‚Ы˛Ъ Ф ‡‚ЛО¸М˚П ПМУ„У„ ‡ММЛН‡П ‚ В‚НОЛ‰У‚УП Ф УТЪ ‡МТЪ‚В. А ЛПВММУ, Ф УВНЪЛ Ыfl „ ‡МЛˆЫ Ф ‡- ‚ЛО¸МУ„У ПМУ„У„ ‡ММЛН‡ ЛБ В„У ˆВМЪ ‡ М‡ УФЛТ‡М- МЫ˛ ТЩВ Ы, П˚ ФУОЫ˜‡ВП ‡Б·ЛВМЛВ ТЩВ ˚ М‡ ‡‚- М˚В Ф ‡‚ЛО¸М˚В ПМУ„УЫ„УО¸МЛНЛ (Ф УВНˆЛЛ „ ‡МВИ ПМУ„У„ ‡ММЛН‡). й· ‡ЪМУ, ‰Оfl ‚ТflНУ„У ‡Б·ЛВМЛfl ТЩВ ˚ М‡ ‡‚М˚В Ф ‡‚ЛО¸М˚В ПМУ„УЫ„УО¸МЛНЛ ‚˚- ФЫНО˚И ПМУ„У„ ‡ММЛН, ‚В ¯ЛМ‡ПЛ НУЪУ У„У ТОЫ- К‡Ъ ‚В ¯ЛМ˚ ‡Б·ЛВМЛfl, fl‚ОflВЪТfl Ф ‡‚ЛО¸М˚П.

иУОЫ˜ВММ˚И ‚˚¯В ВБЫО¸Ъ‡Ъ УБМ‡˜‡ВЪ, ˜ЪУ ЛПВВЪТfl У‚МУ ФflЪ¸ Ф ‡‚ЛО¸М˚ı ПМУ„У„ ‡ММЛНУ‚. щЪУ ЛБ‚ВТЪМ˚В Т ‰ В‚МЛı ‚ ВПВМ ЪВЪ ‡˝‰ , УНЪ‡˝‰ , ЛНУ- Т‡˝‰ , НЫ·, ‰У‰ВН‡˝‰ .

АМ‡ОУ„Л˜МУ, Ы„УО Ф ‡‚ЛО¸МУ„У „ЛФВ ·УОЛ˜ВТНУ- „У -Ы„УО¸МЛН‡ ПВМ¸¯В, ˜ВП (1 − 2/ )π, Ф Л˜ВП ВТОЛ‡‰ЛЫТ ПМУ„УЫ„УО¸МЛН‡ П‡О, ЪУ В„У Ы„УО ОЛ¯¸ МВМ‡- ПМУ„У ПВМ¸¯В ˝ЪУИ ‚ВОЛ˜ЛМ˚, ‡ НУ„‰‡ ‡‰ЛЫТ ТЪ В- ПЛЪТfl Н ·ВТНУМВ˜МУТЪЛ, ЪУ Ы„УО ТЪ ВПЛЪТfl Н МЫО˛. н‡НЛП У· ‡БУП, Ы„УО Ф ‡‚ЛО¸МУ„У „ЛФВ ·УОЛ˜ВТНУ- „У -Ы„УО¸МЛН‡ ПУКВЪ ·˚Ъ¸ О˛·˚П (ФУОУКЛЪВО¸- М˚П) ˜ЛТОУП, ПВМ¸¯ЛП (1 − 2/ )π.

иУ˝ЪУПЫ ‰Оfl ‡Б·ЛВМЛИ ФОУТНУТЪЛ гУ·‡˜В‚ТНУ- „У М‡ ‡‚М˚В Ф ‡‚ЛО¸М˚В ПМУ„УЫ„УО¸МЛНЛ П˚ ФУОЫ- ˜‡ВП МВ ‡‚ВМТЪ‚У

¯ÂÌËflÏË ÍÓÚÓ Ó„Ó fl‚Îfl˛ÚÒfl ‚Ò ԇ ˚ ˜ËÒÂÎ ( , q), Н УПВ ЪВı, НУЪУ ˚В fl‚Оfl˛ЪТfl В¯ВМЛflПЛ Ы ‡‚МВМЛfl (27) ЛОЛ МВ ‡‚ВМТЪ‚‡ (29), ЪУ ВТЪ¸ ‚ТВ Ф‡ ˚, Н УПВ ФВ В˜ЛТОВММ˚ı ‚˚¯В ‚УТ¸ПЛ. к‡Б·ЛВМЛВ, УЪ‚В˜‡˛- ˘ВВ В¯ВМЛ˛ (3, 7), ЫТОУ‚МУ ЛБУ· ‡КВМУ М‡ ЛТ. 5.

