2.3. Однополостный гиперболоид

О пределение. О днополостным гиперболоидом называется поверхность, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид

.

Исследуем форму поверхности методом сечений.

1. (плоскость ): - гипербола с действительной осью .

2. (плоскость ): - гипербола с действительной осью .

3. (плоскость ): - эллипс.

Если (плоскость, параллельная плоскости ) или - эллипсы. При увеличении полуоси эллипсов возрастают.

Если , то поверхность называется однополосным гиперболоидом вращения. Ее можно получить, вращая гиперболу вокруг оси .

2.4. Двуполостный гиперболоид

Определение. Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

.

Исследуем форму поверхности методом сечений.

1. (плоскость ): - гипербола с действительной осью .

2. (плоскость ): - гипербола с действительной осью .

3. (плоскость, параллельная плоскости ): .

Если , то поверхность не пересекается с плоскостью.

Если , то - эллипсы.

При увеличении полуоси эллипсов возрастают.

Если , то получаем двуполостный гиперболоид вращения

.

Его можно получить, вращая гиперболу вокруг оси .

2.5. Эллиптический параболоид

О пределение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, определяемая в декартовых координатах уравнением

( ).

Исследуем форму методом сечений.

1. (плоскость ): или - парабола с осью .

2. (плоскость ): или - парабола с осью .

3. (плоскость, параллельная плоскости ): ( ).

Если , то точек пересечения нет.

Если , то - эллипс.

Если , то поверхность называется параболоидом вращения. Ее можно получить, вращая параболу вокруг оси .

2.6. Гиперболический параболоид

Определение. Гиперболическим параболоидом называется поверхность, определяемая в декартовой системе координат уравнением

( ).

Исследуем форму методом сечений.

1. (плоскость ): или парабола ( ).

2. (плоскость ): или (парабола , ).

3. (плоскость параллельная плоскости ) .

Если , то получаем гиперболы с вещественной осью, параллельной ( и ).

Если , то ось гипербол параллельна оси .

2.7. Конус второго порядка

О пределение. Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид

.

Исследуем форму методом сечений.

1. (плоскость ): , - пара прямых, проходящих через начало координат.

2. (плоскость ): , - пара прямых, проходящих через начало координат.

3. (плоскость параллельная плоскости ) (эллипсы).

3. Цилиндрические поверхности

3.1. Основные понятия

Определение. Поверхность называется цилиндрической, если она может быть образована перемещением прямой параллельно самой себе вдоль некоторой линии .

- образующая цилиндрической поверхности, а - направляющая.

Пусть кривая в плоскости задана уравнением

.

П окажем, что уравнение в пространстве определяет цилиндрическую поверхность с образующей параллельной оси и направляющей . Рассмотрим соответствующую цилиндрическую поверхность .

Возьмём на кривой произвольную точку и восстановим из неё перпендикуляр к плоскости , и на нём возьмём точку .

Пусть , тогда и её координаты удовлетворяют уравнению :

.

Так как не содержит , то ему удовлетворяют и координаты точки .

Координаты точек не удовлетворяют уравнению , так как эти точки проектируются на плоскость вне кривой .

Рассмотрим цилиндры второго порядка, т.е. цилиндры, направляющими которых служат кривые второго порядка.