1.3. Функции любого числа переменных
Все сказанное для функции двух переменных легко распространяется на случай функции трех и большего числа переменных.
Если каждой упорядоченной тройке чисел
по некоторому закону ставится в
соответствие определенное число
,
то
называется функцией трех переменных
.
Для функции трех переменных упорядоченную
тройку чисел
можно рассматривать как координаты
точки
в трехмерном пространстве, а саму функцию
,
как функцию точки в трехмерном пространстве
.
Областью определения теперь является
трехмерная область
в пространстве аргументов
.
- окрестностью точки
является внутренность шара с центром
в точке
и радиуса
:
.
Непосредственного геометрического представления для функции трех (и большего числа) переменных нет.
Определение. Множество точек, в
которых функция трех переменных
сохраняет постоянное значение, называется
поверхностью уровня:
.
Пример 1.
;
– плоскости параллельные друг другу.
Пример 2.
;
- сферы с центром в начале координат.
Таким образом, поверхности уровня для функции трех переменных являются поверхностями в трехмерном пространстве и их можно изобразить графически.
Сами функции нельзя.
Задания для самостоятельного решения
Найти области определения функций:
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
9.
. 10.
.
11.
. 12.
.
13.
. 14.
.
15.
. 16.
.
17.
. 18.
.
19.
. 20.
.
Построить линии уровня функций:
21.
. 22.
.
23.
. 24.
.
25.
. 26.
.
27.
. 28.
.
29.
. 30.
.
31.
. 32.
.
33.
. 34.
.
35.
. 36.
.
37.
. 38.
.
39.
. 40.
.
2. Поверхности второго порядка
2.1. Основные понятия
Общий вид уравнения поверхности в пространстве:
или
(в декартовой системе координат).
Определение. Поверхностями второго порядка называются такие поверхности, уравнения которых в декартовой системе координат являются уравнениями второй степени относительно , т.е. имеют вид
.
Это уравнение может определять сферу, эллипсоид, однополостный или двуполостный гиперболоид, эллиптический или гиперболический параболоид, цилиндрическую или коническую поверхность второго порядка. Оно может также определять совокупность двух плоскостей, точку, прямую или даже не иметь геометрического смысла (определять «мнимую» поверхность).
При
общее уравнение принимает вид
.
В этом случае уравнение легко упрощается с помощью параллельного переноса осей координат, что позволяет сразу установить его геометрический смысл.
Примером поверхностей второго порядка является сфера:
или
.
2.2. Эллипсоид
Определение. Эллипсоидом называется поверхность, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид
.
Исследуем форму этой поверхности методом сечений.
1.
(плоскость
):
(эллипс).
2.
(плоскость
):
(эллипс).
3.
(плоскость
):
(эллипс).
Плоскость (параллельна плоскости )
.
Если
,
то точек пересечения поверхности и
плоскости нет.
Если
,
то в сечениях получаются эллипсы:
.
Если
,
то полуоси эллипса
и
имеют наибольшее значение
и
.
Если
,
то эллипсоид
получен вращением
эллипса
вокруг оси
.
Если
,
то получаем сферу.