Применив необходимое условие экстремума к функции k переменных (8.16), получим следующую систему уравнений:

a – 2bq₁ – bq₂ - … - bq_i - … - bq_k - MC(Q) = 0 (8.17.1)

a – bq₁ – 2bq₂ - … - bq_i - … - bq_k - MC(Q) = 0 (8.17.2)

… … …

a – bq₁ – bq₂ - … - 2bq_i - … - bq_k - MC (Q) = 0 (8.17.i )

… … …

a – bq₁ – bq₂ - … - bq_i - … - 2bq_k - MC (Q) = 0 (8.17.k)

В результате несложных преобразований уравнений системы (8.17.1) - (8.17.k), имеем:

… … …

… … …

И, наконец, последовательное вычитание из каждого предыдущего уравнения последующего позволяет получить соотношение:

q₁ = q₂ = … = q_i = … = q_k , (8.19)

б лагодаря чему легко определить объем одной из партий. Обозначим объем одной партии через q_i ( i = 2, … , k). Сделав замену переменных в любом из уравнений (8.18.1) – (8.18.k) с учетом (8.19), находим оптимальный объем партии, обеспечивающий фирме максимальную прибыль:

Пример 8.1. Допустим, монополист делит всю продукцию на три партии: k = 3. Функция спроса на продукцию фирмы - монополиста задана уравнением P = 100 - Q, где Q = (q₁ + q₂ + q₃ ). Функция совокупных издержек фирмы TC(Q) = 0,1Q² + 8Q.

Определите:

1. объем каждой партии и цены продукции для каждой партии, при которых прибыль

фирмы максимальна;

2. совокупную прибыль фирмы в условиях ценовой дискриминации;

3. какую долю прибыли фирмы составляет излишек потребителя ?

Решение. Графическая иллюстрация решения данного примера приведена на рисунке 8.13.

1) Для определения объема партий учтем соотношение (8.19) и заданное число партий. Тогда Q = 3q_i . МС = 0,2Q + 8 = 0,2(3q_i ) + 8 = 0,6q_i + 8. Подставляя полученное выражение МС в формулу (8.20), находим, что

И следовательно, q_i = 20. Зная оптимальный объем партии, легко найти цену для каждого блока продукции. Согласно (8.15), р₁ = 100 – 20 = 80, р₂ = (100 – 20) - 20 = 60 и

Р₃ = (100 – 20 - 20) - 20 = 40.

2) Прибыль фирмы равна суммарной выручке от реализации трех партий товара за вычетом совокупных затрат на производство.

П = TR(q₁) + TR(q₂) + TR(q₃) - TC(q₁ + q₂ + q₃ ) = 8020 + 6020 + 4020 - 0,1(60)² – 860 =

18020 – 360 – 480 = 2760.

Излишек потребителя, превращаемый фирмой в прибыль равен сумме площадей прямоугольников А, В и С. Оценим его величину. Из условия конкурентного ценообразования находим, что p ^с = 100 – Q = 0,2Q + 8 = МС. Тогда 1,2Q = 92 и Qc  76,7, а p ^с  100 – 76,6 = 23,4. Следовательно, сумма площадей прямоугольников А + В + С = (80 – 23,4)20 + (60 – 23,4)20 + (40 – 23,4)20 = 1132 + 732 + 332 = 2196. Отсюда получаем оценку доли излишка потребителя в суммарной прибыли фирмы, равной 2760:

(А + В + С)/ П = 2196 / 2760  0,796.

Ценовая дискриминация в форме блочной схемы ценообразования часто используется для регулирования цен в отраслях естественной монополии. Покажем на условном примере, что разрешение дискриминации в условиях естественной монополии позволяет производителю получать неотрицательную прибыль и повысить общественное благосостояние.

Учебный пример 1. Дискриминация как способ повышения экономической эффективности естественной монополии⁸.

Рассмотрим естественную монополию. На рисунке 8.14.1 изображены кривые долгосрочных средних (LAC) и предельных (LMC) издержек естественной монополии. Они убывают с ростом объема производства. Если фирма установит цену на уровне p^с, соответствующую общественно оптимальному объему производства q^c, то она будет нести убытки, величина которых соответствует площади светло-серого прямоугольника С на рисунке 8.14.1. При повышении цены до уровня средних издержек р₁ фирма получит нулевую экономическую прибыль, но объем производимой продукции при этом сократится до q₁. Чтобы увеличить объем выпуска до общественно оптимального применим ценовую дискриминацию второго рода. Предложим покупателям ценовую политику, при которой на большую партию товара предоставляются скидки. Производитель понимает, что в этом случае покупатели сами разделятся, по крайней мере, на три группы: на розничных, мелко оптовых и крупно оптовых. Для каждой из этих групп покупателей производитель должен определить размер партии товара и цену, то есть применить блочную схему ценообразования.

LAC 1) LAC 2)

М

p^m LMC

А

LMC p₁

В

p₁

С

p₂

p^c p^c

q^m MR q₁ q^c q₁ q₂ q^c

Рис. 8.14. Применение блочной схемы ценообразования

в условиях естественной монополии

На рисунке 8.14.2 отражены результаты выбранной производителем стратегии ценовой дискриминации. Согласно этой стратегии отдельные, или розничные, покупатели будут платить самую высокую цену р₁, мелкооптовые покупатели будут платить более низкую цену р₂ и крупно оптовые покупатели будут платить цену p^c, равную предельным

издержкам LMC. Объем покупок розничных покупателей равен q₁, мелкооптовых покупателей – (q₂ - q₁) , крупно оптовых покупателей – (q^с - q₂). Так как общий выпуск продукции равен q^с, средние издержки производства LАС будут равны р₂ для любого объема производства. Это означает, что предприятие получит положительную прибыль на сделках с розничными покупателями, равную площади прямоугольника А, закрашенного серым цветом, нулевую прибыль от сделок с мелкооптовыми покупателями и будет нести убытки от продажи продукции крупно оптовыми клиентами, равные площади серого прямоугольника В. Если площадь прямоугольника А будет равной равна площади прямоугольника В, то предприятие получит нулевую прибыль при объеме выпуска равном общественно оптимальному. Если площадь прямоугольника А будет больше, чем площадь прямоугольника В, то предприятие получит положительную прибыль.

