Питання для самоперевірки.

1. Сформулювати означення n-вимірного проективного простору.

2. Як називаються елементи множини Р?

3. Як прочитати запис: ?

4. Що ,за означенням, породжують векторні простори ?

5. Як можна сформулювати другу властивість в означенні проективного простору?

6. Сформулювати властивості проективного простору?

7. Чи є паралельні прямі на проективній площині?

8. Яку точку породжує нульовий вектор?

9. Яке співвідношення між розмірністю проективного простору і векторного, який його породжує?

10 Що можна сказати про взаємне розміщення двох проективних площин, прямої і площини у просторі?

Тема 2: Репер на проективній площині. Координати точки.

Мета: Ввести поняття репера на проективній площині, прямій; обґрунтувати властивості проективних координат точок на прямій, площині; навчитися будувати точки на проективній прямій і площині відносно різних реперів (які містять або не містять невласні точки).

План

1. Репер на проективній площині, на проективній прямій. Властивості репера

2. Координати точки на проективній площині, на проективній прямій.

3. Умова належності трьох точок прямій на площині.

4. Проекція точки на сторони координатного трикутника.

Ключові слова: точки загального положення, упорядкована четвірка точок, репер, координатний трикутник, погоджені вектори, координати точки, умова належності трьох точок прямій, проекції точки на сторони координатного трикутника.

Репер на проективній площині

P₂ V₃^/

A, B, C, D  P₂

Означення: Упорядковану четвірку точок загального положення на проективній площині називають проективним репером R = (A,В,С, D)

інакше R = (A₁, A₂, A₃, E)

А₂ Одинична точка

E

A₁ A₃

вершини координатного координатний трикутник

трикутника

Нехай R = (A₁, A₂, A₃, E)

_{1 1} , _{2 2}, _{3 3},

Якщо ₁ + ₂ + ₃ = , то ₁, ₂, ₃ - погодженні

1. Теорема Для  R =( A₁, A₂, A₃, E),  _{1, 2, 3,}  ₁+ ₂+ ₃=

● A_{1 1} R P₂ V₃^/

A_{2 2}

A_{3 3}

E

₁, ₂, ₃,  V₃^/  ₁, ₂, ₃, – л.з.

= λ _{1 1}+ λ _{2 2}+ λ_{3 3}

позначимо

_{1 2 3}

, ₁ , ₂, ₃ – погоджені і визначають репер R●

Зауваження: Якщо μ = μ ₁+ μ ₂+ μ ₃

= ₁+ ₂+ ₃  , ₁, ₂, ₃ - погоджені

 безліч систем погоджених векторів відносно R.

2.Теорема Якщо кожна з систем векторів ₁, ₂, ₃, і ₁ , ₂, ₃, погоджена відносно R=(A₁,A₂, A₃, E,) то  λ0

таке, що _i= λ _і (i = 1,2,3) = λ

● За умовою A_{1 1} = λ_{1 1}

A_{2 2} = λ_{2 2}

A_{3 3} = λ_{3 3}

E = λ_n

єдиність розкладу!

ОТЖЕ ●

Аналогічно. Репер на прямій--- Три точки

A_{1 1} A_{2 2} E

Якщо , то -погоджені

КООРДИНАТИ ТОЧКИ НА ПРОЕКТИВНІЙ ПЛОЩИНІ

Р ₂ V₃΄

R =(A₁,A₂,A₃,E) P₂ – базис V₃΄

X P₂ V₃΄

(х₁, х₂, х₃) координати в базисі

(х₁, х₂, х₃) координати точки Х в репері R

Означення Координати точки - це координати вектора, який її породжує.