е˚ ‚Л‰ЛП, ˜ЪУ, ФУ Н ‡ИМВИ ПВ В ‚ УЪМУ¯ВМЛЛ‡Б·ЛВМЛИ М‡ Ф ‡‚ЛО¸М˚В ПМУ„УЫ„УО¸МЛНЛ, ФОУТНУТЪ¸ гУ·‡˜В‚ТНУ„У Ф В‰ТЪ‡‚ОflВЪ НЫ‰‡ ·УО¸¯В ‚УБПУКМУТЪВИ, ˜ВП В‚НОЛ‰У‚‡ ФОУТНУТЪ¸ Л ТЩВ ‡.

Ц˘В ·УО¸¯В ‚УБПУКМУТЪВИ Ф В‰ТЪ‡‚ОflВЪТfl, ВТОЛ УЪН‡Б‡Ъ¸Тfl УЪ (М‡ Т‡ПУП ‰ВОВ ЛТНЫТТЪ‚ВММУ„У) Ъ В-

êËÒ. 5.

·У‚‡МЛfl Ф ‡‚ЛО¸МУТЪЛ ПМУ„УЫ„УО¸МЛНУ‚ ‡Б·ЛВМЛfl (ТУı ‡МЛ‚, У‰М‡НУ, Ъ В·У‚‡МЛВ Лı ‡‚ВМТЪ‚‡). аПВММУ Т Ъ‡НЛПЛ ‡Б·ЛВМЛflПЛ Т‚flБ‡М˚ ЫФУПЛМ‡‚- ¯ЛВТfl ‚ М‡˜‡ОВ ˝ЪУИ ТЪ‡Ъ¸Л Ф ЛОУКВМЛfl „ВУПВЪ ЛЛ гУ·‡˜В‚ТНУ„У Н ЪВУ ЛЛ ˜ЛТВО Л ЪВУ ЛЛ ЩЫМНˆЛИ НУПФОВНТМУИ ФВ ВПВММУИ.

АМ‡ОУ„Л˜М˚П У· ‡БУП ПУКМУ ‡ТТП‡Ъ Л‚‡Ъ¸‡Б·ЛВМЛfl Ф УТЪ ‡МТЪ‚‡ М‡ ‡‚М˚В ПМУ„У„ ‡ММЛНЛ. З ТОЫ˜‡В В‚НОЛ‰У‚‡ Ф УТЪ ‡МТЪ‚‡ ЛБЫ˜ВМЛВ Ъ‡НЛı‡Б·ЛВМЛИ ЛПВВЪ ЪВТМЫ˛ Т‚flБ¸ Т Н ЛТЪ‡ООУ„ ‡ЩЛВИ,

‡ ‚ ТОЫ˜‡В Ф УТЪ ‡МТЪ‚‡ гУ·‡˜В‚ТНУ„У – Т ЪУФУОУ„Л- ВИ Ъ ВıПВ М˚ı ПМУ„УУ· ‡БЛИ. З ФУТОВ‰МВП ТОЫ˜‡В ЪВУ Лfl Ъ‡НЛı ‡Б·ЛВМЛИ В˘В ‰‡ОВН‡ УЪ Б‡‚В ¯ВМЛfl, ıУЪfl ‡Б·ЛВМЛfl Ф УТЪ ‡МТЪ‚‡ гУ·‡˜В‚ТНУ„У М‡ ‡‚- М˚В Ф ‡‚ЛО¸М˚В ПМУ„У„ ‡ММЛНЛ ·˚ОЛ УФЛТ‡М˚ дУНТВЪВ УП В˘В ‚ 1954 „У‰Ы.

ганЦкДнмкД

1.АОВНТВВ‚ТНЛИ С.З., ÇËÌ·Â „ ù.Å., ëÓÎÓ‰Ó‚ÌËÍÓ‚ А.ë.

ЙВУПВЪ Лfl Ф УТЪ ‡МТЪ‚ ФУТЪУflММУИ Н Л‚ЛБМ˚. З НМ.: аЪУ„Л М‡ЫНЛ Л ЪВıМЛНЛ. лУ‚ ВПВММ˚В Ф У·ОВП˚ П‡- ЪВП‡ЪЛНЛ. оЫМ‰‡ПВМЪ‡О¸М˚В М‡Ф ‡‚ОВМЛfl. е.: Зазана, 1988. н. 29. л. 1 – 146.

2.ÇËÌ·Â „ ù.Å., ò‚‡ ˆÏ‡Ì é.Ç. СЛТН ВЪМ˚В „ ЫФФ˚ ‰‚ЛКВМЛИ Ф УТЪ ‡МТЪ‚ ФУТЪУflММУИ Н Л‚ЛБМ˚. н‡П КВ, C. 147 – 259.

* * *

щ МВТЪ ЕУ ЛТУ‚Л˜ ЗЛМ·В „, ‰УНЪУ ЩЛБЛНУ-П‡- ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛı М‡ЫН, Ф УЩВТТУ еЙм, ˜ОВМ Ф ‡‚ОВМЛfl еУТНУ‚ТНУ„У П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНУ„У У·˘ВТЪ‚‡. А‚- ЪУ 6 ПУМУ„ ‡ЩЛИ Л 70 М‡Ы˜М˚ı ‡·УЪ.