3. Линеаризация, простые напряженные состояния.

4.3.1. Линеаризация уравнений в напряжениях.

Уравнения (4.14) можно привести к простому виду, в качестве неизвестных функций взяв параметры и . Для этой цели подставим в (4.14) равенства

, , (4.19)

затем второе уравнение умножим на и сложим с первым, после чего второе уравнение умножим на и сложим с первым. Первое и второе сложение дадут нам соответственно два уравнения:

. (4.20)

Эту систему можно привести к линейной системе путем перемены ролей зависимых и независимых переменных. Если и в рассматриваемой области якобиан преобразования не равен нулю , то, подставляя в (4.20) частные производные , , , и сокращая на , получаем каноническую линейную систему

. (4.21)

4.3.2. Простые напряженные состояния.

Полученная система (4.21) не эквивалентна исходной системе (4.14), так как теряет решения, соответствующие , однако эти потерянные решения, называемые интегралами плоской задачи, можно легко определить непосредственно. Действительно, при помощи (4.20) условие записывается в виде

, (4.22)

откуда вытекают три случая, для которых в некоторой области:

1. Равномерное напряженное состояние , для которого линии скольжения обоих семейств – прямые (рис. 4.3.1. а).

2. Простое напряженное состояние , для которого второе уравнение (4.20) удовлетворяется, а первое, поскольку , переписывается в виде

. (4.23)

Решения этой системы очевидны:

.

Таким образом, одно семейство линий скольжения – прямые линии, зависящие от параметров . Напряжения постоянны вдоль прямых. Второе семейство строится как семейство линий, ортогональных первым.

3. Простое напряженное состояние , аналогичное состоянию (2).

Равномерное напряженное состояние также является частным случаем простого напряженного состояния. В более общем случае прямолинейное семейство состоит из касательных к некоторой линии, называемой предельной кривой (рис. 4.3.1. б). Важным случаем является центрированное поле, где предельная кривая вырождается в точку (рис. 4.3.1. в). В этом случае прямолинейное семейство представляет собой пучок прямых линий, исходящих из одной точки, а второй семейство состоит из концентрических окружностей.

4.3.3. Теорема о простых напряженных состояниях.

Исходя из свойств линий скольжения, можно сформулировать следующую теорему, очень полезную для построения полей скольжения:

Теорема. В области, примыкающей к области равномерного напряженного состояния всегда осуществляется простое напряженное состояние.

Доказательство достаточно очевидно. Пусть в области имеется равномерное напряженное состояние (рис. 4.3.1. г), то есть . Отрезок линии скольжения, являющийся границей этой области – прямой, как все остальные отрезки в , и на нем также . Допустим, он является -линией. По свойству (5) в соседней области семейство -линий будет состоять из прямых отрезков равной длины, причем , так как каждая -линия, пересекающая границу и , несет на себе одно и тоже постоянное значение . То есть мы имеем в простое напряженное состояние.

Рис. 4.3.1. Простые напряженные состояния.

Области равномерного напряженного состояния можно соединять при помощи областей простого напряженного состояния (рис. 4.3.1. д).