35. Напишите трёхмерное уравнение турбулентной диффузии в декартовых координатах (Ур-е Маккавеева).

Декартова система координат (трехмерное пространство):

полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии:

, (27)

где с – концентрация загрязняющих веществ мг/дм³, t – время, с; V_x, V_y, V_z – компоненты скорости течения относительно составляющих координат (х – продольная, у – от поверхности ко дну, z – по ширине потока); D – коэффициент турбулентной диффузии (м²/с); F(c) – функция неконсервативности загрязняющего вещества.

Это уравнение существенно упрощается при решении задачи в какой-либо одной плоскости. Например, для решения плоской задачи распространения примесей по длине реки используется уравнение:

, (28)

Начальные граничные условия предполагаются, что спуск сточных вод принимается стационарным для дс/дt=0, а ширина реки гораздо больше, чем глубина.

Обмен веществ через граничащую поверхность минимален, а ложе загрязнения водоема непроницаемо для загрязняющего вещества, то есть сохраняется уравнение баланса. Уравнение турбулентной диффузии (4.55) можно записать в форме конечных разностей: дифференциалы дс, дх и дz заменяются конечными приращениями Δс, Δх и Δz. Тогда данное уравнение приобретает следующий вид:

. (29)

Расчет распределения концентраций по ширине и длине водотока ведется разбиением расчетной области потока на расчетные прямоугольные клетки или элементы. По оси Х таких элементов выделяется k, по оси Z – m. Каждому элементу присваиваются индексы в соответствии с осями координат. Увеличение индекса на единицу показывает переход от рассматриваемого элемента к соседнему. Изменениям концентраций в каждом элементе присваиваются аналогичные индексы (рис. 2).

Рис. 2. Схема для расчета концентрации на основе уравнения турбулентной диффузии

Концентрации загрязняющих веществ по длине и ширине потока в плоской задаче рассчитываются по формуле:

. (30)

Значения ΔХ и ΔZ связаны следующей зависимостью:

. (31)

При достижении загрязняющим веществом граничных поверхностей (берегов или урезов рек) необходимо учитывать условия резких изменений скоростей взаимодействующих потоков и, следовательно, распределение поля концентраций. Это условие в конечных разностях можно записать в виде:

. (32)

Исходя из условий задачи (рис. 2), поле концентраций и расчетную сетку можно экстраполировать за границы поверхности. При этом экстраполяционное значение концентрации С_{к экстр} принимают равным С_k1.

В месте впадения загрязняющего притока (сброса сточных вод) обозначается начальный створ, от которого ниже по течению схематизируется и делится на расчетные элементы поток водоприемника. Условная площадь поперечного сечения притока в месте его впадения рассчитывается:

q_ст/V_ср (33)

Определение ширины загрязнения струи потока в нулевом (начальном) створе b проводят по формуле:

. (34)

Исходя из значения b, назначают ширину расчетного элемента ΔZ при береговом сбросе сточных вод:

. (35)

В первом приближении необходимо выполнить условие ΔZ ≤ 1/10 В. Элементы, соответствующие водотоку со сточными водами, заполняются значениями концентраций.