2.5 Обчислення значень логарифмічної функції
Для натуральних логарифмів чисел, близьких до одиниці, справедливий розклад:
.
(2.25)
Формула
(2.25) малопридатна для обчислень, тому
що діапазон чисел
невеликий та, крім того, при
,
близькому до одиниці, ряд (2.25) сходиться
повільно.
Уведемо
більше зручну формулу для обчислень
натуральних логарифмів чисел. Для
цього скористаємося аналогом формули
(2.25) для
,
а також зробимо заміну
.
(2.26)
Одержимо (спробуйте це зробити самостійно) формулу:
(2.27)
Нехай - додатне число. Представимо його у вигляді
,
де
- ціле
число та
.
Тоді, поклавши
,
де
,
і застосовуючи формулу (2.27), будемо мати:
.
Застосувавши позначення
,
одержимо:
.
(2.28)
Можна показати, що при заданій точності процес підсумовування припиняється (досягається необхідна точність), як тільки
,
де
.
Приклад.
Знайти
з точністю до
.
Розв’язок. Обчислення будемо виконувати із двома запасними знаками. Покладемо
.
Звідси
,
і
Маємо:
Використовуючи формулу (2.28), одержуємо:
.
Зауваження. Можна також обчислювати натуральні логарифми чисел, виходячи з представлення числа :
,
де
- ціле число та
.
Для обчислення десяткових логарифмів використовується формула
,
де
.
2.6 Обчислення значень тригонометричних функцій
Обчислення значень синуса й косинуса.
За
допомогою формул приведення аргумент
можна укласти у відрізок
.
Якщо
,
то маємо:
,
(2.29)
якщо
ж
,
то покладемо
,
(2.30)
де
та
.
Тому що ряд (2.29) знакозмінний з монотонно спадними, по модулю, членами, то для залишкового члена справедлива оцінка
та
Тому процес підсумовування можна припинити, як тільки буде виявлено, що
,
де - задана залишкова похибка.
Аналогічно здійснюється обчислення інших тригонометричних функцій.
Приклад.
Знайти
з точністю до
.
Розв’язок.
Переведемо величину
в радіани. Маємо:
.
Застосовуючи формулу (2.29), одержимо:
Звідси
3 Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (слар)
Системи лінійних алгебраїчних рівнянь в обчисленнях мають дуже велике значення, оскільки до них зводиться наближене розв’язування широкого кола обчислювальних задач, у тому числі систем нелінійних алгебраїчних рівнянь і диференціальних рівнянь. Теорія розв’язування лінійних систем достатньо розроблена, є велика кількість різноманітних програмних засобів для розв’язування самих різних систем рівнянь: обумовлених, блочних, стрічкових, з розрідженими матрицями тощо. Тому тут детально не розглядатимемо всі методи, а згадаємо лише основні ідеї і їх особливості.
3.1 Концепція методів
Методи розв’язування СЛАР звичайно розділені на дві великі групи: точні (або прямі) і наближені (ітераційні).
Точні (прямі) методи дозволяють для будь-яких систем у принципі знайти точні значення невідомих після скінченого числа арифметичних операцій, кожна з яких виконується точно.
Наближені ітераційні методи дають розв’язок в результаті, у принципі, нескінченного процесу наближень.
З прямих методів найбільш поширені методи Гауса, Крамера і LU-перетворення, набагато рідше використовується метод оберненої матриці. Метод Крамера (з використанням визначників) вимагає дуже великих обчислень вже при розв’язуванні системи 5 рівнянь, тому використовується тільки в учбовій літературі.
З ітераційних методів використовуються в основному методи простої ітерації і метод Гаусса-Зейделя.
Прямі методи вивчалися у курсі «Вища математика». Тому одразу переходимо до вивчення ітераційних методів.