- •Лекция 2
- •Точное решение
- •Лекция 3
- •Лекция 4
- •Лекция 5
- •2. Приближенные методы
- •2.1 Метод конечных разностей
- •Лекция 6
- •Лекция 7
- •Лекция 8
- •Лекция 9
- •2.2. Метод Бубнова-Галеркина
- •Лекция 10
- •Лекция 11
- •Лекция 12
- •2.3. Метод Ритца-Тимошенко
- •2.4. Метод наименьших квадратов
- •2.5. Метод коллокаций
- •2.6. Метод конечных элементов
- •Рекомендуемая литература Основная литература
Лекция 5
2. Приближенные методы
2.1 Метод конечных разностей
Очень часто точное решение в силу переменности поперечного сечения получить не представляется возможным. Рассмотрим один из наиболее употребительных приближенных методов – метод конечных разностей.
Область определения задачи разбивается на m равных участков с шагом h [2] (рис. 14), причем .
Рис.14. К понятию о конечных разностях
Первые производные в конечно-разностной форме имеют вид:
(2.1.1)
Вторая производная:
. (2.1.2)
Уравнение упругого равновесия (5) в конечно-разностной форме принимает вид:
. (2.1.3)
Алгоритм решения задачи в конечных разностях:
Дифференциальное уравнение в конечных разностях (2.1.3) записывается для всех внутренних точек стержня.
Учитываются геометрические и статические граничные условия.
Решается система алгебраических уравнений, в результате получается массив узловых перемещений.
Осуществляется переход от поля перемещений к усилиям.
Покажем на примерах процесс решения. Дифференциальное уравнение упругого равновесия (5) записывается в конечно-разностной форме
. (2.1.4)
В правой части введено обозначение
. (2.1.5)
Здесь
, (2.1.6)
где m – число участков (в нашем случае m=4), на которые разбивается область решения (длина стержня l). Конечноразностные уравнения (2.1.4) записываются для внутренних точек стержня. Для варианта А такими точками являются точки 2,3,4 (рис. 15).
Рис.15. Узловые точки для варианта граничных условий А
Система уравнений для внутренних точек запишется так:
(2.1.7)
Учет однородных геометрических граничных условий (u1=u5=0) приводит к системе трех алгебраических уравнений
(2.1.8)
решение которых удобно получать способом Крамера. Определители третьего порядка удобно получать путем разложения по элементам строки или столбца, имеющих нулевой элемент, как это показано для Δ (остальные определители находятся аналогично, звездочками отмечены элементы, по которым производится разложение).
Находим значения узловых перемещений, раскрывая и приводя их к размерности точного решения.
(2.1.9)
Следует помнить, что запись дифференциального уравнения в конечноразностной форме означает линейную аппроксимацию поля перемещений между узловыми точками. Переход от перемещений к усилиям осуществляется с помощью конечноразностного соотношения
. (2.1.10)
Так как функция перемещений в этом случае кусочно – линейная, то усилие, выражающееся через первую производную от перемещения, будет изображаться кусочно – постоянной функцией.
(2.1.11)
Результаты расчета представлены в таблице 4 (в скобках указаны значения точного решения) и на графиках (рис. 16, 17)
Таблица 4
|
0 |
0.25 |
0.5 |
0.75 |
1.0 |
|
0 (0) |
0.797 (0.797) |
1.125 (1.125) |
0.89 (0.891) |
0 (0) |
|
3.188 (4) |
1.312 (2.313) |
-0.94 (0.25) |
-3.56 (-2.188) |
- (-5) |
Рисунок 16. Изменение перемещения по длине стержня (решение МКР – вариант А)
Рис. 17. Изменение продольного усилия по длине стержня (решение МКР – вариант А)
Узловые значения перемещений совпадают со значениями, полученными в точном решении. Значения продольной силы значительно отличаются и по значениям, и по виду графика. Это объясняется тем, что принятые выражения для производных подразумевают линейную аппроксимацию поля перемещений в пределах шага разбиения, т. е. производные в этом случае постоянны. Очевидно, что при увеличении числа точек результаты будут ближе к точным.