Таким образом, мы показали, что для некоторых экономических ситуаций стратегия ценовой дискриминации может быть общественно полезной. Если к тому же принять во внимание, что отрасли естественной монополии – это, как правило, отрасли общественного сектора, производящие жизненно необходимые продукты, блага и услуги, то можно сказать, что такая стратегия может быть общественно необходимой.

Учебный пример 2. Блочное ценообразование на услуги Московского метрополитена.

Согласно Постановлению Правительства г. Москвы от 13.08.02 г., с 1 октября 2002 года установлены следующие тарифы на проездные билеты с различными лимитами поездок на проезд в метрополитене.

Количество поездок, не более Тариф (руб.)

60 240

20 100

10 50

5 30

2 14

1 7

Кроме того, проездной билет на календарный месяц с количеством поездок не более

70 составляют 250 руб.

Приведенные в постановлении тарифы можно рассматривать как результат определенной схемы блочного ценообразования. Для этого обозначим через Тк – тариф для числа поездок не более к и предположим, что каждый последующий из приведенных тарифов образуется на основании предыдущих согласно процедуре, отраженной на рисунке 8.15. Поясним данную процедуру. В каждой клеточке после столбца со знаком “=” приведено значение стоимости одной поездки. Для тарифа Т₁ стоимость одной поездки совпадает с величиной тарифа. Для тарифа Т₂ стоимость первой поездки равняется 7руб., согласно Т₁, а стоимость второй поездки определяется как разность

Т₂ – Т₁ и равняется 7руб. (14 - 7 = 7).

Для тарифа Т₅: стоимость первых двух поездок равняется Т₂ = 14 руб., стоимость следующих трех равна разности Т₅ – Т₂ = 30 – 14 = 16 руб., а средняя стоимость каждой из трех поездок после первых двух равняется 16/3 руб.

Т1	7	=	7
Т2	14	=	7	7
Т5	30	=	7	7	16/3		16/3	16/3
Т10	50	=	7	7	16/3		16/3	16/3	4		4	4	4	4
Т20	100	=	7	7	16/3		16/3	16/3	4		4	4	4	4	5		…	5
Т60	240	=	7	7	16/3		16/3	16/3	4		4	4	4	4	5		…	5	3,5		…	3,5
			14			16				20						50				140

Рис. 8.15. Представление тарифов на проездные билеты

в виде разных цен для различных «партий» поездок

Для тарифа Т₁₀: стоимость первых двух поездок равняется 14 руб., стоимость следующих трех равняется 16 руб., следовательно, суммарная стоимость следующих пяти поездок составит 20 руб. Тогда средняя стоимость одной из последних пяти поездок будет равной 4 руб. Для тарифа Т₂₀ суммарная стоимость дополнительных десяти поездок равняется 50 руб., а средняя стоимость одной дополнительной поездки – 5 руб. И наконец, для тарифа Т₆₀ суммарная стоимость дополнительных сорока поездок равняется 140 руб., а средняя стоимость одной из этих поездок – 3,5 руб.

Таким образом, мы получили следующую шкалу цен:

Поездки Цена одной поездки

первые две 7 руб.

следующие три 5,3 (16/3) руб.

следующие пять 4 руб.

следующие десять 5 руб.

следующие сорок 3,5 руб.

Если добавить к рассмотренным тарифам тариф на проездной билет на календарный месяц Т₇₀ = 250, то получим, что для следующих десяти поездок цена одной поездки равняется 1 руб.

На рисунке 8.16 представлена графически схема блочного ценообразования, соответствующая данной шкале цен.

На рисунке 8.16 наглядно прослеживается зависимость изменения цены проезда от числа дополнительных поездок: стоимость проезда для каждого последующего дополнительного числа поездок уменьшается. Исключение составляет лишь переход от 10 до 20 поездок.

Проведем дополнительные расчеты и оценим среднюю стоимость поездки для каждого тарифа. В таблице 8.1 приведены результаты данных расчетов.

Таблица 8.1

Вид тарифа	Т1	Т2	Т5	Т10	Т20	Т60	Т70
Средняя цена поездки	7	7	6	5	5	4	3,6

Сравнение изменения средней стоимости проезда в зависимости от общего числа поездок (данные таблицы 1) с изменением средней стоимости дополнительной поездки

(данные на рис. 8.15 и 8.16) показывает, что представление тарифов в виде шкалы цен позволяет увидеть в полном объеме скидки, которые имеют пассажиры от увеличения числа поездок.

Можно продолжить анализ и представить утвержденные тарифы как двухставочные.

Например, назначить плату за доступ к пользованию услугами метрополитена равной 4 руб. (А = 4) и рассчитать соответствующие цены поездки для каждого «блока поездок» или установить цену первой поездки на уровне близком к предельным издержкам, например р = 2, найти А и определить цены поездки для всех последующих блоков.