4.4 Метод Ньютона (метод дотичних)

Нехай корінь рівняння

(4.12)

Відділений на відрізку , причому та неперервні та зберігають сталі знаки при . Знайшовши яке-небудь -е наближене значення кореня , ми можемо уточнити його методом Ньютона по формулі:

. (4.13)

Геометрично метод Ньютона еквівалентний заміні невеликої дуги кривої дотичною, проведеною в деякій точці кривої. Справді, покладемо для визначеності, що при та (рис. 4.5).

Виберемо, наприклад, , для якого . Про­ведемо дотичну до кривої в точці .

Для першого наближення кореня візьмемо абсцису точки перетину цієї дотичної з віссю . Через точку знову проведемо дотичну, абсциса точки перетину якої з віссю дасть нам друге наближення кореня і т. д. (рис. 4.5).

Рис. 4.5

Оче­видно, що рівняння дотичної в точці є

.

Поклавши , отримаємо формулу (4.13):

.

Зауважимо, що, якщо у нашому випадку покласти і, отже, , то, провівши дотичну до кривої в точці , ми отримали б точку (рис. 4.5), що лежить поза відрізком , тобто при такому виборі початкового значення ме­тод Ньютона не приведе до мети. Таким чином, у даному випадку «хорошим» початковим наближенням є таке, для якого виконується нерівність

(4.14).

Це правило є загальним для методу Ньютона.

Зауваження 1. Якщо: 1) функція визначена і неперервна при ; 2) ; 3) при ; 4) існує всюди і зберігає сталий знак, то при застосуванні методу Ньютона для знаходження кореня рівняння , який лежить у інтервалі , за початкове наближення можна прийняти будь-яке значення . Зокрема, можна покласти або .

Зауваження 2. З формули (4.13) видно, що чим більше числове значення похідної у околі даного кореня, тим менша поправка, яку треба додати до -го наближення, щоб отримати -е наближення. Тому метод Ньютона особливо зручно застосовувати тоді, коли у околі даного кореня графік функції має велику крутизну. Якщо ж чисельне значення похідної біля кореня мале, то поправки будуть великими, і обчислення кореня за методом Ньютона може виявитися дуже довгим, або і взагалі неможливим. Отже, якщо крива біля точки перетину з віссю майже горизонтальна, то застосовувати метод Ньютона для розв’язування рівняння не рекомендується.

Для оцінки похибки -гo наближення знову можна скористатися формулою

(4.15),

де — найменше значення на відрізку .

Має місце ще одна формула для оцінки точності наближення :

(4.16).

Отже, якщо задатися якоюсь точністю , то обчислення за методом Ньютона можна виконувати до тих пір, коли різниця між двома сусідніми наближеннями за абсолютною величиною стане меншою від . А потім прийняти значення кореня рівняння рівним останньому наближенню.

Приклад 1. Обчислити методом Ньютона від’ємний корінь рівняння з п’ятьма вірними знаками.

Розв’язок.

Послідовно приймаючи у лівій частині рівняння , отримаємо .

Отже, шуканий корінь знаходиться в інтервалі . Звузимо знайдений інтервал. Так як , то .

Перша та друга похідні:

У останньому знайденому інтервалі похідні зберігають сталі знаки: та . Так як і , то можемо прийняти за початкове наближення . Послідовні наближення обчислюємо за такою схемою:

0	-11	3453	-5183	0,7
1	-10,3	134,3	-4234	0,03
2	-10,27	37,8	-4196	0,009
3	-10,261	0,15	-4185	0,00004

Так як поправка є фактично різницею між двома сусідніми наближеннями кореня, то можна покласти .

Приклад 2. Знайти за методом Ньютона найменший додатний корінь рівняння з точністю .

Розв’язок. Побудувавши графіки функцій та (рис. 4.6), робимо висновок, що шуканий корінь знаходиться в інтервалі . Перепишемо рівняння у вигляді , матимемо:

Рис. 4.6

Звідси та при . Так як , то за початкове наближення можна прийняти . Обчислення виконуємо за наступною схемою:

0		-1	-4,712
1		-0,0291	-4,399
2		-0,00003	-----

Надаємо можливість читачу самостійно здійснити оцінку похибки наближеного значення .