Определения

Рассмотрим функцию  , определённую на некотором множестве  , которое имеет предельную точку   (которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать).

[Править]Предел функции по Гейне

Значение   называется пределом (предельным значением) функции   в точке  , если для любой последовательности точек  , сходящейся к  , но не содержащей   в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности   ), последовательность значений функции   сходится к  .^[1]

[Править]Предел функции по Коши

Значение   называется пределом (предельным значением) функции   в точке  , если для любого наперёд взятого положительного числа   найдётся отвечающее ему положительное число   такое, что для всех аргументов  , удовлетворяющих условию  , выполняется неравенство  .^[1]

Пусть f(x) определена в проколотой окрестности точки а, тогда

Lim (x->a) f(x)=b  (lim(x-> a+0) f(x)=b) and (lim (x->a-0) f(x)=b).

Доказательство.

Существует lim (x->a) f(x)=b  любой эпсилон>0 существует дельта(эпсилон)>0, такое, что любой x принадлежит проколотой окрестности точки а при отрезке дельта, /f(x)-b/<EPS.

0</x-a/<дельта  (a-дельта<x<a) or (a<x<a+дельта).

Тогда получим, что x принадлежит проколотой окрестности точки (а+-0) на отрезке дельта =>

/f(x)-b/ <EPS=>существует lim (x->a+-0) f(x)=b.

Дельта1: дельта12(EPS)>0 a<x<a+дельта /f(x)-b/<EPS

Любой EPS, дельта (EPS)=min{дельта1(EPS),дельта2(EPS) }, тогда

Любой x принадлежит проколотой окрестности точки а на отрезке дельта, /f(x)-b/<EPS  существует lim(x->a) f(x)=b.

11. Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел

Область определения D функции f  cодержит некоторую 

f  локально ограничена в точке x₀, если она ограничена в некоторой окрестности этой точки $M$d>0"xÎU(x₀)ÇD:|f(x)|£M.

Т. Функция   f   имеющая конечный предел в окрестности точки  x₀ локально ограничена в точке x₀.

Доказательство: e=1,M=max{|A-1|,|A+1|,f(x₀)} или  M=max{|A-1|,|A+1|}

Замечание. Теорема верна и в случае 

F(x)<M.

/f(x)/=/f(x)-b+b/<=/f(x)-b/+/b/<EPS+/b/=M.

12. Бесконечно малые функции. Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой.

17.1. Определения и основные теоремы

Функция у=f(х) назівается бесконечно малой при х→x_0,если

По определению предела функции равенство (17.1) означает: для любого числа ε>0 найдется число δ>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-x₀|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|<ε.

Аналогично определяется б.м.ф. при х→х_о+0, х→x₀-0, х→+∞, х→-∞: во всех этих случаях ƒ(х)→0.

Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами α, ß и т. д.

Пример:х_n=1/n, nєN, — бесконечно малая последовательность.

Теорема 17.5. Если функция ƒ(х) имеем предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции α(х), т. е. если limƒ(х)=А, при Х→Хо то ƒ(х)=А+а(х).

▼ Пусть     

Следовательно, т. е. |ƒ(х)-А-0|<ε. Это означает, что функция ƒ(х)-А имеет предел, равный нулю, т. е. является б.м.ф., которую обозначим через α(х): ƒ(х)-А=α(х). Отсюда ƒ(х)=А+α(х).▲

13. Теоремы о сумме бесконечно малых и произведении б.м. на ограниченную функцию.

Теорема 17.2 Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

▼ Пусть функция ƒ(х) ограничена при х→хо. Тогда существует такое число М>0, что

    для всех х из δ₁-окрестности точки х_о. И пусть α(х)—б.м.ф. при х→x₀. Тогда для любого ε >0, а значит, и ε /М> 0 найдется такое число δ₂>О, что при всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-х_о|<δ₂, выполняется неравенство

Обозначим через δ наименьшее из чисел δ₁ и δ₂. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-х_о|<δ, выполняются оба неравенства (17.4) и (17.5). Следовательно, |ƒ(х)-α(х)|=|ƒ(х)|-|а(х)|<ε.

А это означает, что произведение ƒ(х)•α(х) при х→х₀ есть бесконечно малая функция.▲

 Следствие 17.1. Так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы (17.2) вытекает: произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.

Следствие 17.2. Произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.

Теорема 2. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть   и   – бесконечно малые последовательности. Это означает, что для любого числа   существуют такие номера   и  , что для всех номеров   и для всех номеров   выполняются условия   и   соответственно. Тогда для всех номеров   выполняется условие , а это и означает, что последовательность   – бесконечно малая.

