2. Линии скольжения и их свойства.

4.2.1. Определение и уравнения линий скольжения.

Линии, в каждой своей точке касающиеся площадок максимального касательного напряжения, называются линиями скольжения. Именно вдоль линий скольжения образуются полосы Чернова–Людерса, что позволяет на многих материалах непосредственно наблюдать конфигурации полей скольжения. Линии скольжения, очевидно, образуют два ортогональных семейства, характеризующихся уравнениями

, , (4.15)

где , – некоторые параметры. Линии, соответствующие фиксированным значениям параметра , называются -линиями, и наоборот. Линии отклоняются на угол вправо от первого главного направления, а линии – влево. Направления и линий фиксируем так, чтобы они образовывали правую систему координат. При этом напряжение положительно. Отсчитываемый в положительном направлении от оси угол наклона касательной к -линии назовем (рис. 4.2.1. а), то есть . Семейства и линий задаются, соответственно, дифференциальными уравнениями

. (4.16)

Линии скольжения покрывают область ортогональной сеткой, и бесконечно малые элементы, на которые эта сетка делит область, испытывают одинаковое растяжение в направлении линий скольжения обоих семейств (рис. 4.2.1. б).

Рис. 4.2.1. Два семейства линий скольжения.

4.2.2. Линии скольжения как характеристики системы дифференциальных уравнений в напряжениях.

Пусть имеется некая линия , заданная уравнениями и вдоль нее известны значения искомых функций , . Будем искать , , принимающие вдоль эти заданные значения, то есть решим задачу Коши для уравнений (4.14).

Если – характеристическая линия, то решение задачи Коши невозможно, поскольку нельзя вдоль однозначно определить из дифференциальных уравнений первые производные от решения.

Перейдем от системы координат к системе , где отсчитывается вдоль касательной к в некоторой точке , а – вдоль нормали. Если и дифференцируемы, то вдоль кроме них известны их производные и . Уравнения равновесия (4.11) и пластичности (4.10), как и (4.14) при переходе от к не меняют своего вида. При этом угол , определяющий направление площадки скольжения в точке , здесь отсчитывается от оси .

Если (то есть не является линией скольжения), то, зная и на , можно из (4.14), записанного для , найти производные , и решить задачу Коши.

Если же – линия скольжения ( ), упомянутые производные нельзя определить из (4.14). В этом случае линия будет характеристической линией. Таким образом, характеристические лини совпадают с линиями скольжения, а значит, существует два семейства характеристических линий, то есть система (4.14) относится к гиперболическому типу.

Если координатные оси являются касательными к линиям скольжения, уравнения (4.14) приводятся к виду

, (4.17)

где частные производные берутся соответственно вдоль и линий. Это уравнения равновесия бесконечно малого элемента пластической среды, образованного сеткой линий скольжения. Такой элемент называют элементом скольжения.

Вдоль линий скольжения семейств и выполняются, соответственно, условия

. (4.18)

Параметр меняется при переходе от одной -линии к другой, но вдоль одной линии остается постоянным. То же справедливо относительно параметра и -линий. Таким образом, если нам известно поле линий скольжения и параметры и на границах, исходящие из которых линии скольжения покрывают всю интересующую нас область, то в каждой точке этой области известны величины , , а значит – , , .

4.2.3. Свойства линий скольжения.

Линии скольжения обладают рядом свойств, полезных для построения искомого поля и последующего поиска напряжений:

1. Вдоль линии скольжения давление меняется пропорционально углу линии скольжения с осью .

2. При переходе от одной -линии к другой вдоль какой-то -линии изменение угла и давления не зависит от выбора -линии. Аналогичное правило выполняется для перехода между -линий вдоль -линии.

3. Если известно в какой-то точке сетки скольжения, его можно вычислить всюду в поле.

4. Вдоль прямых отрезков линий скольжения величины , , , , , , постоянны. Если в некоторой области оба семейства линий скольжения прямолинейны, напряжения там распределены равномерно.

5. Если некоторый отрезок линии скольжения прямой, то все соответствующие отрезки линий его семейства, отсекаемые линиями другого семейства, тоже прямые.

6. Прямые отрезки, отсекаемые линиями скольжения другого семейства, имеют одинаковую длину.

7. Радиусы кривизны двух линий скольжения одного семейства в точках пересечения их линией другого семейства отличаются на длину отсекаемого ими отрезка на этой линии.

8. Если двигаться вдоль -линии в сторону вогнутости -линий, то каждая следующая -линия будет иметь радиус кривизны меньший, чем у предыдущей.

9. Если производные компонент напряжения испытывают разрывы при переходе через линию скольжения одного семейства, то кривизна линий второго семейства вдоль этой линии также разрывна.