4. Граничные условия для напряжений.

Когда поле линий скольжения построено, необходимо задать граничные условия в напряжениях, чтобы найти напряжения внутри области.

Пусть имеется некоторый контур , на котором заданы нормальная и касательная составляющая напряжения , , причем . Если – угол между нормалью к контуру С и осью , то справедливы следующие соотношения:

(4.24)

Подставив в (4.24) соотношения (4.13), справедливые для пластической среды, получим

(4.25)

Если – уравнения контура , , – заданные на контуре напряжения, то на известны и , а значит и параметры , . В частности, если отрезок границы прямой и , на нем постоянны, то постоянны и , , , .

Однако следует заметить, что уравнения (4.25) неоднозначно определяют , :

. (4.26)

Наличие двух решений, удовлетворяющих условию текучести, определяется квадратичным характером последнего. Для выбора знака необходимы дополнительные условия, которые не имеют универсального характера и определяются в каждом частном случае из механической постановки задачи. Помощь в выборе может оказать нормальное напряжение возле контура (рис. 4.4.1. а), определяемое формулой

. (4.27)

Знак этого напряжения часто легко поддается определению.

Рис. 4.4.1. Нормальное напряжение возле контура в общем и частном случае.

В частности, если на контуре есть только нормальные напряжения, уравнения (4.26) упрощаются до вида

(4.28)

В простейшем, однако часто встречающемся случае свободной прямолинейной границы (выберем систему координат так, что эта граница задается как ) имеем на границе , , , откуда , , , , то есть вблизи свободной прямолинейной границы может быть только либо растяжение, либо сжатие вдоль нее (рис. 4.4.1. б).

5. Основные краевые задачи.

4.5.1. Задача Коши.

Основные краевые задачи, связанные с решением задачи жесткопластического деформирования при плоском деформированном состоянии можно разделить по способу задания условий на границах исследуемых областей.

Первая, наиболее важная – задача Коши – состоит в следующем.

В плоскости задается гладкая дуга , определяемая параметрическими уравнениями , нигде не совпадающая с линиями скольжения и пересекаемая каждой из них только один раз (например, внешняя граница тела). На задаются функции , , непрерывные вместе с первыми и вторыми производными. Требуется построить решение уравнений (4.14), принимающее на заданные значения.

Рис. 4.5.1. Задача Коши.

4.5.2. Свойства решений задачи Коши.

Решение задачи Коши существует и единственно в области, ограниченной дугой и отрезками и -линий, исходящих из ее концов, включая и сами эти отрезки (рис. 4.5.1. а). Решение непрерывно вместе с производными до второго порядка включительно. Решение в точке зависит только от данных на дуге , которая таким образом является для точки областью зависимости.

Если на кривой, содержащей дугу , изменить данные вне этой дуги, то и изменения решения произойдут только за пределами криволинейного треугольника . Отсюда следует, что вдоль линии скольжения, ограничивающей область, к решению в этой области можно присоединять снаружи любые отличные от него решения, то есть в соседних областях решения могут иметь разные аналитические выражения. Если изменить данные в некоторой точке , это окажет влияние лишь на решение в области, отсеченной от и -линиями, исходящими из (рис. 4.5.1. б).

Если производные начальных данных будут разрывными в некоторой точке , упомянутые выше результаты будут справедливы не во всем треугольнике , а только в треугольных подобластях, опирающихся соответственно на отрезки дуги и (рис. 4.5.1. в). Решение можно построить и в оставшейся за их пределами части треугольника , но вдоль линий скольжения, исходящих из , решение будет иметь разрывы производных. Эти разрывы распространяются только вдоль линий скольжения и не могут исчезнуть на них.

Из всего вышесказанного есть несколько простых следствий, важных с точки зрения практического использования.

Поле напряжений у границы, свободной от нагрузки, определяется только формой границы. Это справедливо постольку, поскольку на границе, откуда следует, что направление нормали к контуру является одним из главных направлений, и линии скольжения подходят к контуру под углом , что исключает совпадение контура где либо с характеристическим направлением и обеспечивает единственность решения задачи Коши.

В частности, у прямолинейной свободной границы всегда существует поле равномерного одноосного растяжения или сжатия величиной , параллельного границе. Эта область равномерного напряженного состояния представляет собой треугольник, основание которого – граница, а боковые стороны – прямолинейные линии скольжения, выходящие из ее концов (рис. 4.5.2. а).

У границы, представляющей собой дугу окружности, поле скольжения образовано логарифмическими спиралями

, (4.29)

где – полярные координаты с центром в центре окружности, которой принадлежит дуговая свободная граница, – радиус этой окружности. Логарифмические спирали – это линии, в каждой своей точке пересекающие луч, выходящий из центра окружности, под углом (рис. 4.5.2. б).

Рис. 4.5.2. Важные частные случаи задачи Коши и задача Римана.

Начало отсчета угла определяется таким образом, что в точке пересечения линий скольжения, ограничивающих область, опирающуюся на дугу. Напряженное состояние в этой области имеет вид

, (4.30)

который легко получить, решив с нулевыми граничными условиями на напряжения систему из уравнения равновесия и условия текучести в полярных координатах:

. (4.31)

4.5.3. Задача Римана.

Вторая задача – начальная характеристическая или задача Римана – отличается от задачи Коши тем, что здесь значения и задаются на двух отрезках и -линий, выходящих из одной точки. Эти значения не могут быть произвольными, поскольку в силу природы линий скольжения связаны соотношениями

вдоль -линии и вдоль -линии. (4.32)

Однако, эти граничные значения обычно получаются из решения задач в соседних областях и потому автоматически удовлетворяют данному условию. Решение краевой задачи определено в четырехугольнике (рис. 4.5.2. в).

Если же задать значения и на отрезке кривой, удовлетворяющей условиям задачи Коши, и на отрезке некоторой линии скольжения, имеющем с первым отрезком общий конец, получим смешанную задачу, решение которой определено в треугольнике .