§ 2. Прямая на плоскости Различные виды уравнений прямой на плоскости

Составим уравнение прямой , проходящей через две различные точки М₁(х_1; у₁) и М₂ (х_2; у₂).

Пусть М(х; у) произвольная точка прямой . Точка М(х; у) лежит на прямой  тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарные. Поэтому справедливо равенство

.

Здесь  – некоторое число. Из векторного равенства следует равенство одноименных координат: и .

Из последнего равенства получим:

 .

Это уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки.

Любую прямую на плоскости можно однозначно задать точкой и не нулевым вектором, параллельным прямой. Этот вектор называется направляющим вектором прямой.

Пусть в Оху прямая ℓ задана точкой М₀ (х₀; у₀) и направляющим вектором (, ). Пусть М(х; у) – произвольная точка прямой.

Нетрудно заметить, что верно следующее утверждение:

Мℓ  || . (1)

Так как

||  = t , где t – действительное число,

то получаем уравнения прямой, которые называем параметрическими уравнениями

ℓ: (2)

Так как

||  ,

то получим уравнение прямой, которое называем каноническим уравнением

ℓ: . (3)

Замечание. В уравнении (3) допускается запись нуля в знаменателе, так как в этом случае запись считается формальной. Эта запись подразумевает равенство нулю числителя.

Уравнение (3), при условии   0, можно переписать в виде

=

и, обозначив отношение = , получим уравнение с угловым коэффициентом

, (4)

где – угловой коэффициент, .

Так как   0, то уравнение (4) имеют только прямые непараллельные оси Оу.

Замечание. Еще в школьном курсе, рассматривая уравнение прямой (4) в прямоугольно декартовой системе координат, было отмечено, что угловой коэффициент к = tg , где  – ориентированный угол между прямой и осью абсцисс.

Уравнение (3) можно привести к виду = ( ) . Раскрывая скобки, получим уравнение вида

х – у + (у₀ - х₀) = 0

или

= 0, (5)

где А = , В = –  , А² + В²  0, С = у₀ - х₀ .

Итак, мы показали, что любая прямая имеет уравнение вида (5). Покажем, что и любое уравнение вида (5), при условии А² + В²  0 задает некоторую прямую. Действительно, при наших ограничениях уравнение (5) имеет решение. Пусть это будет пара (х₀; у₀). Тогда получим:

= 0,

= 0.

Из этих равенств получаем:

( ) = 0.

От этого уравнения легко переходим к уравнению вида (3):

,

которое определяет нам прямую, заданную точкой М₀ (х₀, у₀) и направляющим вектором ( ).

Следовательно, мы показали, что уравнение (5) является уравнением прямой, которое называют общим уравнением. При этом вектор ( ) является направляющим вектором прямой (5).

Уравнение прямой, заданной точкой и нормальным вектором

Определение. Ненулевой вектор, перпендикулярный прямой называется нормальным вектором этой прямой.

Прямую на плоскости в О можно однозначно задавать точкой и нормальным вектором. Пусть прямая ℓ задана точкой М₀(х₀, у₀) и нормальным вектором .

Тогда выполняется следующее утверждение:

Мℓ   .

Так как

  ,

то получим искомое уравнение прямой ℓ:

. (6)

Замечание. Если раскрыть скобки в уравнении (6), то получим общее уравнение прямой (5). Следовательно, если прямая задана общим уравнением (5) в О , то из уравнения находим нормальный вектор к прямой: .