5.3 Лінійна і квадратична локальні інтерполяції

Найпростішим видом локальної інтерполяції є лінійна інтерполяція. Вона полягає в тому, що задані точки з'єднуються прямолінійними відрізками, а функція апроксимується ламаною з вершинами в даних точках.

Для і-го інтервалу можна написати рівняння прямої, що проходить через точки та у вигляді:

.

Звідси

(5.2)

_{Для визначення наближеного значення в середині будь-якого інтервалу, спочатку по значенню x визначають інтервал, а потім підставляють x в рівняння цього інтервалу.}

Для випадку квадратичної інтерполяції як інтерполяційний многочлен на відрізку приймається квадратний многочлен .

Тут невідомими є вони знаходяться з умови проходження многочлена через три точки

. (5.3)

_{Інтерполяція для будь-якої точки х з інтервалу проводиться по трьох найближчих до неї вузлах.}

_{На рис. 5.2 показано графіки локальних (лінійної та квадратичної) інтерполяційних функцій.}

Рис. 5.2 – Лінійна та квадратична інтерполяція

_{Приклад: Знайти наближене значення функції при х=0,32}, якщо відома таблиця її значень:

х	0,15	0,30	0,4	0,55
у	2,17	3,63	5,07	7,78

_{а) При лінійній інтерполяції х=0,32 знаходиться між вузлами 0,3 і 0,4. В цьому випадку}

При маємо (рис. 5.3):

.

_{Рис. 5.3 – Лінійна локальна інтерполяція}

_{б) При квадратичній інтерполяції складемо систему рівнянь для найближчих до точки х=0.32 вузлів:}

_{відповідно}

_{Маємо систему рівнянь:}

_{Розв’язуючи цю систему, знаходимо:}

Отже, інтерполяційна квадратична функція:

Тоді шукане значення в точці х=0,32 буде (рис. 5.4):

.

Рис. 5.4 – Квадратична локальна інтерполяція

5.4 Глобальна інтерполяція. Многочлен Лагранжа

Нехай відомі значення функції в точках . _{Для інтерполяції функції в довільній точці , що належить відрізку , необхідно побудувати інтерполяційний поліном n-го порядку, який в методі Лагранжа має вигляд:}

(5.4)

де

Якщо розкрити добутки всіх дужок в чисельнику (в знаменнику всі дужки є числами), то отримаємо поліном n-го порядку від х, тобто в чисельнику n співмножників першого порядку. Наступний поліном Лагранжа не що інше, як звичайний поліном n-го порядку, але записаний в іншій формі. Підставляючи l(x) у вираз для L(x), отримаємо

(5.5)

Неважко помітити, що у вузлах інтерполяції:

Оцінити похибку інтерполяції в точці (друга проблема інтерполяції) можна по формулі:

(5.6)

де - _{максимальне значення -ої похідної початкової функції f(x) на відрізку .}

_{Отже, щоб оцінити похибку, треба знати , що не завжди можливо.}

_{З формули (5.5) можна отримати вираз для лінійної і квадратичної інтерполяції без обчислення відповідних коефіцієнтів.}

5.5 Глобальна інтерполяція. Многочлен Ньютона

У загальному випадку інтерполяція по формулах Ньютона може здійснюватися для довільно розташованих вузлів інтерполяції, але частіше – для рівномірно розташованих вузлів.

Тоді , де .

Метод використовує поняття скінчених різниць:

- різниці 1-го порядку

- різниці 2-го порядку

- різниці 3-го порядку

Для визначення різниці k – го порядку потрібне знання всіх точок від до :

(5.7)

_{Можна помітити, що за наявності n+1 точок (0,1,2,.., n), скінчену різницю 1-го порядку можна обчислити тільки для перших n точок (0,1,2,....,n –1), скінчену різницю n – го порядку – тільки для нульової точки, а k – го порядку - тільки для перших n - k+1 точок, тобто треба знати k точок попереду. Інтерполяційний многочлен Ньютона записується таким чином:}

(5.8)

_{Це теж поліном n – го порядку, якщо виконати відповідні множення, то скінчені різниці у виразі – це числові коефіцієнти, обчислені по заданих точках.}

_{Часто замість х вводять безрозмірну величину q, що показує, скільки міститься кроків від до заданої точки . Ця величина визначається таким чином:}

_.

_Тоді

(5.9)

_{Обидві приведені формули називаються першим інтерполяційним многочленом Ньютона для інтерполяції вперед.}

_{Д ля інтерполяції в правому кінці відрізка , коли для k останніх точок не можна обчислити потрібні скінчені різниці, використовують многочлен Ньютона, в якому скінчені різниці обчислюються справа наліво, тобто здійснюється інтерполяція назад. Такий многочлен називається другим інтерполяційним многочленом Ньютона для інтерполяції назад.}

В цьому випадку

_(5.10)

Похибку інтерполяції, як і для многочлена Лагранжа, можна оцінити так:

. (5.11)

_{Використовування скінчених різниць, що є своєрідними аналогами похідних неперервних функцій, допомагає знаходити похибку інтерполяції, використовуючи співвідношення:}

, , ,…, .

Тоді для отримання наближеного значення достатньо мати декілька (або навіть одну) додаткових точок , з використанням яких легко знайти максимальне значення скінченої різниці (n+1) – го порядку:

(5.12)

Аналогічно можна знайти похибку і в методі Лагранжа при рівномірному кроці.

Приклад. Задана таблиця значень функцыъ , необхідно знайти у(2,05). Використовуємо для інтерполяції тільки три перші точки, а решту – для оцінок похибки.

Отже, n+1=3, n=2

х	у	Δy	Δ²y	Δ³y
2,0	0,0540	-0,0100	0,0015	-0,0002
2,1	0.0440	-0,0085	0,0013	0
2,2	0.0355	-0,0072	0,0013	-0,0003
2,3	0.0283	-0,0057	0,0010	-0,0001
2,4	0.0224	-0,0049	0
2,5	0.0175	-0,0049
2,6	0.0136

_{Скористаємося першою інтерполяційною формулою Ньютона:}

_{Оцінимо похибку знайденого значення у. З таблиці знаходимо, що М3=0,001,}

_тоді

Формули Лагранжа, Ньютона і інші породжують один і той же многочлен. Різниця лише в алгоритмі їх побудови. Вибір способу інтерполяції визначається різними міркуваннями: точністю, часом обчислень, похибками округлення тощо.

Підвищення точності інтерполяції доцільно проводити за рахунок зменшення кроку і спеціального розташування вузлових точок . Підвищення степеня інтерполяційного многочлена також підвищує точність, проте не завжди (залежить від поведінки похідної . Тому на практиці прагнуть використовувати многочлени малого степеня (лінійний, квадратичний).