3.2 Метод простої ітерації
Ітерація – результат повторного використання якої-небудь математичної операції.
Найпростішим ітераційним методом розв’язування СЛАР є ітераційний метод Гауса (метод простої ітерації).
Проілюструємо цей метод на прикладі розв’язування СЛАР 3-го порядку
(3.1)
Припустимо,
що
.
Розв’яжемо перше рівняння відносно
,
друге рівняння – відносно
,
третє – відносно
.
Маємо:
(3.2)
Задамо
деякі початкові (нульові) наближення
невідомим. Підставляючи у праві частини
наведених вище рівнянь ці початкові
значення, отримаємо нові (перші) наближення
для
:
(3.3)
Використовуючи
обчислені значення
,
знайдемо наступні (другі) наближення
:
Кожні наступні наближення знаходимо аналогічно:
У
загальному випадку для СЛАР
го
порядку:
. (3.4)
Ітераційний
процес продовжується доти, поки на
сусідніх ітераціях значення
та
не відрізнятимуться один від одного на
задану величину похибки, тобто
(3.5)
або
,
якщо
. (3.6)
Розглянемо простий приклад.
звідки
Покладемо
.
Нехай
Перша ітерація:
.
Друга ітерація:
.
Третя ітерація:
.
Четверта ітерація:
.
П’ята ітерація:
.
Потрібна точність досягнута, отже:
Легко знайти точні значення розв’язків системи рівнянь:
.
Похибки обчислень:
3.3 Метод Гаусса-Зейделя
Цей
метод відрізняється від методу простої
ітерації тільки тим, що для обчислення
використовуються вже знайдені на цій
(а не на попередній) ітерації нові
значення
.
Для СЛАР 3-го порядку:
(3.7)
Для
ої
ітерації
(3.8)
У
загальному випадку для СЛАР
го
порядку
.
(3.9)
Якщо
для кожного
існує скінчена границя послідовності
при
,
то такий ітераційний процес називається
збіжним, а розв’язки системи рівнянь:
.
При
цьому максимуми
різниці між значеннями змінних на двох
послідовних
ітераціях
прямують до нуля, тобто
.
Збіжність ітераційного процесу. Для збіжності ітераційного процесу достатньо, щоб модуль діагонального коефіцієнта для кожного рівняння системи був не менше суми модулів всієї решти коефіцієнтів цього рівняння (тобто в рядку):
(3.10)
При цьому хоча б для одного рівняння нерівність повинна виконуватися строго. Ці умови є достатніми для збіжності методу, але вони не є необхідними, тобто для деяких СЛАР ітераційний процес сходиться і при порушенні умов (3.10).
Розглянемо попередній приклад та застосуємо до нього метод Гауса-Зейделя.
звідки
Покладемо .
Нехай
Перша ітерація:
.
Друга ітерація:
.
Третя ітерація:
.
Четверта ітерація:
.
Потрібна точність досягнута, отже:
Похибки обчислень:
Порівнюємо методи простої ітерації та Гаусса-Зейделя.
Потрібна точність досягнута швидше при застосуванні методу Гаусса-Зейделя (4 ітерації), ніж при застосуванні методу простої ітерації (5 ітерацій). Отже, можна стверджувати, що, взагалі кажучи, метод Гаусса-Зейделя збігається швидше, ніж метод простої ітерації, він потребує менше машинного часу. більш того, за ці 4 ітерації методом Гаусса-Зейделя досягнуто точності 0,01.
Графічна інтерпретація методу Гаусса-Зейделя виглядатиме так
Рис. 3.1 – Збіжність ітераційного процесу
Процес сходиться до значення .
Тут
умови збіжності виконуються, оскільки
і
.
Подивимося, що вийде, якщо поміняємо місцями ці рівняння
звідки
Процес розходиться (див. рис. 3.2).
Рис. 3.2 – Розбіжний ітераційний процес
Порівняння прямих та ітераційних методів.
1. Прямими методами теоретично можна розв’язати будь-яку невироджену СЛАР, а ітераційні методи сходяться не для всіх систем рівнянь, тобто прямі методи мають велику область розв’язків.
2.
Обсяг обчислень прямих методів приблизно
операцій,
а Гаусса-Зейделя – приблизно
(кількість ітерацій), тому загальні
витрати машинного часу у
методі
Гаусса-Зейделя будуть менші.
3. Помилки округлення в ітераційних методах менші. Це має вирішальне значення при розв’язуванні великих СЛАР.