Следствие 1. Разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Следствие 2. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

14. Теорема о пределе суммы, произведения, частного функций.

Т.3: Предел суммы конечного числа функций, имеющих пределы при х а, равен сумме их пределов

Пусть тогда по теореме 2 име-

ем где — б.м. при

х а, следовательно, Используя лемму 1 о б.м., заключаем, что — б.м. при

 и по теореме 2 получаем равенство  b1 + b2

Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

.

Доказательство. Пусть  . Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x) и

fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ).

Произведение bc есть величина постоянная. Функция bβ + c α + αβ на основании свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому  .

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Следствие 2. Предел степени равен степени предела:

.

Пример. .

Т.5: Предел отношения двух функций, имеющих пределы при х а, равен отношению их пределов (если предел знаменателя не нуль), т.е.

Пусть тогда, используя Т.2, аналогично доказательству Т.3 запишем

где  Числитель последней дроби по леммам о б.м. является б.м. Покажем, что является функцией ограниченной, тогда дробь по лемме 2 о б.м. является б.м., и по Т.2:

Имеем в некоторой окрестности т. а для любого > 0 вследствие справедливости

т.е. ограниченность доказана

15. Теорема о пределе сложной функции.

Теорема 3 (о пределе сложной функции). Если существует конечный предел

а функция f(u) непрерывна в точке  , то

Другими словами, для непрерывных функций символы предела и функции можно поменять местами.

Непосредственное применение теорем о пределах, однако, не всегда приводит к цели. Например, нельзя применить теорему о пределе частного, если предел делителя равен нулю. В таких случаях необходимо предварительно тождественно преобразовать функцию, чтобы иметь возможность применить следствие из теоремы 1.

Пример 8. Найти

Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, так как

Преобразуем заданную дробь, разложив числитель и знаменатель на множители. В числителе получим

где

 

корни квадратного трёхчлена. Теперь, полагая  , сократим дробь и, используя следствие из теоремы 1, вычислим предел данной функции:

16. Теорема о знакопостоянстве функции, имеющей отличный от нуля предел

Если , то существует окрестность точки а, в которой и знак совпадает со знаком значения b.

Доказательство: по условию , т.е. , или справедливы неравенства .

Возьмём за число . Тогда , , являются числами одного знака. Следовательно, в силу неравенства , и имеет знак числа b в указанной -окрестности точки а.

17. Теорема о предельном переходе в неравенстве.

Теорема 5.1

Если функция имеет предел в некоторой проколотой окрестности точки a, равный A, и принимает неотрицательные значения, то и значение предела этой функции больше или равно 0, т.е.

  ,  

Доказательство

(Методом от противного). Допустим, что A<0. Возьмем  . Тогда        , 

Получаем, что для любого  из пересечения проколотых окрестностей  и  одновременно выполняются следующие неравенства:

   и . Тем самым мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

18. Теорема о пределе промежуточной функции (теорема о 2-х милиционерах)

Теорема 17.10 (о пределе промежуточной функции). Если функция ƒ(х) заключена между двумя функциями φ(х) и g(х), стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т. е. если

то

▼Из равенств (17.6) вытекает, что для любого ε>0 существуют две окрестности δ₁ и δ₂точки х_о, в одной из которых выполняется неравенство |φ(х)-А|<ε, т. е.

 

-ε<φ(х)-А<ε,                                        (17.8)

а в другой |g(х)-А|<ε, т. е.

-ε<g(х)-А<ε.                                        (17.9)

 

Пусть δ — меньшее из чисел δ₁ и δ₂. Тогда в δ-окрестности точки x₀ выполняются оба неравенства (17.8) и (17.9). Из неравенств (17.7) находим, что

φ(x)-A≤f(x)-A≤g(x)-A                         (17.10)

С учетом неравенств (17.8) и (17.9) из неравенства (17.10) следуют неравенства -ε<ƒ(х)-А<ε или |ƒ(х)-А|<ε. Мы доказали, что

 ε>0  δ>0  x: 0<|х-х₀|<δ  |ƒ(х)-А|<ε,  то есть lim ƒ(х)=А при х –> x₀.

Теорему 17.10 иногда шутливо называют «принципом двух милиционеров». Роль «милиционеров» играют функции φ(х) и g(х), функция ƒ(х) «следует за милиционерами»▲

19. Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функции. (лекция №26, тетр. 3)

20. . Первый замечательный предел и следствия из него.