1. Работа тока (вдоль произвольного контура, мощность и удельная мощность тока)
По
определению (
),
плотность тока обеспечивает перенос
зарядов из одной точки пространства в
другую – т.е. совершает работу.
Соответственно, на элементарном
перемещении dr плотность тока j совершает
элементарную работу
,
где
- удельное сопротивление вещества (в
котором течёт ток.)
Таким
образом, работа тока вдоль произвольного
контура L:
.
Заметим, что работа зависит от формы
контура L.
Работу
в единицу времени называют мощностью
– следовательно мощность тока
=>
Мощность
тока N – характеристика данной точки
пространства (с радиус-вектором r, т.е.
дифференциальная характеристика) –
мощность, приходя-щуюся на элементарный
объём dV, называеют удельной мощностью
.
=>
2. Интегральные закона Ома (для участка цепи, содержащего эдс - определение эдс и сопротивления участка цепи; для замкнутого проводника; для участка цепи не содержащего эдс)
Рассмотрим движение зарядов внутри проводника. Согласно , элементарная работа плотности тока по перемещению заряда
Эту
же работу можно рассматривать как работу
электрического поля
.
Как и любое силовое поле, электрическое
поле можно разделить на две составляющие
– потенциальное (т.е. электростатическое)
и непотенциальное:
.
Тогда, интегрируя выражения для работы, можно получить :
В
силу равенства элементарных работ
плотности тока и электрического поля
. Проинтегрируем это равенство по всему
объёму V проводника (очевидно, V=SL):
(*1)
Вычислим
сначала интеграл от поля:
Здесь
- разность потенциалов на участке цепи,
соответственно,
- называют электродвижущей силой (ЭДС)
на участке цепи.
Из
опытных фактов очевидно, что эти величины
не зависят от конфигурации сечение
проводника в любой его точке, т.е.
.
Займёмся
теперь интегралом от плотности тока:
=
=
.
Таким
образом уравнение (*1) принимает вид:
,
здесь
- проекция вектора Е на dr
Отношение
- есть среднее значение плотности тока
в сечении проводника с радиус-вектором
r.
Это
означает, что выражение в квадратных
скобках не зависит от конфигурации
сечения проводника в любой его точке,
т.е.
.
Если
проводник достаточно гладкий и однородный,
так, что сила тока в проводнике в любой
его точке постоянна, то
.
-
это Интегральный закон Ома для участка
цепи, содержащего ЭДС. Величину
- называют напряжением на участке цепи,
соответственно, произведение
- называют падением напряжения на
сопротивление
.
Здесь,
- ЭДС,
- сопротивление.
Ч
астные
случаи:
Для
замкнутого проводника, очевидно
,
и мы получаем интегральный закон Ома
для замкнутой цепи:
.
Здесь
,
причём
- сопротивление внешней цепи, r –
(внутреннее) сопротивление ЭДС,
- алгебраическая сумма всех ЭДС в цепи.
Если
,
то получаем интегральный закон Ома для
участка цепи, не содержащего ЭДС.
.
Отметим, что напряжение на участке цепи , в общем случае, НЕ равно падению напряжения IR на сопротивлении R.
3. Закон Ома в дифференциальной форме.
Как мы уже выяснили, элементарная работа по перемещению зарядов внутри проводника может быть выражена через плотность тока: .
Эту же работу можно рассматривать как работу электрического поля . В силу равенства элементарных работ плотности тока и электрического поля .
Откуда
получаем:
=> закон Ома в дифференциальной форме
=>
.
Плотность тока в любой точке проводника пропорциональна напряжённости электрического поля в этой точке.
Величину
называют
удельной проводимостью.