Угол между прямыми на плоскости

Определение. Углом между прямыми называется наименьший из двух смежных углов, образованных этими прямыми.

Для решения вопроса о нахождении угла между прямыми достаточно заменить прямые их направляющими векторами и находить острый угол между векторами.

Пусть прямые ℓ₁ и ℓ₂ заданы общими уравнениями в прямоугольной декартовой системе координат О :

ℓ_1: = 0,

ℓ_2: = 0.

Направляющие векторы этих прямых имеют координаты ₁(В₁, – А₁) и ₂(В₂, – А₂). Пусть угол между прямыми равен . Тогда

cos =

или

cos = . (7)

При решении задач часто сталкиваемся с нахождением угла между прямыми, когда прямые ℓ₁ и ℓ₂ задаются уравнениями с угловым коэффициентом (не забываем, что прямые ℓ₁ и ℓ₂ не параллельны оси Оу):

ℓ_1: ,

ℓ_2: .

Если переписать эти уравнения в общем виде, то получим

ℓ_1: = 0,

ℓ_2: = 0.

Соответственно, их направляющие векторы ₁(1, k₁) и ₂(1, k₂), и формула (7) принимает вид:

cos = .

Более интересна формула для угла между прямыми ℓ₁ и ℓ₂ :

= .

Действительно, , (см. рисунок). Тогда один из углов между прямыми ℓ₁ и ℓ₂ :  = | |. Так как

= | | = | |,

то

= .

Замечание. Если ℓ₁ ℓ₂, то – не существует и = –1.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Пусть прямые ℓ₁ и ℓ₂ заданы общими уравнениями в О :

ℓ_1: = 0,

ℓ_2: = 0.

Вопрос о взаимном расположении двух прямых можно решить алгебраическим путем, а именно, исследуя решение системы линейных уравнений

Как известно, система имеет единственное решение только в единственно случае, когда коэффициенты при неизвестных не пропорциональны

. Следовательно,

1. ℓ₁  ℓ₂    ℓ₁  ℓ₂  .

2. ℓ₁||ℓ₂  ℓ₁  ℓ₂  (  ).

3. ℓ₁ = ℓ₂  = ( прямые совпадают).

Расстояние от точки до прямой

Пусть прямая ℓ задана общим уравнением в О :

ℓ: = 0.

Нормальный вектор прямой имеет координаты: . Выберем произвольно точку М₀( ) и найдем расстояние от точки М₀ до прямой ℓ.

Из точки М₀ опустим перпендикуляр на прямую ℓ и обозначим основание перпендикуляра М₁( ). Так как М₁  ℓ, то = 0 и

С = – ( ). (8)

Искомое расстояние равно |М₁М₀|. С другой стороны || и, следовательно, угол  между ними равен или 0, или .

Поэтому:

( , ) = | | | |cos =  | | | | =  | | .

Запишем полученное равенство в координатной форме.

Имеем:

( .

Поэтому, учитывая (8) получим:

( , ) = = = .

Учитывая, что скалярное произведение векторов может быть отрицательным, будем рассматривать его по абсолютной величине и находим

| | = | |,

|М₁М₀| = . (9)

Знак трехчлена Ах + Ву + С

Пусть прямая ℓ задана общим уравнением в О :

ℓ: = 0.

Нормальный вектор прямой имеет координаты: . От произвольной точки прямой ℓ откладываем представитель вектора .

Как известно прямая ℓ разбивает плоскость на две открытые полуплоскости, которые обозначим  и , причем полуплоскость  содержит отрезок .

Тогда, как нетрудно заметить, если точка М( ) расположена в полуплоскости , то угол между векторами и будет острый. Если точка М расположена в полуплоскости , то угол между векторами и будет тупой. Рассматривая скалярные произведения этих векторов, получим:

1. Если точка М расположена в полуплоскости , то ( , ) > 0.

2. Если точка М расположена в полуплоскости , то ( , ) < 0.

Записывая 1 и 2 в координатной форме, получим:

М    > 0,

М    < 0.

Учитывая, что точка  ℓ, (см (8)) получим:

М    > 0, (10)

М    < 0. (11)

Таким образом, строгие неравенства (10), (11) являются уравнениями открытых полуплоскостей. Если неравенства нестрогие, т.е.

≥ 0, (12)

 0. (13),

то они являются уравнениями полуплоскостей (вместе с граничной прямой ℓ).

Пример. В прямоугольной декартовой системе координат на плоскости заданы точки: А(2; −1), В(−1; 3), С(4; −5).

1) Составить уравнения прямой АВ в канонической, параметрической и общей формах. Определить координаты ее нормального вектора.

2) Определить угловой коэффициент прямой (АС) и отрезки, отсекаемые ею на осях координат.

3) Найти косинус угла между прямыми (АВ) и (АС).

4) Найти длину высоты треугольника АВС, проведенной из вершины С и составить уравнение прямой, содержащей этот отрезок.

Решение. 1. Прямую (АВ) можно задать точкой А(2; −1) и вектором , тогда каноническое и параметрическое задания данной прямой будут выглядеть следующим образом:

(1)

и

где R. (2)

Из канонического уравнения (1) равносильными переходами получим ее общее уравнение:

,

. (3)

Из уравнения (3) найдем координаты нормального вектора этой прямой: .

2. Аналогично пункту (1) можно получить общее уравнение прямой (АС): 2x + y − 3 = 0.

Откуда

y = −2x + 3.

Следовательно, угловой коэффициент этой прямой k = − 2.

Уравнение прямой (АС) запишем в виде: 2x + y = 3 и, разделив обе части уравнения на 3, получим

.

Мы получили уравнение прямой в отрезках. Отсюда находим точки пересечения прямой с осями координат: , B(0;3)

3. Для нахождения косинуса угла между прямыми (АВ) и (АС) используем следующую формулу:

,

где –угл между прямыми, k₁, k₂ – угловые коэффициенты данных прямых. Во второй части задания мы нашли k₂ = −2.

Общее уравнение прямой (АВ) получено в первой части задания:

4x + 3y − 5 = 0, откуда и k₁= .

Следовательно,

.

Итак, .

4 .

Длину высоты можно рассматривать как расстояние от точки С(4;−5).до прямой (АВ): .

Т

H

аким образом, . Формула расстояния от точки до прямой известна: .

Следовательно, .

Итак, |CH|=0,8.

Прямую (CH) можно задать точкой С(4; -5) и нормальным вектором . Поэтому −3 ∙(x − 4) + 4 ∙(y +5)=0,

3x - 4y – 32 = 0 – уравнение прямой (CH).