Определить точки разрыва функции , если они существуют, построить рисунки

6.25. , 6.26. .

Глава 7 Производные, дифференциалы функций

§ 7.1. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

Определение 1. Производной (первой производной) функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует и конечен.

Если считать приращением функции , соответствующим приращению аргумента , то имеет место равенство . В соответствии с определением производной

,

здесь обозначение производной (первой производной), позднее будут введены другие обозначения производных.

Определение 2. Функция называется дифференцируемой в точке представлено в виде , причем не зависит от , а бесконечно малая при более высокого порядка малости по сравнению с , то есть .

Рассмотрим, чему равняется , для чего поделим полученное равенство на и перейдем к пределу при . Очевидно

.

Итак,

.

Поскольку бесконечно малая более высокого порядка малости, чем , при малых значениях второе слагаемое правой части формулы для приращения значительно меньше по сравнению с первым, то есть при малых значениях приближенно можно считать

, или , где - дифференциал функции.

Таким образом, дифференциал функции является основной частью ее приращения. Для удобства записи дифференциала функции вводят обозначение , тогда , что позволяет ввести еще одно обозначение производной .

Геометрический смысл производной

Рисунок 34.

Возьмем две точки кривой : и , соединим их хордой (смотри рисунок). Пусть - угол между хордой и осью , тогда . Уменьшим вдвое, при этом точка , смещаясь вдоль кривой, займет положение . Обозначим угол между хордой и осью абсцисс . Для рассматриваемого случая , что видно из рисунка. Если далее уменьшать приращение аргумента , точка еще более приближается к точке , изменяется угол хорды, соединяющей точки, с осью . Ясно, что при точки и в конечном итоге сливаются, хорда становится касательной к кривой , а угол наклона хорды становится углом касательной к кривой с осью . Таким образом, из следует .

Итак, геометрический смысл производной функции в заданной точке – это тангенс угла между касательной к кривой в указанной точке и осью абсцисс.

Физический (механический) смысл производной

Из школьного курса физики известно, что средняя скорость движения равна отношению пройденного пути ко времени его прохождения то есть

, где пройденный путь, время его прохождения. Известно также, что средняя скорость практически не дает информации о движении объекта. В самом деле, если человек, желающий сесть в поезд на станции, находящейся посредине между начальным и конечным пунктами движения, знает, что поезд проходит весь путь, скажем за 16 часов, то он придет на станцию через восемь часов после начала движения поезда из начального пункта и на поезд может опоздать. Дело в том, что поезд практически никогда не идет со средней скоростью. На станциях его скорость равна нулю, затем он набирает скорость, некоторое время идет с постоянной скоростью, затем начинает скорость уменьшать при подходе к очередной станции и так далее. Если на первом участке пути скорость поезда выше, чем на втором, и остановок меньше, то, первую половину пути он пройдет быстрее, чем вторую. Знание средней скорости поезда нашего пассажира подведет. Какая же скорость дает полную информацию о движении объекта? Это мгновенная скорость движения, или скорость в данный момент времени. Именно она равняется нулю во время пребывания поезда на станциях, она возрастает при отходе его со станций, она же уменьшается при подходе к станциям. Как подсчитать мгновенную скорость движения? Математика дает ответ на этот вопрос. Нужно подсчитать предел средней скорости при . Итак,

.

Следовательно, скорость движения в каждый момент времени равна производной от пути по времени. В этом заключается физический смысл производной. Если абстрагироваться от реального движения, то можно утверждать, что физический смысл производной – это скорость изменения функции.

Теорема. Дифференцируемая на некотором интервале функция непрерывна в нем.

Доказательство. Поскольку функция дифференцируема на некотором интервале, ее производная, а следовательно, имеет во всех его точках конечное значение, но это возможно только при , в противном случае . Таким образом, , что совпадает с одним из определений непрерывности функции.